Материал: 361
41
Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 1. Введение в комплексные числа
Комплексным числом называется выражение вида ! " •, где ! и " – действительные числа, а • – некоторый символ, называемый
мнимой единицей, если при этом выполнены следующие условия: |
|
|
||||||||
1) |
! 0 • !, |
0 " • " • (действия с нулем); |
|
|
|
|||||
2) |
1 • •, |
1 • • |
(умножение на 1 |
и 1); |
! ! |
|
||||
3) |
! |
" |
• ! |
" • тогда и только |
тогда, когда |
и |
||||
|
= |
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
"= " ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
!= "=• ! " • != ! "= " · •; |
|
|
|
||||||
5) |
!= "=• · ! " • !=! |
"=" !=" ! "= · •. |
|
|
||||||
|
• 1, |
• •, |
•@ 1, |
|
•: |
|
|
|
||
|
•Z •, •U 1 и т.д. |
(12) |
||||||||
Сложение, вычитание, умножение и возведение в степень можно производить по правилам соответствующих действий с многочленами (относительно мнимой единицы), с заменой степеней мнимой единицы по формулам (12).
Число ! называют действительной частью, число " – мнимой частью комплексного числа • ! " •.
Записывают это так:
‘ • ‘ ! " • ! и ’“ • ’“ ! "• ".
Действительные числа обычно изображаются на числовой прямой. Комплексные числа изображаются на числовой плоскости, причем
Im
b |
a+b i |
r
O |
Re |
a
42
ось абсцисс в этом случае называется действительной осью, а ось ординат – мнимой. Каждому комплексному числу • ! " • ставится в соответствие точка - !, " или радиус-вектор этой точки.
Число •” ! " называется• сопряженным к числу • ! " •.
Сопряженные числа симметричны относительно действительной оси.
Im
b |
a+b i |
O |
a |
Re |
-b |
a-b i |
|
Можно показать, что произведение любого комплексного числа
• ! " • на сопряженное к нему •” ! " •является всегда дейст-
вительным числом: |
|
|
• · •” ! " • · ! " • ! " · • ! " · 1 ! " . |
||
Пример 13. Даны два комплексных числа: |
|
|
•= |
2 3 • и • 4 5 •. |
|
Найти числа, сопряженные данным (••=,•• ), сумму, разность, про- |
||
изведение и частное этих чисел (•= • , •= • , •= · • , |
––?Š ). |
|
Решение. |
•• 2 3 • |
|
= |
|
|
|
•• 4 5 • |
|
•= • 2 3 • 4 5 • 2 4 3 5 • 2 2 • |
||
•= • 2 3 • 4 5 • 2 4 3 5 • 6 8 • |
||
•= · • |
2 3 • · 4 5 • |
|
2 · 4 2 · 5 • 3 • · 4 3 • · 5• |
||
8 10 • 12 • 15 • 8 22 • 15 · 1 |
7 22 • |
|
Для вычисления частного умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю (воспользуемся свойством взаимно сопряженных комплексных чисел).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
•= |
2 3 • 2 3 • · 4 5 • |
|
|
8 10 • 12 • 15 • |
|
|||||||||
• |
4 5 • 4 5 • · 4 5 • |
4 5 |
· • |
|
||||||||||
|
23 2 • |
23 |
2 • |
, = |
|
, = |
|
|||||||
|
Ответ: = |
41 |
, |
41 |
|
41 |
||||||||
|
•• 2 3 • |
•• 4 5 • |
• • 2 2 • |
• • |
||||||||||
|
6 8 •, •= |
· • 7 22 •, |
–Š |
|
@= |
|
•. |
|
|
|
||||
–? |
@= |
|
|
|
||||||||||
Из школьного курса математики известно, что квадратное уравнение может иметь или два корня (дискриминант больше нуля), или один корень (дискриминант равен нулю, в дальнейшем мы будем говорить, что уравнение имеет два одинаковых (кратных) корня), или не иметь решений (дискриминант меньше нуля).
Если в качестве возможных решений квадратного уравнения рассматривать вместо множества действительных чисел множество комплексных чисел, то окажется, что любое квадратное уравнение имеет равно два корня (возможно, совпадающие).
Пример 2. Решить квадратное уравнение:
• 2• 5 0.
Решение. Используя стандартные формулы решения квадратного уравнения, получаем: . " 4!— 2 4 · 1 · 5 16.
Используя, что • 1, а также определение квадратного корня
как функцию обратную к квадрату, получаем, что √ 1 •. Поэтому:
√. √ 16 B16 · 1 √16 · √ 1 4•
•=, " g √. 2 g 4• 1 g 2•. 2! 2
Ответ: •= 1 2•, • 1 2•.
Теорема. Пусть дано уравнение:
! • !C=•C= ˜ ! • != • !( 0,
где ! , !C=, … , ! , !=, !( – вещественные числа, а • – комплексная переменная. Тогда это уравнение имеет ровно y комплексных и вещественных корней (с учетом их кратности), причем если это уравнение имеет комплексный корень t ! "• кратности 8, то число, сопряженное этому корню t” ! "•, тоже является корнем кратности 8 этого уравнения.
44
Задания для самостоятельного решения
Даны комплексные числа •= и • . Найти •= • , •= • , •= · • и ––?Š: |
|||||
№ 206. •= 2 |
3 |
•, • 1 •; |
|||
№ 207. |
•= 1 |
•, • 2 2 •; |
|||
№ 208. |
•= 2 |
|
3 |
•, • 3 4 •; |
|
№ 209. |
•= 3 |
•, • 4 5 •; |
|||
№ 210. |
•= 4 |
2 |
• |
, • 2 3 •; |
|
№ 211. |
•= 1 |
|
4 |
•, • 1 •; |
|
№ 212. |
•= 2 |
2 |
•, • 5 •; |
||
№ 213. |
•= 5 |
•, • 2 1 •; |
|||
№ 214. |
•= 2 |
•, • 4 •; |
|||
№ 215. |
•= 3 |
|
3 |
•, • 2 5 •. |
|
Найти комплексные корни уравнения:
№ 216. 6 10 0; № 217. 2 2 1 0; № 218. 4 5 0; № 219. 2 2 0; № 220. 2 6 5 0; № 221. 5 8 4 0; № 222. @ 3 4 0;
№ 223. @ 2 10 0; № 224. 5 2 10 0; № 225. U 2 1 0;
№ 226. @ 5 6 0.
Задания для контроля знаний
Даны комплексные числа •= и • . Найти •= • , •= • , •= · • и |
–Š |
: |
||||
–? |
||||||
№ 227. •= 2 |
•, • 1 2 •; |
|||||
№ 228. |
•= 2 •, • 2 3•; |
|||||
№ 229. |
•= 1 |
2 |
•, • 3 2•; |
|||
№ 230. |
•= 2 |
4 |
•, • 4 3 •; |
|||
№ 231. |
•= 3 |
•, • 5 2•; |
||||
№ 232. |
•= 3 |
|
5 •, • 2 3•; |
|||
№ 233. |
•= 4 |
5 |
•, • 3 3•; |
|||
№ 234. |
•= 2 |
|
4 •, • 4 •; |
|||
45
№235. •= 1 4 •, • 5 2 •;
№236. •= 2 3 •, • 4 3 •;
№237. •= 4 2 •, • 3 •;
№238. •= 5 2 •, • 2 2 •;
№239. •= 3 •, • 1 2•;
№240. •= 1 •, • 6 3•;
№241. •= 3 2 •, • 5 4•;
№242. •= 3 4 •, • 4 •;
№243. •= 1 •, • 3 •;
№244. •= 5 3 •, • 2 2 •;
№245. •= 3 2 •, • 1 3 •;
№246. •= 5 •, • 2 5 •.
§2. Однородные линейные дифференциальные уравнения
спостоянными коэффициентами
Дифференциальные уравнения вида:
! !C= C= ˜ ! != !( 0,
где !(, !=, … , !C=, ! – вещественные постоянные, причем ! w 0, а – искомая неизвестная функция, называются однородными
линейными дифференциальными уравнениями с постоянными ко-
эффициентами.
Для решения таких дифференциальных уравнений необходимо
составить и решить характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения: ! t !C=tC= ˜ ! t !=t !( 0,
где коэффициенты !(, !=, … , !C=, ! являются коэффициентами исходного однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, а производные функции заме-
няются на соответствующие степени t.
Так, заменяется на t , xx – на t , x – на t t=, а – на 1 t(. Из утверждений, приведенных в предыдущем параграфе, следует, что любое такое характеристическое уравнение имеет ровно y комплексных и/или вещественных (возможно, кратных) корней, причем если это характеристическое уравнение имеет комплексный корень t ! "• кратности 8, то число, сопряженное этому корню t” !"•, тоже является корнем кратности 8 этого характеристического уравнения (это свойство следует из условия вещественности коэффи-
циентов !(, !=, … , !C=, ! ).