Материал: Алгоритмы пособие

Рис. 2.3-2. Формирование матрицы Грама

Рис. 2.3-3. Вычисление элемента матрицы Грама

26

Рис. 2.3-4. Вычисление элемента правой части системы нормальных уравнений

27

Рис. 2.3-6.Вычисление значения аппроксимирующей функции в заданных точках

Рис. 2.3-7. Вычисление невязки

29

2.4.Алгоритмы методов численного интегрирования

В основу всех методов численного интегрирования положена замена подынтегральной функцию f(x) приближенной функцией, которая может быть проинтегрирована в аналитическим виде. В качестве такой функции обычно используют полином Рn(х) с узлами интерполяции в точках х0, х1, …,хn. Для получения простых формул на элементарных отрезках интегрирования используют полиномы нулевой, первой и второй степени и соответственно получают формулы численного интегрирования:

прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Во всех алгоритмах оценка погрешности проводится с использованием метода двойного просчета [3], который основан на двукратном вычислении значения интеграла вначале с шагом h(где h=(b-a)/n), а затем с шагом h/2. Значения интегралов Ihи Ih/2 могут быть применены для оценки погрешности интегрирования по формуле Рунге:

где: k - порядок точности метода.

2.4.1. Метод средних прямоугольников

Схема алгоритма процедуры для вычисления определенного интеграла

методом средних прямоугольников представлена на рис. 2.4-1. Эта схема требует дополнения процедуры-функции f(x), в которой вычисляется значение подынтегральной функции.

Алгоритм метода основан на замене подынтегральной функции f(x) в пределах элементарного отрезка [xi;xi+1] интерполяционным многочленом нулевой степени, равным значению функции в середине отрезка [3]. Вычисление интеграла проводится с использованием формулы:

Оценка погрешности проводится с использованием метода двойного просчета, где в формуле Рунге k=2.

30