Материал: 4718

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

				21
8	dx		8
	dx	2 x 1	8	2 9 2 4 6 4 2 .


3	x 1		3
3	x 1

70 – 79. Построить фигуру, ограниченную заданными линиями, и вычислить еѐ площадь.

70.	y	x2	2x		4,	y		x	2.
71.	y	x2	4x ,	y		x		4 .
72.	y	x2	2x	3,		y		x	1.
73.	y	6x	x2 ,	y		x .
74.	y	x2	3x	1,		y		2x	3.
75.	y	x2	2x ,		y		1	x	1.
75.	y	x2	2x ,		y	2		x	1.
						2
76.	y	x2	6x		4,	y		2x 1.
77.	y	x2	6x ,		y		x	4 .
78.	y	x2	7x	3,		y		x	5.
79.	y	4x	x2 ,	y		2x			8 .
7*. y x2			x 1, y x 2.

Решение задачи 7*. Найдем абсциссы точек пересечения заданных линий. Для этого решим уравнение x2 x 1 x 2.

Получаем x1 1 и x2 3. Сделаем чертеж (см. рис. 7).

Рис. 7

Известно, что площадь фигуры,

ограниченной линиями x

a , x

b (a b) ,

f1 (x) ,

f2 (x) ( f1 (x)

f2 (x) на отрезке [a,b]), вычисляется по формуле

( f2 (x)

f1 (x)) dx .

Поэтому

площадь заштрихованной

фигуры,

изображенной на

рис.

7, равна

((x

(x2

1)) dx

(

3) dx

(

)

(кв. ед.).

80 – 89. Найти точки экстремума функции z

f (x, y) и вычислить значения

функции в этих точках.

80.

2 .

81.

2x2

82.

2xy 3x2

83.

4x2

2xy

84.

0,5x2

85.

8x2

2y2

16x

86.

y .

87.

4xy 4x2

2y2

88.

4x 5y .

89.

5x2

4xy

2y .

8*. z

2x2

xy 3y2

2x 11y 1.

Решение задачи 8*. Вычислим частные производные первого порядка

2 ,

6 y

11 и приравняем их к нулю

x 6 y 11 0.

Решая полученную систему уравнений, находим x 1, y 2. Чтобы определить, действительно ли точка M ( 1; 2) является точкой экстремума, найдем частные производные второго порядка

		zxx	4, zxy	1, zyy	6 .
Так	как	величина		zxx (M ) zyy (M ) zxy (M ) 2			4 6 (	1)2 23
положительна в точке M ( 1; 2) , то эта точка является точкой экстремума.
Так как zxx (M )		4 положительна в точке			M ( 1; 2) ,	то эта точка является
точкой	минимума.	Найдем	значение		функции	в	этой	точке
zmin ( 1; 2)	2 12 1 2	3 22 2 1	11 2	1 11.

90 – 99. а) Пользуясь одним из признаков сходимости числовых рядов с положительными членами, установить, сходится или расходится данный ряд; б) установить, сходится или расходится знакочередующийся ряд, если

сходится, то выяснить, как он сходится: абсолютно или условно; в) найти область сходимости степенного ряда.

90. а)	1								2								3																				n					,

	2 3						3 3					2							3														(n	1) 3							n
	2 3						3 3							4 3																			(n	1) 3
б)	1 1 1													1					( 1)n 1																					1				,

	4				7				12					19																								n2			3
	4				7				12					19																								n2			3
					x2						x3													xn
в)	x																													.
в)	x			2								3													n					.
91. а)	2				22					23												2n								,
91. а)	1			2		3						3											n				3			,
	1			2					3														n
б)	1 1 1 1																	( 1)n 1																1								,

	5				7					9				11																						2n				3
	5				7					9				11																						2n				3
в) x					x2										x3															xn					.
				2									3																n
				2				2					3			3													n		n

92. а)		2							2								2																	2						,

	3 5						6 52							9 53																			3n			5n
б)		1							1					1								1												( 1)n 1								1				,

									3

	2			2										10								11																					n 7
в)	x x2										x3												xn							.
в)	1				4						9												n2							.
	1				4						9												n2
93. а)	3					9						27																		3n						,
93. а)	2	2					2					4		2												(n				1)			2			,
	2			3								4														(n				1)
б)	1 1 1													1						( 1)n 1																				1					,

	2				6				12					20																									n2 n
	2				6				12					20																									n2 n
в)			x							x2									x3																			xn				.
																					8
	1 2								2 4										3		8																n 2n
94. а)	2				5				10														n2							1			,
94. а)	4				42					43																	4n						,
	4				42					43																	4n
б) 1				1					1					1						(											1)n			1						1					,
																																		1

				3								5 3																												2n		1
				3								5 3																												2n		1
в)	2x				x2				8						x3													2n					xn					.
в)	2x				x2									9																n2								.
														9																n2
95. а)	1								1								1																	1									,

	3 5						4 52							5 53																		(n						2) 5n

														24
б)	1		1	1			1	( 1)n 1				1		,
б)	2	9		28			65	( 1)n 1				n3	1	,
	2	9		28			65					n3	1
			x2		x3				xn
в) x											.
					3				3
		3 2			3	3			3	n

96.а)

б)

в)

97.а)

б)

в)

98.а)

б)

в)

99.а)

б)

в)

9*. а)

б)

в)

8				82								83													8n						,
4			5							6													n					3			,
1			1						1							1				(									1)n 1									1					,

2			5						8						11																				3n					1
2			5						8						11																				3n					1
	x									x2										x3																xn						.
3 1						3		2		2					2				3			3			2						3			n				n		2		.
3 1						3				2									3			3									3							n
1						2				3																	n				,

3			3				4								5							3					n	2
3			3							3												3
1			1												1							1							(								1)n 1						1				,

2
						7									10							13																						3n		1
						7									10							13																						3n		1
	x			x2									x3											xn					.
	x		2			3				3														n		3			.
			2							3														n
4			5							6														n				3			,

2			22							23																2n
1		1							1							1						( 1)n 1																		1				,

		7 17														31																				2n2						1
		7 17														31																				2n2						1
3x			32								x2						33 x3															3n xn										.

										2											3															n
										2											3															n
1							1												1												1										,

52			2 53													3 54														n 5n 1
1									1							1						1								(									1)n			1			1			,
																																										1
																6

2						2				3												4 5																						n		n 1
2x			22									x2						23 x3															2n xn									.
2x							23												33																n3							.
							23												33																n3
1						4				9																	n2				,
22						23								24											2n 1						,
1			1							1									1					(							1)n 1											1					,

2			10							30									68																				n (n2 1)
2			10							30									68																				n (n2 1)
4x					42							x2						43 x3															4n xn									.
							3												3												3
										2												3															n
										2												3															n

Решение задачи 9* а) Применим к данному ряду с положительными членами признак

Даламбера: если все члены числового ряда u1 u2 u3 un положительны

и существует предел lim

un 1

то при

1 ряд

сходится, при 1 ряд

расходится.

Выпишем n -й и (n 1) -й члены ряда:

un 1

1)2

(n 1)

2n 1

2(n 1) 1

2n 2

Тогда

n 1

(n 1)2 n2

(n 1)2 2n 1

(n 1)2

2n 2

2n 1

2n 2

2 n2

Вычислим предел lim

n 1

lim

1)2

2 n

Так как

1, то данный ряд сходится.

б) Воспользуемся признаком Лейбница сходимости знакочередующегося

ряда u

(

1)n 1

Если u1

un 1

и lim un

0 , то ряд сходится.

Для данного в задаче ряда условия признака Лейбница выполнены:

1	1		1		1							1				1

2	10		30			68					n (n2 1)			(n	1)	((n 1)2			1)
и lim un				lim	1					0 .

					n (n		2	1)
	n			n	n (n			1)
	n			n
		Следовательно, знакочередующийся ряд сходится.
		Теперь установим вид сходимости (абсолютная или условная)
знакочередующегося ряда.
		Знакочередующийся ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится
ряд, составленный									из			абсолютных				величин			его	членов, т.е. ряд вида
u1		u2	u3 un					.
		Сходящийся знакочередующийся ряд называется условно сходящимся, если
ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
		По исследуемому знакочередующемуся ряду
								1	1			1	1			( 1)n 1			1

								2	10			30	68					n (n2		1)
								2	10			30	68					n (n2		1)
составим ряд из абсолютных величин его членов
									1			1	1		1	1
																				.
									2			10	30		68		n (n2		1)	.

Получим числовой ряд с положительными членами, к которому применим признак сравнения:

если есть два числовых ряда с положительными членами

u1	u2	u3 un	,
v1	v2	v3 vn

Источник: https://studfile.net/preview/16414754/

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ