Материал: 5720

Решение. Рангом квадратичной формы называется ранг, задающий эту форму матрицы.

Матрицей первой формы f двух переменных является матрица (см. пример 53)

Единственный её минор высшего (второго) порядка совпадает с определителем этой матрицы. Очевидно, что . Тогда и, следовательно, ранг квадратичной матрицы будет равен двум (будем писать ).

Матрицей второй заданной формы является матрица (см. пример 55).

Так как , то ; тогда и .

Третья заданная квадратичная форма определяется матрицей третьего порядка (см. пример 54)

Четвёртой квадратичной форме соответствует матрица (см. пример 56)

Так как (предоставляем проверить это читателю), то

.

В пятом примере матрица формы такова:

(обращаем внимание, что эта форма с тремя переменными). Очевидно, что

Пример 58. Из квадратичных форм

1)

5)

нужно выделить канонические (диагональные) формы.

Решение. Квадратичная форма n переменных называется канонической или диагональной, если она имеет вид

.

Матрица А такой формы является диагональной, т.е.

.

(Элементы главной диагонали есть коэффициенты при квадратах соответствующих переменных , а остальные элементы равны нулю).

Из перечисленных форм таковыми являются формы под номерами 2), 3) и 5). Отметим, что пятая форма есть квадратичная форма трёх переменных, а её матрица имеет вид

Ранг этой матрицы равен двум (укажите минор второго порядка, отличный от нуля), тогда и ранг этой формы равен двум.

Ответ: Квадратные формы под номерами 2), 3), 5) являются каноническими (диагональными).

Пример 59. Из канонических (диагональных) форм

нужно выделить формы нормального вида.

52

Решение. Канонический (диагональный) вид квадратичной формы называется нормальным видом, если коэффициенты при переменных могут принимать своими значениями числа 1, − 1, 0.

Согласно данному определению, диагональные формы 2), 3) и 4) являются формами нормального вида.

Ответ: Диагональные формы 2), 3) и 4) имеют нормальный вид.

Пример 60. Указать преобразование координат, с помощью которого каноническая форма

приведётся к нормальному виду относительно новых переменных. Выписать нормальный вид формы в новых переменных.

Решение. Очевидно, что таким преобразованием координат является линейное преобразование

(предлагаем читателю найти обратное преобразование и выписать матрицы этих преобразований). В новых переменных квадратичная форма примет нормальный вид

.

Коэффициентами при новых переменных являются числа 1, 0, 1, 1. Ответ: Надо применить линейное преобразование

При этом форма приведётся к нормальному виду

.

Пример 61. Найти ранги следующих квадратичных форм:

Решение: Ранги этих форм можно найти путём нахождения рангов матриц, задающих эти формы (см. пример 57).

Так как все эти формы канонические (в частности, нормальные), то их ранги равны числу коэффициентов , отличных от нуля (в случае нормального вида − числу единиц и (−1), без учёта нулей). Напомним, что , где n − число переменных

53

Пример 62. Выяснить, какие из квадратичных форм примера 61 являются невырожденными.

Решение. Квадратичная форма называется невырожденной, если , т.е. . Согласно решению предыдущего примера невырожденным являются квадратичные формы 1), 2) и 3).

Ответы: Невырожденными являются квадратичные формы 1), 2) и 3).

Пример 63. Привести квадратичную форму

к каноническому виду.

Решение. Всякая квадратичная форма некоторым линейным преобразованием переменных может быть приведена к каноническому виду, причём коэффициентами этого вида будут характеристические корни матрицы квадратичной формы, взятые с их кратностями. Так как матрица квадратичной формы симметрична, то корнями её характеристического уравнения будут действительные числа. В данном примере матрица А имеет вид

Её характеристическое уравнение таково:

Таким образом, каноническим видом формы является форма

.

Ответ: .

Пример 64. Выяснить знак квадратичной формы примера 63.

Решение. Квадратичная форма n переменных называется положительно определённой (отрицательно определённой), если

54

1)квадратичная форма положительно определена;

2)собственные значения матрицы формы положительны.

Из решения предыдущего примера следует, что рассматриваемая форма положительно определена.

Ответ: т.е. форма положительно определена.

Пример 65. Исследовать квадратичные формы

1) ,

2)

с помощью критерия Сильвестра.

Решение. Приведём два утверждения, называемые критериями Сильвестра.

1.Следующие условия равносильны:

1)квадратичная форма положительно определена;

2)все условные (главные) миноры её матрицы положительны.

2.Следующие условия равносильны:

1) квадратичная форма отрицательно определена;

55