Материал: Matan_DOKhUYa
12. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.
Если существуют производные U'(x) и V'(x), то производная от суммы(разности) этих функций равна сумме (разности) производных:
(u(x)±v(x))’=u’(x) ± v’(x)
Правило дифференцирования суммы или разности функций также следует из определения производной функции и свойства пределов функций, согласно которому предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) соответствующих пределов.
Если
существуют производные U'(x)
и V'(x),
то выполняются следующие правила
дифференцирования произведения функций
и частного от их деления:
(U*V)'=U'V+
UV';
(
13. Понятие дифференциала. Дифференциал суммы, разности, произведения и частного.
Определение:
Дифференциалом
dy функции y
= f(x)
в точке x называют главную, линейную
относительно ∆x, часть ее приращения
∆y, которая равна произведению производной
функции в этой точке на приращение
аргумента: dy
= f''(x)*∆
х.
Для
производной существует запись: f''(x0)=
Геометрически дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в рассматриваемой точке, когда переменная x получает приращение ∆x. Основные формулы, которые связаны с дифференциалами, можно получить, используя связь между дифференциалом функции и ее производной, то есть тот факт, что dy=y'(x)dx, а также соответствующие формулы для производных. Рассмотрим две дифференцируемые функции u(x) и v(x). Тогда имеют место следующие равенства:
1. d(u + v) = du + dv ; 2. d(uv) = u*dv + v*du ;
|
3.
d
4. d(cy(x)) = cd(y(x)). |
;
14. Производные постоянной, тригонометрических и логарифмической функций.
При
выводе самой первой формулы таблицы
будем исходить из определения производной
функции в точке. Возьмем x0=x,
где x
– любое действительное число, то есть,
x
– любое число из области определения
функции f(x)=C.
Запишем предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при
∆x→0:
Таким образом, производная постоянной функции f(x)=C равна нулю на всей области определения.
Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:
16. Производные показательной и обратных тригонометрических функций.
Производная показательной функции: у=ах, у'=ахlna
Производные
обратных тригонометрических ф-ций:
(arcsinx)’=
x(y)=sin
y
; x'(y)=cos
y=
;
y'=
(arccosx)’=
(arctgx)’=
x'(y)=tg
y,
x'(y)=
; y'=
(arcctgx)’=
17. Логарифмическая производная. Производная степенной функции.
Логарифмическая производная.
y=ln
U;
y'=(ln
U)'=
Для примера найдем производную показательно степенной функции x в степени x.
Логарифмирование дает ln y=ln xx. По свойствам логарифма ln y=x*ln x. Дифференцирование обеих частей равенства приводит к результату:
ln y=x*ln x
(ln y)'=(x*ln x)'
*y'=x'*ln
x+ x*(ln x)'
y'=y*(1*ln
x+x*
=y*(ln
x+1)=xx*(ln
x+1).
Формула производной степенной функции имеет вид (x)' = n * xn-1, где показатель степени p – любое действительное число.
ln
y=ln
xn=n*
ln
x;
; y'=ny
18. Таблица производных простейших элементарных функций.
f(kx+b) |
f’(kx+b) |
ctg(kx+b) |
|
(kx+b)p |
kp(kx+b)p-1 |
arcsin(kx+b) |
|
ekx+b |
kekx+b |
arccos(kx+b) |
|
akx+b |
kakx+blna |
arctg(kx+b) |
|
ln(kx+b) |
|
arcctg(kx+b) |
|
loga(kx+b) |
|
sh x |
ch x |
sin(kx+b) |
k cos(kx+b |
ch x |
sh x |
cos(kx+b) |
-k sin(kx+b) |
th x |
|
tg(kx+b) |
|
cth x |
|
В
частности, при а=е
имеем
у=ln
x,
(ln x)'=
По
определению производной для функции
синуса имеем
Воспользуемся формулой разности синусов:
Осталось обратиться к первому замечательному пределу:
Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.
Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования
tg'x=
ctg'x=
15. Производные обратной и сложной функций
Теорема
о производной обратной функции:
Если
функция у=f(x)
имеет производную в т. Х0,
где f''(x0)≠0,
то функция х=f-1(y)
имеет также производную в этой точке,
причем (f-1(y0))'=
Теорема о производной сложной функции. Пусть функция u=u(x) имеет производную в точке х0 , а функция y=f(u) имеет производную в точке uo=u(xo) . Тогда сложная функция y=f(u(x)) имеет производную в точке х0, причем y’=f ’(uo)•u’(xo)
Данная формула может быть распространена на конечное число суперпозиций.
19. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
Рассмотрим
функции, заданные параметрическими
уравнениями:
x=ϕ(t),
y=Ψ (t);
t
Параметрически заданную функцию можно рассматривать как сложную:
х=ϕ(t)
; t=
(x)
; (
(x)≠0)
y=Ψ (t) =Ψ( (x))
y'=Ψ' (t) (
(x))'=
формула
производной параметрически заданной
функции:
y'=
20. Теоремы Ферма и Ролля.
Т
еорема
Ферма. Пусть
f(x)
задана на открытом промежутке и достигает
в
своего max(min),
тогда если f(x)
имеет f´(x),
то она равна 0.
Доказательство:
Допустим
точка maх;
f´(
)=
∆f=(f(
+∆x)-f(
))≤0
+ ∆x
1
)∆x
0
∆f
˂0 следовательно
˂
0
=f´(x)
≤ 0 2)∆x˂0
∆f
0
следовательно
0
=f´(x)
0
Из этих условий следует, что f´(x)=0
Теорема
Ролля.
Если
функция f(x)
непрерывна на отрезке
,
дифференцируема во всех точках интервала
(a;b)
и на концах x=a
и x=b
принимает равные значения (f(a)=f(b)),
то существует внутри интервала (a;b)
по крайней мере одна точка x=c
, a˂c˂b,
в которой производная f´(х)
обращается в ноль, т.е. f´(с)=0
Доказательство
:
Рассмотрим
два случая: 1)Если
непрерывна на
,
то по второй теореме Вейерштрасса.
М-наиб. m-наим.
M=m
следовательно f(x)-const.
F´(x)=0,
x
(a;b)
2)Если m˂M
то хотя бы одно из значений функции
достигает внутри промежутка. Значит
это локальный экстремум. Следовательно
по теореме Ферма f´(c)=0Теорема
Ролля имеет наглядный физический смысл.
Предположим, что тело движется вдоль
прямой и через некоторый промежуток
времени возвращается в исходную точку.
Тогда в данном промежутке времени
существует момент, в котором мгновенная
скорость тела была равна нулю.
21. Теорема Лагранжа и Коши.
Теорема
Лагранжа:
Если
функция f(x)
удовлетворяет условиям:
1. Функция
непрерывна на
2. Функция дифференцируема на
,
то существует
(a;b)
такая что f(b)-f(a)=f´(
)*(b-a)
Доказательство:
Рассмотрим
вспомогательную функцию
Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке [a;b], а на его концах принимает одинаковые значения: F(a)=F(b)=0
Тогда F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка (a;b), в которой производная функции F(x) равна нулю:
геометрический смысл: геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции f(x) найдется точка С(с, f(с)), в которой касательная к графику f(x) параллельна секущей АВ. Следствия:1. Если f'(х) = 0 на некотором промежутке (a, b), то функция f(x) постоянна на этом промежутке.2.Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.
Теорема
Коши:
Если
1) f(x)
и g(x)
непрерывны на
2) f(x)
и
g(x)
дифференцируемы на (a;b)
3) g´(x)
0
на
.
то существует точка С
такая что
=
.
Следствие: теорема Лагранжа является
частным случаем теоремы Коши при g(x)=x.
22. Теорема Лопиталя.
f(x), g(x) определены в некоторой окрестности за исключением может быть самой точки и удовлетворяет условиям 1) f(x) и g(x)-дифференцируемы
2)
g´(x)
0,
то существует формула
и
3)
справедлива формула
=
=
=
;
=
=
Пример:
=
=
=
=
;
=
=
=
...=
=0
3)
=
=
=
=