Материал: Matan_DOKhUYa

4.Первый замечательный предел.

- первый замечательный предел

Д ок-во:

OA=R=1

Очевидно, что существует неравенство :

,

BK ≤ x ≤LA; sin x ≤ x ≤ tg x;

;

Так как – четная, то предел справа равен пределу слева и тогда .

5.Второй замечательный предел.

- второй замечательный предел

Док-во: 1.Пусть . Каждое значение α заключено между двумя положительными целыми числами: n ≤ α ≤ n+1, где n=[α] – целая часть α, тогда .

,

По теореме о сжатой переменной

2.Пусть , при этом , тогда

6.Бесконечно-большие и бесконечно‑ малые функции. Сравнение бесконечно‑малых функций. Асимптотические формулы.

1.Функция у=f(x) называется бесконечно большой при , если

( )

2. Функция у=f(x) называется бесконечно большой при , если

( )

;

Функция у=f(x) называется бесконечно малой при , если .

Теорема о сумме бесконечно малых функций: Если α(x) и β(x) называют бесконечно малыми, то функция α(x)+β(x) так же бесконечно малая.

Теорема об эквивалентности: Если α(x), и β(x) называют бесконечно малыми при , при чем , то .

Теорема необходимого и достаточного условия эквивалентности: Для того что бы α(x) и β(x) были эквиваленты при , необходимо и достаточно, что бы их разность была бесконечно малой более высшего порядка, чем каждая из этих функций.

Сравнение бесконечно малых функций:

Асимптотические формулы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.

Функция у = f(x) называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е. .

Непрерывноть функции через преращение:

Ф ункция у=f(x) называется непрерывной в точке , если она определена в точке хо и ее окрестно­сти и бесконечно малому прираще­нию аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. .

Точками разрыва функции называются точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности.

Классификация точек разрыва:

1. Точки разрыва первого рода (скачок) – точка если фукнция имеет конечные но не равные односторонние пределы. ( )

Пример: неравные односторонние пределы (разрыв первого рода).

2. Точки разрыва второго рода (бесконечный разрыв) - очка если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или несуществует.

Примет:

8.Основные теоремы о непрерывных функциях.

Т еорема 1: Если f(x) и g(x) непрерывны в точке , то - непрерывны в этой точке.

Теорема 2 ( о сохранение знака): Если f(x) непрерывна в точке , то существует некоторая окрестность точки , в которой функция имеет тот же знак, что и в точке

Т еорема 3 (первая теорема Больцано-Коши): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах значения разных знаков, то существует точка такая, что

Т еорема 4 (вторая теорема Больано-Коши): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и f(a)=A, f(b)=B и A ≤ C ≤B, то существует такая точка , что f(c)=C.

Т еорема 5 (первая теорема Вейерштрассе): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом орезке.

f(a)=inf f(x); f(b)=sup f(x)

Т еормема 6 (вторая теорема Вейерштрассе): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на это отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения М.

9.Понятия сложной и обратной функций.

Пусть даны две функции z = f(y) и  у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций f и g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу h(x) = f(g(x)).

Пусть дана функция у = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости у = f(x) можно переменную х однозначно выразить через переменную  у. Выразив х через у, мы получим равенство вида х = g(y). В этой записи  g обозначает функцию, обратную к f. Если функция gявляется обратной для функции f, то и функция является обратной для функции g. Пару функций f и g называют взаимно обратными функциями.

Если мы одновременно построим графики функций f и g в одной и той же системе координат, откладывая по оси абсцисс аргументы обеих функций, а по оси ординат –их значения, то эти графики будут симметричны друг другу относительно прямой  у = х.

10. Понятие производной. Геометрический и физический смыслы производной.

Производной функции у=f(х) в т. Х₀ называется предел отношения приращения ф-ции в этой точке к приращению аргумента при ∆х→0, т.е.

Геометрический смысл: производная в т. Х₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у=f(x) в этой точке f

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в т. Х₀: y= f(x₀) + f ^‘(x₀)(x-x₀)

Физический смысл производной: производная функции у=f(х) в точке Х₀ – это скорость изменения функции f(х) в т. Х₀: V(t)=x'(t)

11. Понятие дифференцируемости функции. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.

Функция у=f(х) называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение в этой точке можно представить в виде: ∆у=А∆х+0(∆х), где А- некоторая постоянная, а 0(∆х) – является бесконечно малой при ∆х→0.

Теорема о дифференцируемости: Для того чтобы функция у=f(x) была дифференцируема в т. Х₀, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Cвязь между понятиями дифференцируемости и непрерывности. Имеет место следующая теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀, то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Так как функция y=f(x) дифференцируема в точке x₀, то существует конечный предел . Тогда по теореме о связи бесконечно малой с функцией, имеющей конечный предел, будем иметь , где a(∆x) - бесконечно малая величина при ∆x→ 0 .

Откуда ∆y=f '(x₀)∆x + a(∆x)*∆x

Переходя в этой формуле к пределу при ∆х→0, получим по свойствам бесконечно малых, что

Следовательно, по одному из определений непрерывности функция y=f(x) в точке x₀ является непрерывной. Обратная теорема, вообще говоря, неверна, т.е. функция может быть непрерывной в данной точке, но не быть дифференцируемой в этой точке.