Материал: 361

следующим образом:

- это решение состоит из y слагаемых, где y – порядок рассматри-

ваемого дифференциального уравнения;

- каждому вещественному корню tu кратности 1 соответствует

слагаемое вида 6u ™š ;

корню t tu tuT= ˜ tuTdC=

- каждому

вещественному

кратности

›

соответствует

›

слагаемых вида

6u ™ ,

6uT= ™ ,

6uT ™

, … , 6uTdC= dC= ™ ;

!œ "œ• и tœT= !œ "œ•

- каждой паре сопряженных корней tœ

кратности

1 соответствует

пара

слагаемых вида 6œ •ž sin "œ

и

6œT= •ž cos "œ ;

!œ "œ• и tœT= !œ "œ•

- каждой паре сопряженных корней tœ

кратности

› соответствует ›

пар слагаемых (т.е.

2› слагаемых) вида

6œ •ž sin "œ ,

6œT= •ž sin "œ ,

… ,

6œTdC= dC= •ž sin "œ

и

6œTd •ž cos "œ , 6œTdT= •ž cos "œ , …, 6œT dC= dC= •ž cos "œ .

дифференциального состоит из этих двух слагаемых:

6= 6 .

Ответ: 6= 6 .

Пример 4. Решить задачу Коши:

0 2.

4 4 0, 0 1,

Решение. Составим характеристическое уравнение:

t 4t 4 0.

Решая это квадратное уравнение, получаем, что:

t t= t 2.

двух слагаемых:

6= 6 .

Подставляя начальные условия 0 1 и 0 2, получаем:

0 6= ( 6 · 0 · ( 6= 1,

26= 6 26 ,

0 2 6= ( 6 (

26 · 0 · ( 26= 6 2 6 2,

6 4.

Подставляя найденные значения 6= 1 и 6 4 в общее реше-

ние, получаем решение задачи Коши:

4 4 1 .

Ответ: 4 1 .

Пример 5. Решить задачу Коши:

4 0, † 2, † 0.

Решение. Составляем характеристическое уравнение:

и решаем его.

t 4 0

t 4

t=, g√ 4 g√4 · √ 1 g2•

Случай некратных комплексных корней. t=, ! g "• g2•, от-

сюда ! 0,

" 2.

Этой паре комплексных корней соответствуют

слагаемые 6=

• sin " и

6

• cos " . Подставляя значения ! 0 и

" 2, а также учитывая,

что

( 1, получаем слагаемые 6= sin 2 и

6 cos 2 .

Решение. Составляем характеристическое уравнение:

t@ 2t 2t 0.

t 0

t · t 2t 2 0

или

t 2t 2 0

t=, 0

.

2 4 · 1 · 2 4

t,@

g√C@

1 g •

Вещественному кратному корню t=, 0

(кратность равна 2) со-

ответствуют слагаемые

6= ( 6= и

6 ( 6 ,

а паре сопря-

женных комплексных корней – слагаемые 6 sin и

6@ cos .

Ответ: 6= 6 6 sin 6@

cos .

Задания для самостоятельного решения

Найти общее решение дифференциального уравнения:

№ 247.

3

0;

№ 248.

4

4 0;

№ 249.

9 0;

№ 250.

3

2 0;

№ 251.

4

2 6 x;

№ 252.

2

0;

№ 253.

2 0;

№ 254.

4

5 0;

№ 255.

16 0;

№ 256.

5

4 0;

№ 257.

2

5 0;

№ 258.

16 x 0;

№ 259.

4

13 0;

№ 260.

3

4

7 0;

№ 261.

25 0;

№ 262.

5

6

8 0;

№ 263.

2

2

5 0;

№ 264.

6 7 x 0;

№ 265.

4 9 x 2 0;

№ 266.

25 5 0.

№ 267. 2

0

Решить задачу Коши:

, 0 2, 0 1;

№ 268.

25 10

0, 0 2, 0 1;

Найти общее решение дифференциального уравнения:

№ 271.

4 0;

№ 272.

•Ž 5 4 0;

№ 273.

4 0;

№ 274.

4 2 0;

№ 275.

•Ž 0;

№ 276.

•Ž 8 16 0.

№ 301.

3

Решить задачу Коши:

0,

0 3, 0

1;

№ 302.

3

2 0, 0

0,

0

2;

№ 303.

9 0, 0 1, 0

1;

1;

№ 304.

5

4 0, 0

0,

0

№ 305.

2 5 3 0, 0 2, 0 0;

№ 306.

6

5 0, 0

1,

0

1;

№ 307.

4

3 0, 0

0,

0

2;

№ 308.

3

4 0, 0

0,

0

5;

№ 309.

2 0, 0 1, 0

0;

№ 310.

5

6 0, 0

4, 0 0;

№ 311.

7

8 0, 0

0,

0

2;

№ 312.

3 5 8 0, 0 0, 0 1;

№ 313.

4

0,

0 2, 0

1;

№ 314.

4 0, 0 0, 0

0;

№ 315.

4

0,

0 3, 0

3;

№ 316.

3

0,

0 0, 0

1;

№ 317.

5

0,

0 0, 0

2;

№ 318.

9 0, 0 0, 0

0;

№ 319.

16 0, 0

2,

0

1;

№ 320.

16 0, 0

0,

0

1.