Материал: 2216

P x, y dx Q x, y dy 0. (2*)

Пример.

y x y dy x y x y dx xydy 0. xy dx xy

Исходя из определений, введенных на лекции №1, общим решением уравнения (2) будет функция y x,C , а общим интегралом x, y,C 0. Считаем, что уравнение (2) решено или проинтегрировано, если найдено его общее решение или общий интеграл.

Задача Коши

В практических задачах (лекция №1) обычно требуется найти решение дифференциального уравнения (2), удовлетворяющее

x0 , y0 .

Очевидно, что если для уравнения y f x, y получено

C0 и решением задачи Коши будет функция y x,C0 или интеграл x, y,C0 0.

Способы решения

Геометрический способ. Так как каждое решение уравнения геометрически представляет интегральную кривую, то геометрически решение уравнения сводится к отысканию ортонормированного семейства этих кривых. Если на плоскости зафиксировать точку M0 x0, y0 , то из уравнения (2), не решая его, можно найти y0 f x0, y0 , учитывая, что y есть тангенс угла

наклона касательной к оси Ox, то в любой точке M0 мы получаем направление интегральной кривой. Если построить такие касательные во всех точках плоскости, то получим поле направлений интегральных кривых данного дифференциального уравнения.

Пример.

Рис. 1

Из построенного поля направлений (рис. 1), очевидно, что интегральные кривые суть прямые y Cx. Чтобы облегчить построение интегральных кривых, находят такие линии, во всех точках которых направления одинаковы. Такие линии называются изоклинами (изо – равных, клино – наклоняю). Очевидно, что для

проходящие через начало координат представляют собой изоклины.

представляют собой окружности (рис. 2). Пусть

C 1, y tg 1; ;

4

C 2, y tg 2; arctg 2;

C 3, y tg 3; arctg 3 и т.д.,

по ним легко построить не только поле направлений, но и даже примерно сами кривые.

y

x

Рис. 2

Аналитические способы. Рассмотрим аналитические способы решения различных типов дифференциального уравнения

(2).

Частные типы дифференциальных уравнений 1-го порядка и отыскание их общих решений

Уравнения с разделяющимися переменными.

Запишем дифференциальное уравнение 1-го порядка в симметричном форме (2*):

P x, y dx Q x, y dy 0.

уравнение (3) называется уравнением с разделяющимися переменными. Его можно представить:

Проинтегрировав, мы получим интегральное уравнение в виде

x y C. F x, y,C 0.

Примеры.

1. x xy2 dx y yx2 dy;

(*)

Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию: y/x 0 0, т. е. интегральную кривую, переходящую через точку O 0,0 . Из уравнения (*) следует:

0 1 0 1 C C 1.

x2 y2 x2 y2 0 – кривая 4-го порядка, вырождается в точку.

2. Рассмотрим задачу №1 из лекции №1 и найдем количество

1 ln 2 1 arctg ln x C . 2

ln 2 1 x2 2arctg 2C, где y ; x

ln y2 x2 2arctg y C. x