Материал: Matan_DOKhUYa
23. Теорема Тейлора.
Если
f(x)
имеет в некоторой окрестности точку
,
производную (n+1)
порядка, существует
окр.
,
f(x)=
+
(x),
где
(x)=
*
Пример:
Найти
формулу Тейлора для функции у=
при
=0.
y´=
;
y´(0)=1;
=
;
y´(0)=1;
=
;
;
=
+
;
=
+
;
=1+
+
+
...+
+
(x).
24. Признак монотонности.
Если
функция f(х)
диф. на интервале (a;b)
и f´(x)≥0
(f(x)≤0)
для любых х
(a;b),
то функция не убывает(не возрастает)
на этом интервале.
Доказательство: на
интервале (a;b)
выполнены все условия теоремы Лагранжа
для любых
,
, f(a;b);
.
f(
)-f(
=f´(C)(
;f´(C)≥0,(
;C
;
f(
)-f(
)≥0
следовательно f(
≥f(
Функция не убывающая, ч.т.д. Т(
,f(
-называется
точкой локального max(min),
если существует ∆-окрестность в точки
такая, что для любых х из этой окрестности
выполняется неравенство f(
)
Необходимое
условие локального экстремума. Если
f(x)
имеет в точке
локальный экстремум и диф. в этой точке,
то f´(
)=0.
Доказательство данной теоремы основано
на теореме Ферма. Пример:y=
;y´(x)=3
;
3
=0;
x=0.
Достаточное
условие локального экстремума:
Если f(x)
диф. в некоторой окрестности точки
и опр. в ней, то
1)
f´(x)
)
- Max
f´(x)
2)
f´(x)
)
- Min
f´(x)
Доказательство основано на теореме Лагранжа.
y=
25. Направление выпуклости.
Если
функция f(x)
имеет на (a;b)
вторую производную и f´´(x)
0
(f´´(x)
0)
,
то график функции имеет выпуклость
направленную вниз(вверх). Доказательство
Запишем уравнение касательной R
в точке
;
y=f(
уравнение
касательной. Рассмотрим интервал (a;b)
на нёразложим по формуле Тейлора
y=f(
+
(x-
+
;
;
Y-y=
;
y-Y
;
y-Y
,
y
Точки
перегиба графика функции:(
)
называется точкой перегиба графика
функции y=f(x),
если график имеет в этой точке касательную
и разные напр. выпуклости слева и справа
от этой точки.
26. Необходимые условия точки перегиба.
Если функция y=f(x) имеет в точке перегиб и непрерывную производную в некоторой окрестности этой точки, то вторая производная в этой точке равна 0. Доказательство: производится от обратного предположения, что вторая производная не равна 0. По теореме о сохранение знака сущ. окрестность, в которой функция имеет тот же знак, что и в точке , а это противоречит условию теоремы. Достаточное условие точки перегиба: для того чтобы имела в точке перегиб, достаточно, чтобы она имела f´´ и разные направления выпуклости слева и справа от этой точки.
27. Асимптоты графика функции.
Асимптоты-
прямая, к которой график функции сколь
угодно раз близко приближается при х
или
в окрестности точек разрыва. Асимптоты
бывают: вертикальными, горизонтальными,
наклонными. Горизонтальная асимптота:
прямая у=
графика f(х)
если
.
Прямая х=
называется вертикальной асимптотой
графика у=f(х),
если хотя бы один из односторонних
пределов
.
у=
;
=+
;
=-
.
у=
;
=
=0, у=0-
горизонтальная асимптота.
.
Наклонная асимптота- это прямая у=kx+b
график функции у=f(x)
при f(x)=kx+b+
,
x
,
где
k=
;
b=
.
Если хотя бы один из пределов не
существует или бесконечен, то наклонной
асимптоты нет. Пример:
y=
;
k=
;
у=
=
=
=1
y=1*x+1=x+1
Cхема
исследования графика функции. 1)Область
определения, область значения, чётность,
не чётность, периодичность.2)Характерные
точки графика функции(пересечение с
осями)- х=0,у=0. 3)Точки
возможного экстремума. f´(x)=0
. Интервалы монотонности f´(x)
,
f´(x)
4)Точки
перегиба:f´´(x)=.0
Направление выпуклости f´´(x)
;
f´´(x)˂0.
5)Асимптоты
графика функции 6)
Построение графика на основании
исследования.
28. Комплексные числа.
-
это упорядоченная пара действительных
чисел.
Комплексные числа- это расширенное
понятие числа. z=(x;0)-
действительное число, где х- действенная
часть; у-мнимая часть. z=(0;у)- чисто мнимое
число; z=(0;1)-
мнимая единица-i;
равные
числа
=
;
Действие
над комплексными числами Суммой(разностью)
2-х комплексных чисел называется число,
определяемое следующим образом: z=
Комплексное
число может быть представлено в виде:
z=x+iy(алгебраическая
форма)=(
z=
+i
=
(
)
29. Тригонометрическая форма комплексного числа.
φ=Arg
Z=2
0
z=1,
x=1; y=0; p=
cos
=1;
tg
z=1(cos 0+ i sin 0)= cos 0+ i sin 0 = 1+i
;
tg
z=1+i=
)
30. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня.
k=0,1,2,..,n-1
Формулы Эйлера:
Формула
Эйлера утверждает, что для
любого действительного и
комплексного числа x выполнено
следующее равенство: eix
= cosx
+ sinx,
где е — одна
из важнейших математических констант,
определяющаяся следующей формулой: 
,
i — мнимая
единица.
Доказательство формулы Эйлера можно провести с использованием рядов Тейлора. Разложим функцию eix в ряд Тейлора в окрестности точки a = 0 по степеням x. Получим:
Но
Поэтому eix = cosx + sinx ч. т. д.
1. Матрицы и действия над ними. 1
6. Линейная балансовая модель Леонтьева. 1
7. Метод Гаусса-Жордана. 1
8. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. 2
9. Прямоугольная система координат в пространстве. Понятие вектор. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора. 2
10. Линейные операции над векторами. Теоремы о проекциях векторов. Линейная зависимость векторов. 3
11. Скалярное произведение векторов. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. 3
12. Векторное произведение. Выражение векторного произведения через координаты векторов. 3
13. Смешанное произведение трех векторов. Выражение смешанного произведения через координаты векторов. 3
14. Векторное параметрическое уравнение прямой. Задача о делении отрезка в зад. отношении. 3
15. Координатные уравнения прямой в пространстве. 3
16. Координатные уравнения прямой на плоскости. 3
17. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямых на плоскости. 3