Материал: 4372
31
|
|
yx |
|
|
|
|||
r = ( |
n |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
y x) |
|
|
||||
|
|
x * |
|
|||||
y,x |
n |
y |
|
|||||
где y - среднеарифметическое значение результативных признаков;
x - среднеарифметическое значение факторов; n- количество выборочных наблюдений; x y - среднее квадратическое отклонение результирующего
и факторного признаков.
Среднее квадратическое отклонение фактора x рассчитывается по формуле:
|
|
x2 |
|
|
|
|
n |
|
|
x2 . |
|
x |
|
|
|||
|
|
n |
|||
Среднее квадратическое отклонение значений результирующего признака рассчитывается по формуле:
|
|
y2 |
|
|
|
|
n |
|
|
y2 . |
|
y |
|
|
|||
|
|
n |
|||
Величина коэффициента корреляции лежит между (-1;1). Чем выше значение коэффициента корреляции, тем теснее связь между переменными и тем точнее будет прогноз, произведенный на основе полученного уравнения регрессии. Если коэффициент корреляции равен +1, то связь между показателями выражается в прямой зависимости, т.е. при увеличении одного показателя увеличивается и второй и наоборот. Если же коэффициент корреляции равен –1, то связь между двумя показателями выражается в обратной зависимости, т.е. при увеличении одного показателя другой уменьшается, и наоборот.
Завершающим этапом является определение численных значений постоянных коэффициентов уравнения регрессии (а0 и а1). Эти коэффициенты находятся в результате решения системы уравнений. Систему можно получить с помощью метода наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов позволяет из бесчисленного множества прямых линий на плоскости выбрать одну, наилучшим образом соответствующую исходным данным.
Этот метод обладает определенными свойствами: пусть мы имеем множество из n наблюдений (Х1,Y1), (Х2,Y2)…(Хn, Yn). Тогда уравне-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ниеУ = а0 + а1Х+ |
|
можно записать в виде: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
У i = а0 + а1Хi+ |
i, где i=1,2…n. |
|||||||
|
|
Следовательно, сумма квадратов отклонений фактических значений |
||||||||
от расчетных равна: |
|
|
||||||||
|
|
|
S= |
2= |
|
|
|
) 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(Y a0 a1X |
|||||||
|
|
|
|
|
i |
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
32
Будем подбирать значения оценок а0 и а1 так, чтобы их подстановка
|
|
|
|
|
) 2= S min |
|||||||
в уравнение давало наименьшее значение S, т.е. (Y |
a0 a1X |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
Определим |
а0 |
и |
а1 |
дифференцируя |
уравнение |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
S= |
i |
2= ( |
Y |
a0 |
a1X |
) 2, сначала по а0, затем по а1 и приравняем резуль- |
||||||
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
таты к нулю. Тогда получим:
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
na0 + a1 |
Xi |
|
Yi |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
i 1 |
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
||||
a0 |
|
Xi a1 |
|
Xi2 |
|
|
XiYi |
|
|
|
|
|
i |
1 |
i 1 |
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
Эти уравнения представляют собой систему нормальных уравнений. |
||||||||||||
Отсюда находим коэффициенты регрессионной функции: |
||||||||||||
|
|
XiYi |
[( |
Xi )( |
Y )]/ ni |
( X 2 |
|
X )(Y Y ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
а1= |
|
n |
|
n |
|
|
|
= |
n |
|
|
|
|
|
X |
2 |
( |
X |
i |
)2 / n |
( X |
i |
X )2 |
||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
Решение системы уравнений относительно а0: а0=Y-a1X. С помо-
щью подстановки этого уравнения в уравнение У i = а0 + а1Хi+ i получим оцениваемое уравнение регрессии Yi= Y+a1X.
Для практического использования регрессионных моделей важно установить, насколько точно могут быть рассчитаны значения исследуемого показателя по заданным значениям факторов. Для оценки точности уравнений регрессии на практике используют ряд показателей: коэффициент множественной корреляции (детерминации), критерий Фишера, остаточная дисперсия, критерий Стьюдента и др.7
Следует отметить, регрессионные приемы анализа и прогнозирования не вскрывают специфические причины изучаемых явлений, а только дают возможность определить количественную величину связей между ними. Причины могут быть вскрыты только при тщательном изучении технической, технологической и организационной сторон процесса производства и экономических отношений.
Рассмотрим пример прогноза валовой продукции в регионе на основе использования корреляционно-регрессионного анализа.
Известна динамика ВРП в регионе за 25 лет (с1976 г. по 2000 г.) в сопоставимых ценах. Максимальный объем ВРП за исследуемый период составляет 15 млрд руб., минимальный 6 млрд. руб. Тогда R =15-6=9 млрд руб. Величина предельной ошибки принимается равной 0,1 млрд руб., а коэффициент доверия равен 2. Определим объем выборочных наблюде-
ний: Кв= |
|
|
22 *1,52 * 25 |
= 24,5 |
||
|
2 |
|
2 |
2 |
||
2 |
|
*1,5 |
|
25 * 0,1 |
|
|
7 См подробнее: Бережная Е.В. Математические методы моделирования экономических систем. –М.: Финансы и статистика, 2001. С.143-147.
33
Таким образом, для того чтобы получить результат выборки с точностью до 0,1 млрд руб. необходимо сделать 25 наблюдений.
Таблица 3.1 Динамика ВРП в регионе (в сопоставимых ценах, в млдр руб.)
Показатель/год |
ВРП, млрд руб |
1 |
10 |
2 |
12,5 |
3 |
12,8 |
4 |
12,9 |
5 |
13,2 |
6 |
13,5 |
7 |
13,8 |
8 |
13,8 |
9 |
13,9 |
10 |
14,1 |
11 |
14,5 |
12 |
14,6 |
13 |
15,0 |
14 |
14,9 |
15 |
14,8 |
16 |
11,6 |
17 |
10,2 |
18 |
9,3 |
19 |
8,0 |
20 |
8,6 |
21 |
7,1 |
22 |
6,3 |
23 |
6,0 |
24 |
8,8 |
25 |
9,1 |
Согласно таблице можно предположить, что зависимость между У
(объем ВРП в регионе) и Х (год наблюдения) имеет линейный вид: У = а0
+ а1Х.
Для определения а0 и а1 воспользуемся методом наименьших квадратов. Решим систему уравнений:
|
|
n |
n |
|
na0 + a1 |
Xi |
|
Yi |
|
|
|
i 1 |
i |
1 |
n |
n |
|
n |
|
a0 |
Xi |
a1 |
Xi2 |
XiYi |
i |
1 |
i 1 |
|
i 1 |
Пользуясь данными таблицы, найдем:
34
n |
|
|
|
n |
|
|
|
n=25; |
Xi 325; X = 13; |
Yi =289,3; Y = 11,57 |
|||||
i |
1 |
|
|
i |
1 |
|
|
n |
|
n |
|
|
|
||
XiYi= 3406,4; |
|
Х 2 5525. |
|||||
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
||
25а0+325а1=289,3
325а0+5525а1=3406,4
Решаем систему уравнений относительно а1, находим:
а1=-0,067, тогда Y=Y+a1(Xi-X) Y=11,57-0,067(X-13)= 12,44-0,067X
Оценим тесноту связи между фактором (Х) и результирующим показателем (Y).
|
|
yx |
|
|
|
|||
r = ( |
n |
|
|
|
|
|
|
=-0,69 |
|
|
y x) |
|
|
||||
|
|
x * |
|
|||||
y,x |
n |
y |
|
|||||
Согласно полученному коэффициенту корреляции (-0,69) можно сделать вывод, что связь между исследуемыми показателями значимая и обратная, т.е. с увеличением показателя X происходит уменьшение показателя Y.
Прогноз валового выпуска продукции в регионе в следующем (26
году) составит Y= 12,44-0,067*26 =10,7 млрд руб.
Контрольные вопросы:
1.Для каких целей применяется корреляционно-регрессионный анализ в прогнозировании экономических процессов?
2.Какие задачи выполняет регрессионный анализ в прогнозирова-
нии?
3.Какие задачи выполняет корреляционный анализ в прогнозирова-
нии?
4.Опишите основные этапы построения корреляционнорегрессионной модели.
5.Что показывает коэффициент корреляции?
4. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
4.1. Основные понятия и типы производственных функций
Ведущим направлением корреляционного анализа в экономике является исследование зависимостей в сфере производства как на макротак и на микроуровне. Результат процесса производства складывается под влиянием многочисленных и разнообразных факторов. Качественный анализ позволяет в каждом конкретном случае установить, какие именно факторы влияют на результат производства. Цель построения производственных
35
функций –количественно оценить, измерить характер и степень такого влияния.
Одним из наиболее важных направлений использования аппарата производственных функций является анализ эффективности использования ресурсов производства. С помощью производственных функций можно исследовать эффективность трудовых ресурсов, производственных фондов, природных и других ресурсов не изолированно, а в их взаимодействии, выявлять границы взаимозаменяемости ресурсов и наиболее рациональные их пропорции с точки зрения конечного результат производства.
Существенную роль играют производственные функции как инструмент прогнозирования конечных результатов производственной деятельности. Аппарат производственных функций используют при проведении прогнозных расчетов на долгосрочную перспективу, когда необходимо исследовать производственный потенциал страны и эффективность использования факторов в процессе производства.
Производственная функция – это экономико-математическая зависимость, связывающая результаты производственной деятельности и обуславливающие эти результаты ресурсы (факторы производства):
Yt = f(Rst),
где t – индекс временного интервала; s – индекс вида ресурсов (тех- нико-экономических факторов); Y – результат производственной деятельности; R – вид ресурса.
Учесть влияние сразу всех факторов на результат хозяйственной деятельности невозможно, т.к. воздействие одних из них не подлежит количественному анализу, влияние других же очень несущественно. Производственная функция включает лишь некоторые из них, наиболее важные, которые оказывают решающее воздействие на результирующий показатель.
Из-за наличия неучтенных факторов и неоднозначного действия учтенных производственная функция является функцией лишь в статистическом смысле: описываемая ею математическая зависимость проявляется только в общем и среднем в массе наблюдений. Соответственно, и аппаратом исследования производственных функций служат методы математической статистики.
По своему содержанию производственные функции охватывают всевозможные зависимости в сфере производства на различных уровнях – предприятие, группа предприятий, отрасль, регион, национальная экономика. Различают макроэкономические и микроэкономические производственные функции. С помощью макроэкономических производственных функций изучают агрегированные характеристики процесса производства на уровне отраслей, групп отраслей, национальной экономики в целом. К микроэкономическим производственным функциям относятся функции, которые описывают взаимосвязь результата производства и факторов на уровне предприятий, группы предприятий.