Материал: Sb96854

Лабораторная работа № 5 ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

СФЕРИЧЕСКОГО И ГИРОСКОПИЧЕСКОГО МАЯТНИКОВ

Цель работы: практическое изучение вынужденных колебаний сферического и гироскопического маятников.

1. Основные теоретические сведения

Основы теории колебаний систем с одной, двумя и многими степенями свободы изложены в [1], свободные колебания гиромаятника в [2]. Вынужденные колебания этого устройства как системы с двумя степенями свободы в доступной литературе не рассматриваются.

Кинематическая схема гиромаятника дана на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Кинематическая схема гиромаятника

Гироскопический маятник представляет собой гироскоп с тремя степенямисвободывкардановомподвесе,укоторогозасчетгрузаm центринерции

находится на оси вращения ротора гироскопа на некотором расстоянии l от точки пересечения осей подвеса.

Если гиромаятник установлен на основании, движущемся поступательно (илинеподвижном)так,чтоотносительноосивращениянаружногокольцакарданова подвеса действует периодический возмущающий момент M x1 M0sin t,уравнения движения гиромаятника будут:

36

где A – момент инерции подвижной системы относительно оси вращения наружного кольца подвеса; B – момент инерции гироскопа в сборе относительно оси вращения корпуса гироскопа; H – кинематический момент гироскопа; n , n – коэффициенты моментов сил вязкого трения относительно

осей вращения колец карданова подвеса; m – масса груза; g – ускорение силы тяжести.

Периодический возмущающий момент Mx1 может возникнуть, если основание будет двигаться поступательно вдоль неподвижной оси с ускорением W , которое изменяется по закону W W0sin t. В этом случае M0 mlW0, где M 0 – амплитуда возмущающего момента; ω – круговая ча-

стота; m – масса груза; l – расстояние от груза маятника до точки пересечения осей подвеса.

Периодический возмущающий момент можно также создать, если растягивать пружину 2 вращающимся кривошипом 3 (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Кинематическая схема устройства для создания периодического возмущающего момента: 1 – маятник; 2 – пружина; 3 – кривошип; 4 – редуктор; 5 – двигатель

где C – жесткость пружины; r – длина кривошипа.

Круговая частота ω колебаний возмущающего момента в данном случае совпадаетсугловойскоростьювращениякривошипа.Еслиучитыватьвлияние жесткости C на свободные колебания системы, вместо (5.1) будем иметь следующие:

37

(5.3) распадаются на два независимых друг от друга уравнения, одно из которых описывает вынужденные, а второе – свободные колебания системы с одной степенью свободы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид:

Первые слагаемые этой формулы, содержащие множитель e 1t , описывают так называемый переходный процесс, который быстро заканчивается. Последнее слагаемое описывает установившиеся вынужденные колебания, амплитуда и фазовый сдвиг которых вычисляются по формулам:

установившихся вынужденных колебаний имеет максимум при частоте ω возмущающего момента, которая всегда немного меньше, чем частота k свободных колебаний маятника.

Удовлетворительную оценку максимальной амплитуды можно получить, приняв, что k . Тогда

Необходимо отметить, что амплитуда вынужденных колебаний при резонансе, т. е. при k , возрастает до своего максимального значения (5.7) во

38

времени или, иначе говоря, постепенно. В то же время угол β поворота внутреннего кольца относительно наружного от периодического возмущающего момента Mx1 не зависит.

2. Дополнительные теоретические сведения

Амплитуды установившихся вынужденных колебаний маятника и гироскопа можно определить, пользуясь частотным методом. Если процессы y(t) на выходе и x(t) на входе устойчивой динамической системы связаны друг с другом зависимостью y(tw) W(jw)x(t ),где y(tw) и x(t ) – изображение процессов по преобразованию Фурье; W(jw) – передаточная функция динамической системы, а y(t) и x(t) представляют собой гармоническую функцию времени, то их амплитуды y0 и x0 связаны зависимостью

по отношению к возмущению M0sin t, перепишем уравнения (5.2) в операторной форме при нулевых начальных условиях:

Разделив числитель и знаменатель (5.10) на AB, после очевидных преобразований получим:

W (p) 1A

39

Модули передаточной функций W ( j ) и W ( j ) и, соответственно,

амплитуды вынужденных колебаний маятника имеют максимумы при частотах возмущающего момента, близких к частотам k1, k2 собственных колебаний гиромаятника (см. лабораторную работу № 2).

3. Описание лабораторной установки

Лабораторная установка отличается от установки, описанной в работе № 4 «Исследование свободных колебаний сферического и гироскопического маятника», наличием устройства для создания периодического возмущающего момента. Кинематическая схема устройства дана на рис 5.2.

В установке используется двигатель постоянного тока, управляемый изменением сопротивления цепи якоря. Для этого последовательно с обмоткой якоря двигателя включен реостат.

40