Материал: Matan_DOKhUYa
a•b•c= |
a•(bxc)= |a|•|b•с| cos(a;b•с)= =|a|•|b|•|с| sin(b;c) cos(a;b•с)=Sh |
Свойства:
1.
(axb)•c=(сxа)•b;
2.
a•b•c
= -a•c•b
= -b•a•c
= -c•b•a;
3.
a•b•c=0,
то
a, b, c – компланарны.
Выражение
смешанных произ-ий через коорд.
а=(ax;ay;az),
b=(bx;by;bz),
с=(сx;сy;сz)
Двойное векторное произведение: ax(bxc)= b•(axc)-c•(axb)
14. Векторное параметрическое уравнение прямой. Задача о делении отрезка в зад. Отношении.
Т
ребуется
найти множество радиус векторов прямой,
проходящей через точки А и В, если дан
полюс О, радиус а (rA)
и радиус b
(rB)
AB=rB-rA;
rm-?;
точка М будет принадлежать прямой АВ,
когда МϵАВ; АВ и АМ – коллинеальны; rm=
rA+АМ;
rm=
rA+t
а;
rA
– нач. вект. прямой; а – направл. вект.
прямой;
Геометрический смысл параметра
t
состоит в следующем:
Т
ребуется
разделить отрезок АВ соед. точки А(х1;y1)
и В(х2;y2)
в заданном отношении λ>0,
т.е. найти координаты точки М(х;y)
отрезка АВ такой, что АМ/МВ=
λ
АМ=(х-х1;
у-у1)
ВМ=(х2-х;
у2-у) 
(х-х1)i+
(у-у1)j=
λ(х2-х)i+
λ(у2-у)j
Учитывая,
что равные векторы имеют равные
координаты:
формула деления отрезка дан.отнош.
при λ=1 АМ=МВ; λ=0 А и В совп.; λ≠1 в против. случае АМ/МВ=-1, т.е. АМ+МВ=0 → АВ=0
0,
е1,
е2)
– система координат точки А1(х1;у1)
А2(х2;у2).
17. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямых на плоскости.
В
заимное
расположение прямых на плоскости:
условие
|| : y=k1x+b1
; y=k2x+b2
; k1=k2
; a1=(l1;m1),
a2=(
l2;m2)
–
формула
угла между прямыми
Если
L1
||
L2,
то
|
Если
L1 |
=0
и tg
=0;
k1=k2→
условием паралел. двух прямых явл.
равенство коэф. k1=k2
L2,
то
=
; сtg
=
= 0; получ. 1+ k1k2
=0→ k1k2=-1
→ условием перпенд. прямых явл.
равенство k1k2=-1
или k1=
18. Координатные уравнения плоскости.
• Общее
уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0;
n(A;B;C);
A2+B2+C2>0
докажем,
что плоскость имеет вид: Ax+By+Cz+D=0;
выберим на плоскости М1(х1;у1;z1),
М2(х2;у2;z2),
М3(х3;у3;z3);
вектора М1М(х-х1;у-у1;z-z1),
М1М2(х2-х1;у2-у1;z2-z1)
̴ (ax;ay;az),
М1М3(х3-х1;у3-у1;z3-z1)
̴ (bx;by;bz).
Точка
М1
тогда и только тогда будет принадлежать
(ϵ) плоскости, если векторы компланарны:
М1М•М1М2•М1М3=
A(х-х1)+B(у-у1)+C(z-z1)=0
•
Уравнение плоскости проходит через
точку перпенд. (
заданному вектору:
|
ур-ие плоск. проходящей через 3 точки |
•
Уравнение
плоскости в отрезках на осях:
Ax+By+Cz=-D
→
|
•
Расстояние
от точки до плоскости.
|
→
пример:
найти расстояние от Мо(2;-1.7)
до плоскости 3x-4y-22z+5=0.
Мо(xoyo;zo);
Ax+By+Cz+D=0
Нормальное
уравнение плоскости. ОК (Q); OK=p; M(x;y;z); α,β,γ – углы, обр. единым вектором е
с осями Ох, Оу, Oz. Тогда е=(cos α;cos β; cos γ), r = OM=(x;y;z)
При любом положении точки М на плоск. Q проекция радиус-
вектора r на направление вектора e всегда равно p: преr=p
r•e-p=0 - нормальное уравнение плоскости в векторном виде
x•cosα + y•cosβ + z•cosγ – p = 0 нормальное уравнение плоскости в координатном виде
19. Общие уравнения прямой в пространстве.
П
рямую
в пространстве можно задать как линию
пересечения двух непараллельных
плоскостей.
Каноническое
уравнение
прямой:
Векторное уравнение прямой: r=ro+tS L||S t- скалярный множитель (параметр) tS=MoM
2 0. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Условие
параллельности прямых:
q̅1
(l1,
m1,
p1),
q̅2
(l2,
m2,
p2)
|
Условие перпендикулярности плоскостей: n̅1; n̅2 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 Условие параллельности прямой и плоскости: q̅ (l, m, p); n̅ (A; B; C) Al + Bm + Cp = 0 Условие перпендикулярности прямой и плоскости: q̅; n̅
|
Синус угла между прямой и плоскостью: |
|
L:
|
n плоскостями Q и L |
=
=
Условие
перпендикулярности прямых:
q̅1;
q̅2
l1
* l2
+ m1
* m2
+ p1
* p2
= 0
Условие параллельности
плоскостей:
n̅1
(A1;
B1;
C1);
n̅2
(A2;
B2;
C2)
;
Q:
Ax
+ By
+ Cz
+ D
= 0
sinɸ
=
̅
= (A;
B;
C)
S̅
= (l;
m;
n)
ɸ
- угол между
2
1.
Линии второго порядка
Общее
ур-ние линий второго порядка имеет вид:
Ax2
+
2Bxy
+ Cy2
+
2Dx
+ 2Dy
+ F
= 0, где A,
B,
C,
D,
E,
F
- коэфф., прин. R
В
зависимости от коф-та линии второго
порядка разделяются на окружности,
элипсы, гиперболы и параболы.
Окружность
при А=С.
- это множество всех
равноудалённых точек
M0
(x0;
y0)
M
(x;
y)
(x
- x0)2
+ (y
- y0)2
= R2
x2
+ y2
- 2x0x
- 2y0y
+ x02
+ y02
- R2
= 0
B
= 0; A
= C
Эллипс при A * C > 0
-
наз. множество всех точек плоскости,
сумма расстояний которых до 2 данных
точек называется фокусом, есть величина
постоянная.
F1
(-C;
0) |F1M|
+ |F2M|
= 2a
F2
(C;
0) |F1M|
=
фокальные
M
(x;
y)
|F2M|
=
радиусы
= 2a
(после действий над ур-ниями получаем)
= 1 b2
= a2
- c2
→
= 1
О - центр элипса, А1А2 - большая ось, В1В2 - малая ось, |
ОА1 = ОА2 – большая полуось, ОВ1 = ОВ2 - малая полуось |
Форма
элипса зависит от отношения
(b
= a
элипс превр. в окр.)
E
=
- эксцентриситет элипса (E
- эпсилон) 0
< E
< 1
r1
= A
+ Ex
и r2
=
a
– Ex;
x
= ±
- директрисы элипса; r
- либо
,
либо
= E