Материал: 361
36
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения:
2 1 1.
Решение. В записи данного дифференциального уравнения нет ,
поэтому производим рекомендуемую замену:
‰ , ‰ ‰x .
Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися пере-
менными. |
2 1 ‰x ‰ 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 1 |
‰ |
|
|
|
‰ 1 |
|
|
|
|
‰ |
|
|
|
|
M ‰ 1 M 2 1 |
|
|
|
|
1 |
· ln|2 1| 6 |
|
|
|
ln|‰ 1| 2 |
|
||
Потенцируем получившееся уравнение: |
|
|
||
|
‰ 1 6=B2 1, |
|
|
|
и делаем обратную замену ‰ : |
|
|
||
|
6=√2 1 1 |
2 1 |
6 |
|
M6 =√2 1 1 6= · M √2 1 |
||||
|
|
|
2 |
|
62= · 32 ·>BŠ 2 1 6 63= · B 2 1 6 |
||||
Учитывая, что |
тоже является произвольной постоянной, в отве- |
|||
те можем заменить |
>Š на 6=. |
|
|
|
Ответ: 6= · B 2 1 6 .
Пример 4. Решить задачу Коши:
, 1 3, 1 2.
Решение. В записи данного уравнения нет , поэтому делаем за-
мену:
‰ , ‰ ‰x .
Получаем уравнение: ‰ ‰.
Заменяем ‰x отношением дифференциалов, разделяем переменные и интегрируем.
|
|
|
|
37 |
|
‰ |
‰ |
||
|
· |
|||
|
‰ |
|
|
|
|
M M |
|
|
|
|
ln|‰| ln| | |
6 |
||
|
‰ 6= |
|
||
Делаем обратную замену: ‰ . |
||||
Получаем: |
6= , |
|
|
|
и, учитывая начальное условие 1 2, приходим к уравнению: |
||||
|
x 2. |
|||
Еще раз интегрируем: L 2 6 . |
||||
Подставляя начальное условие 1 |
3, находим, что 6 2. |
|||
Ответ: 2. |
|
|
|
|
Замечание. В данном примере мы не находили общее решение указанного дифференциального уравнения, а по мере появления произвольных постоянных находили их значения, исходя из начальных условий, что позволило нам избежать интегрирования функций, содержащих неопределенные постоянные.
Уравнения, не содержащие переменной 5 в явной форме
Дифференциальные уравнения второго порядка вида , , 0, не содержащие переменной в записи дифференциального уравнения, в явном виде сводятся к дифференциальному уравнению первого
порядка подстановкой11:
‰ , ‰ ‰ · ‰ · ‰ ‰ · ‰x .
Причем, в получившемся дифференциальном уравнении роль независимой переменной играет , а роль искомой функции ‰.
11 Данная подстановка также позволяет понизить порядок любого дифференциального уравнения n-го порядка на 1, в записи которого отсутствует , однако надо помнить, что в записи исходного дифференциального уравнения диф-
ференцирование производится по переменной (т.е. ), а в получаемом
после подстановки новом дифференциальном уравнении роль переменной иг-
‰ ‹ ‰ · ‰ , ‰ · ‰ ‰ · ‰ · ‰ ‰ ·
рает (т.е. ). Поэтому:
· ‰ ‰ · ‰ и т.д.
38
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения:
0.
Решение. В записи данного дифференциального уравнения отсут- |
||||||||||||
ствует переменная , поэтому производим замену: |
||||||||||||
|
12 |
|
‰ , |
|
‰ · ‰x . |
|||||||
|
|
|
· ‰ · ‰ |
|
‰ |
. |
|
|||||
Получаем уравнение: |
|
|
|
|
|
|
||||||
Разделяем |
|
|
переменные и интегрируем: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
‰ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
M |
|
M |
, |
|
|||
|
|
|
|
|
‰ |
|
||||||
Потенцируем: |
|
ln|‰| ln| | |
6. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
6= |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
‰ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
Производим обратную замену: |
|
6= |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
Разделяем переменные, учитывая, что ‰ ‹, и интегрируем: |
||||||||||||
|
|
6= |
| M 6= M | |
|
||||||||
|
|
|
2 6= 6 |
|||||||||
|
|
|
|
|
26= 26. |
|
||||||
Получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения. Для записи ответа можно заменить 26= на другую произволь-
ную постоянную 6h=, а 26 – на 6h .
Ответ: 6h= 6h .
Пример 6. Решить задачу Коши:
3 x 2 , 1 8, 1 4.
Решение. В записи данного дифференциального уравнения отсут-
ствует переменная , поэтому производим замену:
‰ , ‰ · ‰x .
Получаем уравнение: 3‰ · ‰ · ‰ 2 .
Разделяем переменные, учитывая, что ‰ ‹, и интегрируем.
12 В связи с тем, что функция ‰ рассматривается нами как функция от переменной , то при замене ‰x на отношение дифференциалов получаем ‹, а не
‹, как в предыдущем примере.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
|
3‰ · |
‰ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
M 3‰ ‰ M 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
‰ 6= |
|
|||||||||||
Производим обратную замену: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
6=. |
1 4 в получив- |
|||||||||||
Подставляя начальные условия |
1 8, |
|||||||||||||||
шееся уравнение, находим константу |
6=: |
|
| 6= 0. |
|||||||||||||
4 8 6= |
| |
64 64 6= |
||||||||||||||
В получившемся уравнении выражаем x, разделяем переменные |
||||||||||||||||
(так как рассматривается в данный момент как функция от пере- |
||||||||||||||||
менной , то ) и интегрируем. |
|
|
|
|
|
Š |
||||||||||
? |
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
| M CJ M | 3J 6 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
• |
6 |
€ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
Подставляя начальное условие 1 8, находим константу 6 . |
||||||||||||||||
|
8 • |
1 6 |
€ |
|
|
| |
|
6 5 |
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
• |
5 |
€ |
|
|
||||||||
|
TZ |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
Ответ: V |
W . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания для самостоятельного решения
Найти общее решение дифференциального уравнения:
JC?T=
?
№177. cos 2 1 ;
№178. 3 1 ;
№179. •Ž cos 1 ;
№180. · 3 2 ;
№181. 2 · 2 .№ 176. ;
40
№ 182. |
|
|
|
Решить задачу Коши: |
|
||||||||
2 0, 0 0, x 0 2; |
|
||||||||||||
№ 183. |
|
|
ln x, 0 |
0, x 0 1; |
|
||||||||
№ 184. |
|
2 x, 0 0, x 0 0; |
|
||||||||||
№ 185. |
3 xx 2, 0 |
1, x 0 1. |
|
||||||||||
|
|
|
|
Задания для контроля знаний |
|
||||||||
Найти общее решение дифференциального уравнения: |
|||||||||||||
№ 186. |
1 |
|
· |
|
2; |
|
|
|
|||||
№ 187. |
3 |
|
· |
2 |
1; |
|
|
|
|||||
№ 188. |
2 |
|
· |
5 3 ; |
|
|
|
||||||
№ 189. |
2 · |
3 6 ; |
|
|
|
|
|
||||||
№ 190. |
· 2 |
; |
|
|
|
|
|
||||||
№ 191. |
· 2 |
; |
|
|
|
|
|
||||||
№ 192. |
· 3 |
; |
3; |
|
|
|
|||||||
№ 193. |
3 |
|
· |
2 |
|
|
|
||||||
№ 194. |
3 2 |
· 4 1; |
|
|
|
||||||||
№ 195. |
2 C. |
|
|
|
|
|
|
||||||
№ 196. |
|
|
|
|
Решить задачу Коши: |
|
|||||||
sin 0, |
0 0, x 0 1; |
|
|||||||||||
№ 197. |
|
|
J |
3, 0 0, x 0 2; |
|
||||||||
№ 198. |
|
√ , |
0 |
0, x 0 0; |
|
||||||||
№ 199. |
0, 0 0, x 0 0; |
|
|||||||||||
№ 200. |
6 1, 0 0, x 0 |
1, 0 1; |
|||||||||||
№ 201. |
|
|
0, 0 |
1, x 0 |
0, 0 1; |
||||||||
№ 202. |
|
|
2, 0 |
0, x 0 |
1, 0 |
1; |
|||||||
№ 203. |
2 |
1, |
0 |
2, x 0 |
0, 0 |
1; |
|||||||
№ 204. |
2 |
|
|
0, |
0 |
0, x 0 |
0, 0 1; |
||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
№ 205. sin 2 0, † 0, x † 1. |
|
||||||||||||