Материал: 1715

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

xdx

(x2 )

∫

+ 1+ x

+ C .

1+ x4

1+ (x2 )2

4) Поскольку d(ex ) = exdx , имеем

∫

exdx

= ∫

d(ex )

arctg

+ C .

9 + e2x

5) Используем подстановку t = 3

. Следовательно,

t = 3

cos 3 x

cost

∫

dx =

x = t

= ∫

dt =

3∫ costdt = 3sin t + C =

dx = 3t2dt

=3sin 3x + C .

6)Применим подстановку t = 1x , имеем

Иdt

x = t dt

tdt

= −

∫

= −∫

x 1

+ x

Д1+ t

+ t

1+ t

1+ x

+ С = −ln

1 +

= −ln

t +

1+ t2

+ C =

= −ln

1+ 1

+ x2

+ C и= ln

+ C .

1+ x

Задачи для самостоятельной работы

Проинтегрировать:

25. ∫ cos5xdx .

26.

−

27.

∫ (12x − 5)7 dx .

∫ sin

3x dx .

28. ∫

29. ∫

30. ∫ e4−3xdx .

6x + 5

11− 4x

31. ∫ 65x+2 dx .

32.

∫

33.

∫

16 +

25x2

25 −

9x2

35.

dx .

36.

∫

dx .

34.

∫ x x

− 7dx .

∫

(ex − 5)3

3 1− x3

37.

∫

xdx

38.

∫

2x +1

dx .

39. ∫

6x − 5

dx .

x2 + x − 3

3x2

− 5x

+ 4

x2 + 6

40.

∫

dx .

41. ∫ tgxdx .

42.

∫

(6 + 3

)4 3

2ex + 7

43.

∫

44.

ln5 x

dx .

45.

∫ x

2 1− x3

dx .

x ln x

∫

cos x

dx .

46.

∫ sin x cos2 xdx .

47.

∫

dx .

48.

∫

5tgx

cos2 x

3 sin x

xdx .

1− 4arcsin

49.

∫

50.

∫

51.

∫

arctgx

dx .

7 ctg

x sin

1− x2

1+ x2

52. ∫

cos xdx .

53.

∫ e4 cos x−1 sin xdx .

54.

cos x

dx .

1− 2sin x

∫

+ sin2 x

55.

dx .

56.

dx .

∫

57.

∫

sin2 x4

+ 4

x +1

Дdx

ex −1dx

58.

∫

59. ∫

x + 5

(подстановка

ex −1 = t2 ).

А(подстановка x + 5 = t

1.4. Интегр рование по частям

− дифференцируемые функции, то

Если u = ϕ(x) и v

=ψ (x)

∫ udv = uv − ∫ vdu .

(1.1)

Формула (1.1)Сназывается формулой интегрирования по частям.

Она

даёт

возможность

свести

вычисление интеграла

∫ udv к

вычислению интеграла ∫ vdu , который оказывается более простым. При нахождении интегралов типа

∫ P(x) eaxdx , ∫ P(x)sin axdx , ∫ P(x)cos axdx

за u следует принять многочлен P(x), а за dv − соответственно выражения eaxdx , sin axdx , cosaxdx ; при отыскании интегралов вида

∫P(x)ln xdx , ∫ P(x)arcsin xdx , ∫ P(x)arccos xdx ,

∫P(x)arctgxdx , ∫ P(x)arcctgxdx

за u принимаются соответственно функции

ln x , arcsin x , arccos x ,

arctgx , arcctgx , а за dv − выражение P(x)dx .

Примеры решения задач

Проинтегрировать:

3) ∫ x2e4xdx ;

1) ∫ (4x3 + 6x − 7)ln xdx ;

2) ∫ (x − 3)cos xdx ;

4) ∫ x arctg x dx ; 5) ∫ e− x sin xdx .

Решение: 1) Воспользуемся формулой интегрирования по

частям, имеем

u = ln x

du = dx

∫ (4x

+ 6x − 7)ln xdx =

= (x

+ 3x

−

7x)ln x −

dv = (4x3 + 6x − 7)dx

v = x4 + 3x2

− 7x

+ 3x

− 7x

− ∫

dx = (x

+ 3x

− 7x)ln x −

− 7x

+ C .

u = x − 3

2) ∫ (x − 3)cos xdx =

= dx

= (x − 3)sin x − ∫ sin xdx =

dv = cos xdx

v = sin x

= (x − 3)sin x + cos x + C .

иu = x

3) ∫ x2e4xdx =

du = 2xdx

= 1 x2e4x − 1

∫ xe4xdx .

dv = e

Кпоследнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям.4xv e

	u = x
	u = x
∫ xe4xdx =	du = dx				=	1 xe4x −	1	∫ e4xdx =	1 xe4x −		1	e4x .
	dv = e4xdx						1				1
	dv = e4xdx						4			16
		1		4x		4	4		4	16
	v =	1	e	4x
	v =	4	e
		4

Подставляя найденное выражение в первоначальное выражение, имеем

∫ x

dx =

−

+ C =

−

+ C .

u = arcctgx

du = −

4) ∫ xarcctgxdx =

1+ x2

arcctgx +

∫

dx =

1+ x2

dv = xdx

+1−

arcctgx +

∫

arcctgx +

∫ dx − ∫

+ x2

1+ x2

arcctgx +

x −

arctgx + C .

u = e−x

−x

du = −e−xdx

−x

∫ e

sin xdx =

dv = sin xdx

= −e

cos xИ− ∫ e cos xdx .

− x

= −cos x

К последнему интегралу снова применяем формулу

интегрирования по частям.

u = e− x

du = −e

= e− x sin x + ∫ e− x sin xdx .

∫ e− x cos xdx =

иdv = cos xdx

v = sin x

Таким образом,

∫ e− x sin xdx = −e− x cos x − (e− x sin x + ∫ e− x sin xdx)=

=−e− x cos x − e− x sin x − ∫ e− x sin xdx .

Вправой части последнего соотношения стоит искомый интеграл

∫e− x sin xdx . Перенося его в левую часть, получим

2∫ e− x sin xdx = −e− x cos x − e− x sin x .

Откуда

∫ e− x sin xdx = − e2− x (cos x + sin x)+ C .

Ax + B

Задачи для самостоятельной работы

Проинтегрировать:

60. ∫ (x − 7)sin xdx . 63. ∫ x2 ln xdx .

66. ∫ (x + 2)3x dx.

69.∫ arcsin x dx .

72. ∫ 4x sin xdx .

61.	∫ (1− 3x)cos 2xdx .				62.	∫ x2 cos xdx .
64.	∫	x		dx .	65.	∫ (4 − x)e−3xdx .
		cos2	x
						∫ ln(1+ x2 )dx .
67.	∫ (x2 − 6x)e− xdx .				68.
70.	∫ arctgxdx .				71.	∫ e2x cos xdx .
73.	∫ cos							= t ).
			xdx (подстановка				x

1.5. Интегрирование функций, содержащих квадратный трёхчлен

1. Интегралы вида ∫ ax2 + bx + c dx . Основной приём вычисления −

Ax + B

2. Интегралы

вида

∫

dx . Следует

выделить полный

ax2 + bx + c

квадрат из квадратного трёхчленаАподкоренного выражения и

разложить на сумму двух

нтегралов.

Пр меры решения задач

Проинтегрировать: 1) ∫

;

2) ∫

(3x + 5)dx

;

x2 + 2x

+ 5

x2 + 2x +10

xdx

∫

; 4) ∫

3 − x − 2x2

x2 + 4x + 5

Решение: 1) Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:

x2 + 2x + 5 = (x2 + 2x +1) −1+ 5 = (x +1)2 + 4 .

Отсюда находим

∫

=∫

d(x +1)

= 1 arctg

x +1

+ C .

x2 + 2x + 5

(x +1)2 + 4

выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена, стоящего в
знаменателе, и разложение полученного интегралаИ	на сумму двух
интегралов.

2)Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена, получаем

x2 + 2x +10 = (x2 + 2x +1) −1+10 = (x +1)2 + 9.

Источник: https://studfile.net/preview/16407772/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард
«Методы учета затрат на производство продукции, работ, услуг»Курсовая работа