Материал: Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012

более медленным (и наоборот, медленные отбирают часть энергии у быстрых). В результате огромного числа таких столкновений в замкнутом объеме газа устанавливается равновесное распределение молекул по скоростям или энергиям (спектр скоростей или энергетический спектр).

Несмотря на то, что скорости всех частиц газа в процессе хаотического движения непрерывно меняют значения и направления, средняя квадратичная скорость <υкв> остается постоянной при данной температуре (одна из статистических закономерностей, проявляющихся при наличии большого числа однотипных объектов или событий в системе). Это объясняется тем, что в состоянии равновесия реализуется некоторое стационарное распределение молекул по скоростям, подчиняющееся определенному статистическому закону. Этот закон был получен Дж.К. Максвеллом (1831–1879) на основе теории вероятности. Функция (распределения Максвелла молекул по скоростям) f(υ) определяет относительное число (долю) молекул dN/N, скорости которых находятся в интервале [υ, υ+dυ]:

По сути, функция распределения молекул по скоростям f(υ) равна вероятности dW встречи в газе молекулы со скоростью, заключенной в интервале [υ, υ+dυ]:

нормировки для сплошного спектра).

Функция распределения всегда однозначна (вероятность не может иметь несколько значений для данного значения какого-то параметра), конечна (вероятность конечное число). Максимум зависимости (и вероятности) f (υ) (рис. 17) будет соответствовать наи-

более вероятному значению скорости υв.

Данное значение можно получить, исследуя функцию (3.96) (на экстремум):

86

Для получения средней скорости используют методику, приня-

∞

тую в статистической физике: < x >= ∫ xf (x)dx . Подставляя x = υ,

0

∞

f(x) = f(υ) и dx = dυ ( υ =<υ >= ∫υf (υ)dυ) и интегрируя с использо-

0

ванием табличного интеграла

Для получения функции распределения молекул по энергиям (ε)

87

При нагревании газа происходит перераспределение молекул газа по скоростям. Как следствие этого процесса максимум спек-

тра Максвелла сдвигается в направлении больших скоростей или к более высоким температурам газа. Распределение Максвелла не зависит от взаимодействия между молекулами и справедливо не только для газов, но и для жидкостей, броуновского движения частиц, взвешенных в газе или в жидкости, т.е. во всех случаях, где для них возможно классическое описание. Максвелловское распределение является частным случаем решения кинетического уравнения Больцмана для статистического равновесия, поэтому иногда говорят о распределении Максвелла–Больцмана.

Для описания энергетического распределения нейтронов в ЯР распределение Максвелла находит очень широкое применение. Нейтроны различных энергий диффундируют в среде активной зоны подобно газу. Однако нейтронный газ отличается от обычного газа рядом особенностей:

-во-первых, плотность нейтронов по сравнению с плотностью газа при нормальных условиях очень мала. Например, концентра-

ция ТН в активной зоне теплового ЯР составляет примерно n = =1010 нейтр./см3, концентрация молекул любого газа, например, азота, при нормальных условиях составляет примерно 1019 молек./см3. В связи с этим вероятностью столкновений нейтронов друг с другом пренебрегают по сравнению с вероятностью столкновения с ядрами среды;

-во-вторых, распределение Максвелла соблюдается только приближенно вследствие интенсивного поглощения и утечек нейтронов из частей активной зоны. Это вызывает повышение температуры нейтронного газа, которая, как правило, превышает темпе-

ратуру среды на 50−200 К.

88

В первом приближении в гомогенной среде температура нейтронного газа при температуре среды Т определяется выражением

Тн ≈ Т(1 + 1,4Σа(Т)/ξΣs) [К].

Смысл величин, входящих в формулу, будет раскрыт в последующих лекциях.

Средняя и наиболее вероятная скорости ТН определяются по

(3.98), (3.100).

Повторим еще раз то, что уже отмечалось на одной из прошлых лекций.

Измерение температуры нейтронного газа и обычных газов различается. С помощью спектрометра измеряют распределение нейтронов по скоростям, а затем из найденного распределения определяют наиболее вероятную скорость и рассчитывают по ней температуру нейтронного газа.

Температура нейтронов зависит от температуры замедлителя и от сечения поглощения нейтронов средой. Если среда не поглощает нейтроны, то их температура совпадает с температурой среды. Медленные нейтроны поглощаются в средах ЯР интенсивнее, чем быстрые. Число ТН пополняется за счет замедления нейтронов с большей энергией, т.е. сверху (по шкале энергии). Поэтому максимум максвелловского спектра сдвигается вправо по отношению к температуре среды Т. Процесс установления спектра ТН под влиянием теплового движения атомов среды называют термализацией нейтронов.

Для спектра Максвелла отношение средней и наиболее вероятной энергий нейтронов при постоянной температуре нейтронов есть величина постоянная, равная

υср /υнв = 2 / π ≈1,128 или Еср/Енв = 4/π ≈ 1,273 (3.102) (см. (3.98), (3.100)).

В области тепловых энергий в спектре Максвелла микросечения

поглощения для ряда изотопов подчиняются закону 1/υ:

σа = const1/υ = const2/Е1/2. (3.103)

При стандартных условиях (Т = 293 К и нормальном атмосферном давлении нейтроны с Е0 = Енв = kTн = 0,0253 эВ или υ0 = 2200 м/с (E = mυ2/2) называют стандартными ТН, а величины микросе-

89

чений поглощения (радиационного захвата, деления) нуклидов для этих параметров – стандартными микросечениями.

На основании закона 1/υ (3.103)

С учетом (3.102) для любой температуры получим

С учетом (3.104) формула (3.105) примет вид сечения усреднен-

ного по спектру Максвелла:

где gji(Tн) – фактор Весткотта, призванный скорректировать для ряда нуклидов отклонение зависимости (3.106) от закона 1/υ (3.103).

По данным [6] в интервале t = (20÷2000) ºС с точностью ±1,5 % для урана-235

ga5(Tн) = 0,912 + 0,25exp(–0,00475Tн), gf5(Tн) = ga5(Tн) – 0,004;

с точностью ±3 % для плутония-239

ga9(Тн) = 0,9442 – 4,038·10-4Тн + 2,6375·10-6Тн2, gf9(Тн) = 0,8948 – 1,430·10-4Тн + 2,022·10-6Тн2.

Закон 1/υ получается из известной формулы Брейта–Вигнера (и ее следствий), связывающей величину сечения нейтронной реакции данного вида (вероятность реакции) с энергией нейтрона и полуширинами уровней энергии составного ядра.

При небольших энергиях возбуждения ядра спектр возбужденных состояний имеет дискретный характер (рис. 18). Так как возбужденные состояния имеют конечное время жизни τ, то в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга они не определены по энергии Е = Γ ~ =/ τ .

Величина Г называется шириной уровня, а уровни, обладающие конечной шириной, получили название квазистационарных. При

90