Материал: Matan_DOKhUYa
1. Матрицы и действия над ними.
Основные понятия. Матрица – прямоугольная таблица чисел, составленная из некоторых математических объектов, состоящая из m строк и n столбцов. i (m) – номер строки; j (n) – номер столбца Матрицы спец. вида:
квадратная |
единичная |
диагональная |
матрица строка |
матрица столбец |
ступенчатая |
|
|
|
|
|
|
Действие над матрицами.
1.
Сложение: суммой двух матриц A
и B
называется матрица С, такая, что
2.
Умножение
на число: произвед. матрицы Amxn=(aij)
на число k
наз. матрица Bmxn=(bij)
такая, что bij=k*aij
Обладает
свойствами: коммутативность [a+b=b+a],
ассоциативность [a+(b+c)=(a+b)+c],
дистрибутивности [a(b+c)=ab+ac]
кольцо-
это множество сведенных на нем операций
не слож. и выч.
алгебр.
структура
– множество сведенных на нем хотя бы
одной операции
линейным
пространством наз.
множ-во сведенное опер. умножение,
сложение на число
3.
Произведение
матриц: А*В наз. такая матрица С, каждый
элемент сij
которой
равен
сумме
произведений элементов i-й
строки матрицы А на соответствующие
элементы j-го
столбца матрицы В: (Аmxn;
Bcxb;
n=c;
A*B=Cmxb)
пример:
А*В
В*А
4.
Транспонирование: матрица Ат
наз.
транспонир., если атij
=
aji
Amxn;
Атnxm
пример:
2. Определители второго и третьего порядков.
Квадратной матрице А порядка n можно составить число detA (или |A|, или ∆), наз. ее определители след. образом:
1. n=1; A=(a1); detA=a1 2.
n=2; A= |
3. n=3; A= ; |
;
|A|=a11*a22
−
a12*a21свойства:
1.
Определитель не изменится, если его
строки заменить столбцами и наоборот
пример:
|
2.
При перестановке двух парал. рядов
определитель меняет знак:
пример:
|
|
n3.
Определитель, имеющий два одинаковых
ряда равен нулю
пример:
|
4.
Если в определителе две строки
пропорц., то определитель равен нулю.
пример:
|
|
5. Если в определителе сумме двух слагаемых, то определитель равен сумме всех определителей пример:
|
||
6. Если какая-либо строка в опред. содержит общий множитель, то его можно вынести за знак определителя пример: в 4 свойстве |
||
7.
Определитель не изменится, если к
элементам одного ряда прибавить
соответствующие элементы параллельного
ряда, умнож. на любое число
пример:
Теория Лапласа |
|
3. Миноры и алгебраические дополнения.
Минором (Mij) некоторого элемента аij определителя n-го порядка наз. определитель n-1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания |
|
строки и столбца на пересечении некоторых находится выбранный элемент.
Алгебраическим дополнением (Аij) элемента aij определителя наз. его минор, взятый со знаком «плюс», если сумме i+j – четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Аij=(-1)i+j Mij detA = ak1j Ak1j + ak2j Ak2j + ak3j Ak3j
4. Обратная матрица.
Квадр. матрица А наз. невырожденной (не особен.), если определитель (∆) не равен нулю невырожденная: detA≠0 вырожденная: detA=0
Матрица А-1 наз. обратной матрице А, если выполн. услов: А*А-1=Е Е-единичная матрица |
|
AV – наз. присоед., если она составлена из алгебр. дополнений элементов этой матрицы
пример
: A= |
|
– взаимная
матрица, если явл. транспонированной
присоединённой матрицы :
=(АV)TФормула
обратной матрицы
5. Решение систем линейных алгебр. Уравнений. Теорема Крамера.
СЛАУ наз. система вида
|
a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn=b2 ……………………………… am1x1+am2x2+am3x3+…+amnxn=bm |
cовместная − имеет хотя бы одно решение не совместная − не имеет решений определенная – сист-а имеет единич. решение неопределенная − имеет более одного решения |
Теория
Крамера
Если
дана система с n
уравнениями и n
неизвестными, причем определ. матрицы
(системы) отмечен от нуля, то система
наз. невырожденной и у этой системы
можно найти решение по формуле:
Матричный способ
Ax=B |*A-1 A-1Ax = A-1B x=A-1B (A-1A = E = 1)
6. Линейная балансовая модель Леонтьева.
Цель балансового анализа ответить на вопрос, рассматриваемый в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удоблять все потребности в продвижении этой отрасли. Идея метода впервые появилась в ХХ годах в трудах сов. ученых и получил дальнейшее развитие в трудах Леонтьева. хi- общий (валовой) объем продукции i-й отрасли;
хij- объем продукции i-й отрасли, потребл. j-й отраслью в производстве
yi- объем конечного продукта i-й отрасли для непроизвод-ого потребления
|
(i=1,
2,…, n)
соотношение баланса |
|
(ij=1, 2,…, n) коэф. прямых затрат |
7. Метод Гаусса-Жордана.
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х4 |
b |
∑ |
|
1 2 0 |
-1 3 -4 |
-1 -2 1 |
1 3 -4 |
-1 2 -1 |
-1 8 -8 |
-I(2) |
1 0 0 |
-1 5 -4 |
-1 0 1 |
1 1 -4 |
-1 4 -1 |
-1 10 -8 |
+III |
1 0 0 |
-1 1 -4 |
-1 1 1 |
1 -3 -4 |
-1 3 -1 |
-1 2 8 |
+II (4)+III |
1 0 0 |
0 1 0 |
0 1 5 |
-2 -3 -16 |
2 3 11 |
1 2 0 |
-III(:5) (1/5) |
1 0 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
-2 0,2 -3.2 |
2 0.8 2.2 |
1 2 0 |
|
Метод применяется для решения систем любого разряда в отличии от метода Кронекера-Капелли, является методом полного исключения этапа действия: сначала приводим к ступенчатому виду, далее идет последовательное определение неизвестных из этой ступен. системы.
x1, x2, x3 – базисные x4 -свободная переменная