Материал: 3859
11
4.y=3x-4; y=- 13 2 .
32.Прямые, заданные уравнениями:y=3x+5 и y=- 13 x 4 :
1.совпадают;
2.пересекаются;
3.параллельны;
4.перпендикулярны.
33.Укажите уравнения кривых второго порядка:
1. |
(х-3)2+(у+2)2=25; |
||||
|
|
x 2 |
y 2 |
||
2 |
|
|
|
|
1 ; |
|
25 |
16 |
|||
3. |
3х-4у+5=0; |
||||
4 |
х2=-16; |
||||
34. Укажите уравнения прямых линий:
1.х2-у2-6х+4у-12=0;
2.2х-3у+5=0;
3.у=2х+4;
4.х+у+1=0;
35. Укажите уравнения параболы (p> 0)
1.у2=-2px;
2.x2+y2= 1;
3.x=2py;
4.у2=2рх;
Решение типовых задач на уравнения прямых на плоскости
Задача 1. Написать уравнение прямой, проходящей через две известные точки А(2;3) и В(6;-2) и вычислить длину отрезка АВ.
Решение. Уравнение прямой, проходящей через две известные точки М1(x1,y1) М2(x2,y2) имеет вид:
12
x x1 |
|
y y1 |
|||||
x |
2 |
x |
y |
2 |
y |
||
|
|||||||
|
1 |
|
|
1 |
|||
поэтому уравнение прямой (АВ) примет вид:
x 2 |
|
y 3 |
или 5x + 4y - 22 = 0 |
|||
|
|
|
|
|||
6 2 |
|
2 3 |
||||
|
|
|||||
Расстояние между точками М1 и М2 определяется по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
2 |
x |
2 y |
2 |
y |
2 |
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|||
поэтому длина отрезка АВ:
АВ 
6 2 2 2 3 2 
41 .
Задача 2. Написать уравнение высоты (BN) и вычислить ее длину в треугольнике А(6;0), В(2;-3), С(-4;9).
Решение: Уравнение пучка прямых, проходящих через точку М(x0,y0)
имеет вид : y-y0=k(x-x0).
Угловой коэффициент прямой (BN) найдем из того условия, что (ВN) (АС). Условие перпендикулярности двух прямых, имеющих угловые коэффициенты k1, k2:
k |
|
|
1 |
(п ри k 0) . |
1 |
|
|||
|
|
k 2 |
2 |
|
|
|
|
|
Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки М1(x1;y1) и
|
|
|
|
|
|
М2(x2;y2) - k |
|
|
|
y2 |
y1 |
(п ри x |
x |
|
) ; |
||||
|
|
|
|
|
|
M 1M 2 |
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
x1 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т.о., k AC |
|
9 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
k BN |
|
10 |
и уравнение (BN), следовательно, имеет вид : |
||||||||||||||||
|
9 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y 3 109 x 2 или 10x - 9y - 47 = 0
Для вычисления высоты BN воспользуемся формулой, определяющей расстояние d точки М0(x0;y0) до прямой, заданной уравнением Ax+By+C=0:
d Ax0 By0 C
A 2 B2
Нам нужно определить расстояние точки В(2;-3) до прямой, идущей через точки А(6;0) и С(-4;9).
Уравнение: (АС)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
y 9 |
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 9 |
|
6 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9x 10y 54 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
BN |
|
|
9 2 |
10 3 |
54 |
|
|
66 |
|
. |
||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
92 102 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
181 |
|
|||||
Задача 3. Вычислить в радианах величину внутреннего угла В в треугольнике А(4;-1), В(-4;-5), С(1;10).
Решение: Для определения угла В воспользуемся формулой тангенса
y |
|
C |
угла между двумя прямыми, |
|||
|
||||||
|
|
|
|
имеющими угловые коэффициенты k1 |
||
|
|
|
|
и k2: tg |
k1 k 2 |
, где k1 – угловой |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
1 k1 k 2 |
||
|
|
|
||||
|
|
A |
коэффи- |
|||
B |
|
|
|
|||
|
|
|
циент той прямой, которая |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
поворачивается до совмещения со |
||
Рис. 1 |
второй против часовой стрелки. |
|||||
|
|
|
||||
В нашем случае такой прямой является (ВА) (см. рис. 1)
k |
|
|
y B y A |
|
5 1 |
|
|
|
1 |
|
||||||||
BA |
x B x A |
4 4 |
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k |
|
|
y B yC |
|
5 10 |
3 |
||||||||||||
BC |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x B xC |
|
|
4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
k BC k BA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
tgB |
|
|
2 |
|
|
1 |
||||||||||||
1 k BC k BA |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
4 .
14
Комплексные числа
Укажите номера правильных ответов
36. |
Если z =3-2i, то действительная часть комплексного числа равна: |
||||||||||
1) |
2; |
2) -2; |
|
3) 3; |
|
|
4) |
1 |
|
|
|
37. |
Если z = 4-5i, то мнимая часть комплексного числа равна: |
||||||||||
1) |
4; |
2) 5i; |
|
3) -5; |
|
|
4) |
5; |
|
|
|
38. |
Сумма комплексных чисел: (2+3i)+(4+7i): |
|
|
||||||||
1) |
5+11i; |
2) |
6+3i; |
3) |
2+10i; |
4) |
6+10i; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
39. z = 3+4i, сопряжѐнное число z : |
|
|
|
|
|||||||
1) |
-3-4i; |
2) |
-3+4i; |
3) |
3-4i; |
4) |
3+4i; |
||||
40. Комплексное число представленное в тригонометрической форме:
1) z = 5i+2; 2)z = cos 6 i sin 6 ;
3) z 2e 3 i ; 4) z 2(cos 4 i sin 4 ) ;
41. Комплексное число, представленное в алгебраической форме:
1) z 2e |
i ; |
2)z = 3i+5 ; |
|
3 |
|
3) z = 6-2i; |
4) z = 2+3i; |
|
42. Комплексное число, представленное в показательной форме:
|
|
|
|
|
|
) ; |
|
1) z 2e 3 i ; |
2) z 2(cos |
i sin |
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
4) z 3e |
|
|
|
|
3) z |
2 |
e 4 i ; |
6 i ; |
|
|
|
|
Производная. Основные понятия
Укажите номера правильных ответов
43. Функция: у = -2sin(3х)+5 задана
15
1) |
аналитически; 2)графически; |
3) |
таблично; |
44. Функция задана
y
0 |
x |
1) |
аналитически; |
2) графически; |
3) |
таблично; |
|
45.Сложная функция: |
||
1) |
у =х2; |
2) у =(х+3)5 |
3) |
у = 5 |
4) y = sin(3х) |
45.Убывающие функции:
1)y= log 2 x
2)y= ( 12) x
3)y= 2 x
4)y= log 1 x
2
47. Возрастающие функции:
1) y= log 1 x
3
2) y= 3x