Материал: Uchebnoe_posobie_TM

Кинетическая энергия T

механической системы определяется как алгеб-

Кинетическая энергия T2

тела 2, совершающего вращательное движение

J

ω

2

T2

2

2

,

(3.5)

2

где J 2

– момент инерции тела 2 относительно оси его вращения; ω

2

– угловая

сти, момент инерции

J2 J21 J22 ,

(3.6)

m

r 2

m

22

R2

где J

21

21

2

и J

22

2

– моменты инерции малого и большого одно-

2

2

родных тонких дисков, образующих тело 2.

При этом

m2 m21 m22

,

(3.7)

где m21

и m22

– массы этих дисков.

Определим значения m21 и m22 , руководствуясь тем, что диски имеют

одинаковую толщину

h

и изготовлены из одного и того же материала с плот-

ностью

ρ

. Тогда:

Угловую скорость

ω

2

тела 2 представим через линейную скорость

v1

алгебраически равна скорости v1

тела 1 (см. рис. 3.10), следовательно по фор-

муле Эйлера:

v

A

ω

v

v

2

r

ω

2

1

1

.

(3.10)

2

r

2

v

2

v

A

1

Подставим (3.9) и (3.10) в (3.5) и получим значение кинетической энергии

T2

тела 2 через скорость v1

тела 1:

m v2

J

3

ω2

T

3

3

3

,

(3.12)

3

2

2

где

v3

– скорость центра масс тела 3;

J3

– момент инерции тела 3 относи-

движения; ω

3

– угловая скорость вращения тела 3.

Поскольку тело 3 является однородным тонким диском с конфигурацией,

показанной на рис. 3.9, момент инерции

J3 J 6J ,

(3.13)

m

a

2

2

J

12

m r3 .

Видно, что для определения моментов инерции

J и J , необходимо

определить массу

m тела 3 без вырезанных элементов (массу сплошного

диска) и массу m

одного вырезанного элемента (треугольной пластины).

Масса m3 тела 3 (см. рис. 3.9):

m3 m 6m .

(3.14)

Определим значения m и m

, руководствуясь тем, что диск и треуголь-

v

B

ω

2

R

2

v

3

v

vB

1

R2

v1.

(3.17)

2

2

ω

2

1

2

Кроме того, линейная скорость vB точки B алгебраически равна скоро-

сти vC

точки С, лежащей на ободе диска 3, и угловая скорость ω

3

определя-

ется как

ω

vC

vB

,

(3.18)

С учетом выражения (3.19) определим скорость v3

центра тела 3:

v3

ω3R3 0,21v1 3,6 0,76v1

.

(3.20)

Подставим (3.16), (3.19) и (3.20) в (3.12) и получим значение кинетиче-

ской энергии T3

тела 3 через скорость v1 тела 1:

m v

2

J

3

ω2

12 0,76v

2

86,01 0,21v

2

T

3 3

3

1

1

5,36v2 .

(3.21)

3

2

2

2

2

1

Подставим (3.4), (3.11) и (3.21) в (3.3) и получим значение кинетической

энергии T

механической системы через скорость v1 тела 1:

Суммарная работа

E

определяется как алгебраическая сумма работ

Ai

E

(3.23)

Ai A1 A2 A3 ,

где

A1, A2 и A3 – значения работ внешних сил и моментов сил, приложенных

к телам 1, 2 и 3 на конечном перемещении.

Тело 1 проходит путь S1 под действием двух внешних сил, силы тяжести

G1

и силы трения скольжения Fтр , тогда работа этих сил на данном переме-

где

N1 – величина реакции наклонной плоскости, действующей на тело 1.

Подставим (3.25) и (3.26) в (3.24) и получим значение работы, совершен-

ной над телом 1 на перемещении S1:

A1 AG1 AF тр m1gS1 sin α μm1g cosαS1

m1g(sin α μ cosα)S1

(3.27)

16 9,81(0,5 0,14 0,87)S1 59,36S1 59,36 5 296,8 Дж.

Сила тяжести G2 , приложенная к телу 2,

работу не совершает, так как