Материал: Uchebnoe_posobie_TM

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Для уточнения вида кривой определим по выражению

вия (1.3) несколько промежуточных точек.
Данные, необходимые для построения
Данные, необходимые для построения
траектории движения точки, приведены в	x
табл. 1.3, а сама траектория изображена на	1
	1
рис. 1.4.	3
2. Определим момент времени t1 .	5

(1.2) с учетом усло-

Таблица 1.3

y x	1	x 1	1
		2
	8

1,5

5,5

Определим момент времени

когда траектория пересекает ось

т. е. когда выполняется условие x(t			0		) 2t 2 1 0 . При условии, что
			0					0
получим t0	0,71 с.
Тогда


t1 t0 τ 0,71 0,29 1 с.
3. Найдем и укажем на
рис. 1.4 положение точки на тра-
ектории ее движения в начальный
момент времени ( t 0) и в момент
времени t1 .
Точка	M 0 (x0 ; y0 ) характе-
ризует положение точки на траек-
тории ее движения в начальный									Рис. 1.4
момент времени. Определим ко-
ординаты этой точки, для чего в выражение (1.1) подставим t 0										:
	x 0	2			0	2		1 1 м;
	x 0	2			0			1 1 м;

		1					4
	y 0			0			4	1 1 м.
	y 0			0				1 1 м.
		2

Точка

M1(x1; y1)

характеризует положение точки на траектории ее дви-

жения в момент времени	t1 . Определим координаты этой точки, для чего в
выражение (1.1) подставим найденное ранее значение t1 1 с:
	x 1		2	1 1 м;
	x 1	2 1		1 1 м;

		1	4
	y 1	1	4	1 1,5 м.
	y 1		1	1 1,5 м.
		2

Укажем на рис. 1.4 найденные точки M 0 ( 1; 1) и M1(1; 1,5) .


4. Определим и построим по составляющим	vx и	v y	вектор	v	линейной

скорости точки M1.

Проекции вектора линейной скорости на координатные оси и его модуль определим по формулам:

v		t x t ;	v		t y t ;	v t	x t		y t .
	x			y				2	2
	x			y

Для заданных кинематических уравнений (1.1) получим:

(t) x(t)

(2t

1) 4t ;

1 t 4

2t 3 ;

(t) y(t)

v(t)

(4t)

(2t

)

4 t

(1.5)

Используя выражения (1.5), определим проекции вектора линейной ско-

рости на координатные оси и его модуль в момент времени t1

1 с (т. е. для

точки M1):

(1) 4 1 4 м/с;

v(1)

2 1 4

5 4,47 м/с.

(1) 2 1 2 м/с;

Построим в масштабе (рис. 1.5) составляющие vx

и v y

вектора линейной

полной скорости, являющийся геометрической суммой

скорости и вектор v

векторов vx и v y :

vx v y .

Направление вектора линейной скорости

v по касательной к траектории

свидетельствует о корректности произведенных аналитических вычислений.


5. Определим и построим по составляющим a x	и	a	y вектор a	линейного

ускорения точки M1.

Проекции вектора линейного ускорения на координатные оси и его модуль определим по формулам:

a	x	(t) v	x	(t) x(t) ;	a	y	(t) v	y	(t) y(t) ;
	x		x			y		y

a(t)	2
	x(t)

y(t)	2

Для заданных кинематических уравнений (1.1) получим:

							4;
ax (t) vx (t) 4t							4;
		(t) v			(t) 2t 3
a	y	(t) v		y	(t) 2t 3	6t 2 ;		(1.6)
	y			y

a(t)			42 (6t 2 )2 2 4 9t 4 .
					14

Используя (1.6), определим проекции вектора ординатные оси и его модуль в момент времени t1

линейного ускорения1 с (т. е. для точки

на ко-

M1):

a	x	(1)		4 м/с		2	;
a		(1)		4 м/с			;

a		(1)			2	6 м/с		2	;
a	y	(1)		6 1		6 м/с			;
	y
a(1) 2					4		4	2	13 7,21 м/с	2
a(1) 2					4	9 1		2	13 7,21 м/с
Построим в масштабе (см. рис. 1.5) составляющие
нейного ускорения, а также вектор полного ускорения
нейного ускорения, а также вектор полного ускорения										a

ской сумме векторов ax и			a		y :
ской сумме векторов ax и					y :


ax	и	a	y	вектора ли-

, равный геометриче-


a	a	x
		x


a	y
	y

Рис. 1.5

6. Определим и построим векторы касательного		и нормального
	aτ

ускорений точки M1.

Касательное и нормальное ускорения определим по формулам:

a		(t)		dv(t)			;
a	τ	(t)			dt		;
	τ


a			a		2	a		2	.
a	n		a			a		τ	.
	n							τ

В соответствии с (1.5) и (1.7) получим:

dv(t)

2t 3

aτ (t)

4 t

2 4 t

4 t 4

	4t 4	8	6t 4	.
2 4 t 4


	4 t 4		4 t 4
	15

(1.7)

(1.8)

Когда функция линейной скорости от времени v t является сложным для

дифференцирования выражением, для определения касательного ускорения

удобнеерассматривать вектор касательного ускорения aτ как проекцию пол-

ногоускорения a на направление движения (рис. 1.6).

Из данных рис. 1.6 видно, что aτ a cosα , где α – угол между вектором скорости и вектором ускорения. Умножив и разделив это выражение на v , получим

Рис. 1.6

aτ a v cosα . (1.9) v

Числитель выражения (1.9) представляет собой скалярное про-

изведение векторов		и		, которое
	a		v

может быть записано в проекциях на


координатные			оси	в	виде
		vxax vyay . Таким образом,
v	a	vxax vyay . Таким образом,

зная проекции скорости и ускорения на координатные оси, для нахожде-

xния касательного ускорения можно использовать выражение

aτ (t)	v	x	a	x	v	y	a	y	.	(1.10)
		x		x		y		y
					v
					v

В соответствии с (1.5), (1.6) и (1.10),

a		(t)	v	x	a	x	v	y	a	y
				x		x		y		y
	τ						v
	τ

					16t 12t					5
					16t 12t
										4
					2t		4 t			4
					2t		4 t

получим:

4t 4 2t			3	6t	2

				4
	2t 4 t

2t	8 6t	4			8 6t	4
						.

2t	4 t	4			4 t	4

(1.11)

Используя (1.8) или (1.11), определим касательное ускорение в момент

времени t1 1	с (т. е. для точки			M1):
	a		(1)	8	6 14	6,26 м/с2 .
		τ
					4 14

Из выражения (1.7) определим нормальное ускорение в момент времени t1 1 с (т. е. для точки M1):

a		(1)	2	a		(1)	2	2	6,26	2
a	n	(1)	a(1)	a	τ	(1)		7,21	6,26
	n				τ

3,58

м/с	2


Построим в масштабе (см. рис. 1.5) составляющие	aτ	и an	вектора ли-

нейного ускорения. Геометрическая сумма векторов aτ и an должна быть рав-

ной вектору линейного ускорения a , т. е. выполняется равенство

n .

7. Вычислим радиус кривизны

траектории движения точки M1

v(t

) 2

4,47

5,58 м.

)

3,58

8. Полученные значения кинематических величин для расчетного мо-

мента времени t1

занесем в табл. 1.4.

Таблица 1.4

Время

Координаты, м

Скорость, м/с

Ускорение, м/с

Радиус

кривизны

t , с

ρ , м

-1

1,5

4,47

6,26

3,58

7,21

5,58

Равенство геометрических сумм векторов

, а также векторов aτ

и an , одному и тому же вектору a

(при построении в одном масштабе) свиде-

тельствует о корректности проведенных аналитических вычислений.

9. Опишем характер движения точки.

Точка

перемещается по траектории

y(x)

x 1

1 вправо от

точки M 0

( 1; 1)

. В момент времени t1

точка на траектории займет положение

M1(1; 1,5)

. Линейная скорость точки в расчетный момент времени меняется по

закону

v(t) 2t

4 t

ее

линейное

ускорение –

по

закону

a(t) 2

4 9t4 .

Характер движения точки – движение криволинейное и

ускоренное, так как

an 0 и v

aτ .

Источник: https://studfile.net/preview/16488849/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
?Теоретические основы анализа и мониторинга качества
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности