Материал: 5720

третьего порядка методом разложения по какой нибудь его строке или какомунибудь его столбцу 9 по правилу Лапласа).

Решение. Этот определитель можно вычислить и другими способами ( например, по правилу треугольника или методам Гаусса). Правило Лапласа можно применять для определителей любого порядка . При этом определитель можно вычислять разложением по любой строке (любому столбцу). Если разлагаем по первой строке, то формула вычисления определителя n-го порядка имеет вид

.

В случае определителей второго порядка справа в этой формуле будут два слагаемых, а в случае определителей третьего порядка три слагаемых. Аналогичные

(n 1) – го порядка, полученные из элементов матрицы А, оставшихся после вычёркивания i-й строки и j-го столбца (без изменения порядка элементов). Из

Проведём вычисления алгебраических дополнений в случае матрицы данного

Такой же результат получим при разложении по двум другим строкам. Вычислим этот же определитель разложением по первому столбцу:

.

Тот же результат получим при разложении этого определителя по двум другим столбцам.

Ответ: .

26

Пример 21. Вычислить определитель

.

Решение. Воспользуемся правилом Лапласа. Для уменьшения вычислительной работы разлагать надо по той строке (тому столбцу), где имеется больше всего нулей. Следовательно, надо разлагать по третьему столбцу. Тогда:

.

Ответ: .

Пример 22. Определитель

Вычисляется разложением по второй строке. Выяснить, какой из вариантов ответов

1)

2)

3)

является правильным.

Решение. Разложение по второй строке имеет вид:

.

Вычисли участвующие здесь алгебраические дополнения:

,

,

.

Тогда

,

т.е. правильный ответ – это вариант 3). Ответ: Вариант 3), при этом .

27

Решение. Если матрица n-го порядка является матрицей треугольного вида, то её

Решение: Будем преобразовывать этот определитель, пока не получим определитель с матрицей треугольного вида, который, как отмечено выше, равен произведению диагональных элементов. При этом каждый раз будем помечать разрешающий элемент . Описание метода Гаусса см., например, в [6, 8, 10].

Метод основан на следующем свойстве: определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Свойство относится и к столбцам определителя. На первом этапе преобразования элементы разрешающей строки S остаются неизменными.

.

Новый определитель надо вычислит путем разложения по элементам разрешающего столбца. Придётся вычислить минор элемента , который будет определителем меньшего (n-1)-го порядка. С этим определителем проводится аналогичная процедура и т.д. При этом на последующих шагах (этапах) разрешающие строки остаются неизменными. В результате таких действий с данным определителем имеем:

.

Ответ: .

28

Пример 25. Определитель

вычисляется методом Гаусса. Выяснить, в каком из случаев

,

преобразования приведены правильно. Указать значение определителя.

Решение. За разрешающий элемент взят элемент . В следующей записи первая строка остаётся неизменной, а первый столбец, кроме элемента , дополняется нулями. Это сделано правильно в каждом случае. Остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольника. Это сделано правильно во втором случае. При этом определитель свёлся к определителю с матрицей треугольного вида. Следовательно

Ответ: Преобразования проведены верно в случае 2, при этом ∆ = 24.

Пример 26. Установить, при какой λ выполняется равенство

Решение. Очевидно, что указанное равенство выполняется при При таком λ третья строка будет пропорциональна второй. Известно свойство: определитель, у которого какие-нибудь две строки пропорциональны, равен нулю.

Ответ: λ=10.

Решение. Для квадратной матрицы существует единственная обратная матрица если , т.е. определитель матрицы отличен от нуля. Очевидно, что в случаях 1), 2) и 4) . В случае 3) . Действительно,

Таким образом, в случае 3) существует

29

Пример 28. Установить, при каком λ матрица

не имеет обратной.

Решение. Матрица не имеет обратной, если она является вырожденной (особенной), т.е. в случае (см. предыдущий пример). Тогда должно выполняться равенство

т.е. 2 λ – 12 = 0. Тогда λ = 6.

Ответ: при λ = 6 данная матрица не имеет обратной.

Пример 29. Указать, какая из матриц

,

Е – единичная матрица того же порядка, что и квадратная матрица А. Таким образом, надо проверить эти равенства. Согласно правилу умножения матриц, это будет только в случае 3). Действительно,

Остальные случаи читатель может проверить самостоятельно. Ответ: матрица случая 3).

Пример 30. Найти обратную матрицу к матрице

.

30