Материал: Uchebnoe_posobie_TM

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Таким образом, ускорение точки определяется как геометрическая сумма

ее касательного и нормального ускорений,

	a	2
a		τ

а его модуль будет равен:

a 2 . n

Задача 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПРИ КООРДИНАТНОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ

1.1. Условие задачи

По данным кинематическим уравнениям движения точки (табл. 1.1) определить следующее.

1.Траекторию точки.

2.Положение точки на траектории ее движения в начальный момент времени.

3.Положение точки на траектории ее движения в момент времени t1 t0 τ, где t0 0 определяется по указанному в столбце 4 табл. 1.1 условию, а ве-

личина τ задается преподавателем.

4.Кинематические характеристики точки (вектор линейной скорости, векторы

полного, касательного и нормального ускорений) в момент времени 5. Радиус кривизны траектории движения точки в момент времени t1 .

1.2.Порядок решения задачи

1.Построить траекторию точки, исследуя ее уравнение средствами математического анализа.

2.	Определить момент времени t1 t0 τ в соответствии с заданными в
	табл. 1.1 (t0 ) и преподавателем ( τ ) условиями.
3.	Найти и указать положение точки на траектории ее движения в начальный
	момент времени ( t 0 ) и в момент времени t1 .

4.	Определить и построить по составляющим vx и v y вектор v	линейной ско-

рости точки в расчетный момент времени.

Номер

варианта

Кинематические уравнения движения точки

x x(t)						, м			y y(t)					, м
2 4sin							πt		5 2cos						πt
2 4sin						2			5 2cos						2
						2									2
4cos			3πt						7 sin			3πt
4cos					4				7 sin				4
					4								4
5cos	3πt				2,5				5sin	3πt				5
5cos	2				2,5				5sin		2			5
	2										2
4sin				πt					2 3sin				2 πt
4sin					2				2 3sin							2
					2											2
		2 πt								t	2
3sin		2 πt								t
3sin					2					4
					2					4
1 2cos					2			πt	6 2cos				2			πt
					2								2
								4							4
								4							4
5cos 2t 2									8sin 2t 4
4cos 6t									1 6sin 3t
8cos 4t									7sin			2	2t
8cos 4t

8sin 3t									15cos3t 16

			cost									cos2t
	10cos t							10
	10cos t								11 10sin						2		t
									11 10sin								t
		2sin 3t											7

											1 sin 2 3t
											1 sin 2 3t
t 1							t 1			t 1						t 1

e 4				e		4				e 4 e							4
				2									2
		3	cos		2 πt					2sin				πt	3
		4	cos			2				2sin				2	3
		4				2								2

		Таблица 1.1
t	0	– момент времени,
	0

когда впервые после начала движения точки выполняется условие, с

Траектория пересекает ось Oy

y(t	0	) y	max

x(t0 ) xmin


v	x		(t		0	) 0

x(t		0		) x
						max
x(t		0		) x			max

Траектория пересекает ось Ox

Траектория пересекает ось Oy

a	x	(t	0	) [a	x	]
	x		0		x	max

Расстояние от точки на траектории до начала координат - наименьшее

Траектория пересекает ось Ox.

y(t	0	) y	max

vx (t0 ) [vx ]min

Расстояние от точки на траектории до начала координат равно 1 м

y(t	0	) y	min

Номер

варианта

Кинематические уравнения движения точки

	x x(t)										, м
						2
						1
	2 cos t
	11sin 4t
							t
	2 cos t t
		cos						2		t
		cos								t
	1 2 cos 2πt
	1		3				sin				πt
	1		5				sin				3
			5								3
1	sin			2			t		2sin t
				2
5
5
	cost cos 2t
			sin t
	1	(t			2				3)
					2
	3
	3
			3t

4sin 6t

2cos t 1

3sin	7πt	7
	6

y y(t)				, м
	3
	cos t
12 5cos8t
t			t
2(e 4			4 ) 12
2(e 4	e		4 ) 12
	2t
	sin 2t
1 cos t
	cos	πt
	cos	3
		3

3 sin t

	2cos t
	sin t cos 2t
	3sin		πt
	3sin
				2
e	(t 1)	e		(t 1)
e		e
		2
		4
	2 cos12t

2 cos t cos 2t

6sin	7πt	2
	6

Окончание табл. 1.1

t	0	– момент времени,
	0

когда впервые после начала движения точки выполняется условие, с

Траектория пересекает ось Ox

v	y	(t	0	) [v	y	]	max

Траектория пересекает

ось

) 0

) [v

]

max

y(t

) y

min

x(t

) x

min

) 0

) [a

]

min

v	y	(t	0	) [v	y	]	min

vx (t0 ) 0

Траектория пересекает ось Oy

v y (t0 ) 0


Определить и построить по составляющим a x	и	a	y	вектор	a	линейного

ускорения точки в расчетный момент времени.

Определить и построить векторы касательного aτ		и нормального an					уско-

рений в расчетный момент времени.

Вычислить радиус кривизны ρ траектории в расчетный момент времени.

8.Все графические построения произвести в соответствующих масштабах.

9.Расчетные значения определяемых величин представить в следующей форме (табл. 1.2).

Время

, с

Координаты, м

x	y		x
0		0	x
0		0

Скорость,				м/с
v	x	v	y		v
v		v

Ускорение, м/с	2

a	y	a	τ	a	n

Таблица 1.2

Радиус

кривизны

ρ , м

10. В конце работы представить вывод о характере движения точки.

1.3. Пример решения задачи

Условие задачи. По заданным кинематическим уравнениям движения точки (x и y – в метрах, t – в секундах)

x ty t

2t 2 1;

1 t 4 1

(1.1)

определить: траекторию точки; кинематические характеристики точки (вектор линейной скорости, векторы полного, касательного и нормального ускорений соответственно); а также радиус кривизны траектории в момент времени t1 t0 τ , где t0 – момент времени, когда траектория пересекает ось Oy, а

τ 0,29с.

Решение.

1. Определим траекторию движения точки.

Для определения траектории движения точки, заданного координатным способом, исключим из системы уравнений (1.1) время t. Для этого из первого

уравнения системы (1.1) выразим t 2 :

t 2 x 1 2

и подставим во второе уравнение (1.1):

	1	x 1		2
y(x)	1	x 1
y(x)
	2		2

Тем самым получим уравнение траектории движения точки:

y(x)	1	2
y(x)	8	x 1
	8

(1.2)

Для построения траектории движения точки необходимо исследовать
функцию (1.2). Для этого выполним следующие действия:
Определим области значений функций x(t)	и	y(t) при t 0	. Из системы
уравнений (1.1) следует, что
1 x t ;
			(1.3)
			(1.3)
1 y t .
Определим точки пересечения с осями координат. Функция (1.2) имеет

точку пересечения с осью

Oy . Следовательно, в уравнение (1.2) необходимо

		~	~ ~	1	(0 1)	2	1 1,13	. Таким образом, точка
подставить x 0			и вычислить: y(x )	8	(0 1)		1 1,13	. Таким образом, точка
				8
~	~ ~		~
	~ ~	будет иметь координаты M (0; 1,13) .
M (x; y)		будет иметь координаты M (0; 1,13) .
	Найдем экстремумы и исследуем уравнение (1.2) на монотонность. Вы-

числим первую производную от функции (1.2) и найдем критические точки из

условия, что
условия, что	y (x) 0 :
			1	(x 1)2		1
	y (x)		1			1		(x 1)	0
	y (x)				1			(x 1)	0	.	(1.4)
										.	(1.4)
			8			4
Из выражения (1.4) следует, что точка экстремума функции (1.2) имеет
координаты	M э (xэ ; yэ ) M э ( 1; 1) .
Вычислим вторую производную от функции (1.2):
		1				1
	y (x)	1				1
	y (x)		(x 1)2 1				.
							.
		8				4
Поскольку y (x) 0 , то точка M э ( 1; 1) – минимум функции (1.2).
			0 при		x xэ	следует, что функция (1.2)
Кроме того, из условия y (x)			0 при		x xэ	следует, что функция (1.2)

возрастающая.

Источник: https://studfile.net/preview/16488849/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
?Теоретические основы анализа и мониторинга качества
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности