Материал: 2216

Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому её пределов справа и слева, т.е. нулю (рис. 1).

y

(т.е. f x x ) (рис.2). Эта функция также кусочно-монотонная и ограничена на отрезке x .

y

Рис.2

Определим её коэффициенты Фурье:

Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна данной функции (рис.2).

3. Периодическая с периодом 2 функция f x определена следующим образом:

Эта функция кусочно-монотонная и ограничена на отрезке

x (рис. 3).

y

1

З а м е ч а н и е. О разложении периодической функции в ряд Фурье.

Отметим следующее свойство периодической функции x с периодом 2 .

2

Вывод. Интеграл от периодической функции x по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и то же значение.

Из доказанного свойства вытекает, что при вычислении коэффициентов Фурье мы можем заменить промежуток интегрирования , промежутком интегрирования, 2 , т. е. можно положить (рис. 4)

y

приняв 0:

y

2

0 0

.

Следовательно,

f x sin x 2sin2x 2sin3x 2sinnx

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Из определения четной и нечетной функций следует, что еслиx – четная функция, то

Действительно,

x dx x dx x dx x dx x dx

x dx x dx 2 x dx, что и требовалось доказать,

0 0 0

т.к. x x .

Аналогично можно доказать, что если x нечетная функция, то

x dx x dx x dx x dx x dx 0.