Материал: Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012

4.2. Распределение рассеянного нейтрона в пределах ступеньки замедления. Среднелогарифмическая потеря энергии при одном столкновении. Летаргия

Рассеяние называется сферически симметричным (изотропным), если при каждом соударении в трехмерном пространстве нейтрон рассеивается на угол π/2, т.е. в плоскость, перпендикулярную направлению его движения до рассеяния. Сферически симметричное (изотропное, рис. 23, а) в СЦИ рассеяние в ЛСК оказывается, как показывают расчеты и эксперимент, анизотропным (рис. 23, б). Нейтроны в ЛСК преимущественно рассеваются в направлении первоначального движения. Причем чем легче ядро, тем ярче выражена анизотропия, и наоборот. Покажем это.

а б

Рис. 23. Изотропное (а) и анизотропное (б) рассеяние нейтронов на ядрах среды

Ступенькой замедления α называют согласно (4.19)–(4.21) из-

Пусть функция W(E,E′)dE – вероятность того, что нейтрон с энергией Е до столкновения будет после столкновения иметь энергию E′ (любую) из интервала (E;E+dE), расположенного в пределах ступеньки замедления (αE′; E′) .

По определению плотность вероятности должна удовлетворять условию нормировки

αE/

101

так как приобретение нейтроном после соударения энергии из указанного интервала энергий в пределах ступеньки замедления есть событие достоверное.

Изменение энергии нейтрона в соответствии с функцией W(E,E′)dE неразрывно связано с его углом рассеяния в соответствующей системе отсчета (например, в СЦИ, см. (4.27)).

Пусть W (ϕ′)dϕ′ вероятность того, что нейтрон в СЦИ после соударения рассеивается сферически симметрично на некоторый угол в интервале (ϕ′;ϕ′+ dϕ′) от первоначального направления движения (рис. 24). Найдем связь функ-

Из теории вероятности известно, что если величины x и y связаны между собой однозначной зависимостью y = f(x) и вероятность W(y)dy известна, то вероятность W(x)dx определяют по формуле

W(x)dx = W(y(х))dy(х) или W(x) = W(y(х))(dy/dx).

В нашем случае эта формула с учетом убыли кинетической энергии при увеличении угла рассеяния имеет вид

Для нахождения функции W (E; E′) необходимо найти производную в (4.33). Для этого запишем (4.27)

102

производная равна

Плотность вероятности распределения по энергии упруго рассеянного нейтрона в пределах ступеньки замедления определяется выражением (4.33) с учетом (4.32) и (4.34):

W (E, E′) =W (ϕ′) ddEϕ′ =

Эта формула определяет закон упругого замедления нейтронов:

в результате однократного упругого рассеяния нейтрон с равными вероятностями приобретает любую энергию в пределах ступеньки замедления.

По известной функции плотности вероятности распределения рассеянного нейтрона по энергиям можно вычислить средний косинус угла рассеяния в ЛСК и СЦИ. В ЛСК

Подставляя в (4.36) выражение для косинуса угла рассеяния в

Именно из (4.37) следует, что рассеяние на водороде наиболее анизотропно, т.е. наибольшая асимметрия в передаче импульса нейтрона ядру-мишени наблюдается при А = 1 (рассеяние на лег-

103

ком водороде (протоне) в легководном замедлителе). С ростом массового числа A →∞, т.е. на тяжелых ядрах, рассеяние в ЛСК становится практически изотропным (сферически симметричным). Отсюда следует, что если масса ядра-мишени велика, то передачи импульса ядру в ЛСК практически не происходит.

Рождающиеся в реакциях деления свободные нейтроны двигаются хаотично, рассеиваясь на ядрах среды на произвольные углы и замедляясь (отдавая им часть энергии). При этом расстояние между столкновениями, угол рассеяния, скорость, энергия являются случайными величинами, т.е. не являются постоянными и не могут быть выражены функцией от времени. Для того чтобы решить уравнение диффузии с коэффициентами, зависящими от этих случайных величин, вводят понятие нейтрона с усредненными параметрами. Такой нейтрон всегда имеет одну и ту же скорость между столкновениями (хотя реально скорость может и расти, и уменьшаться), проходит одно и то же расстояние между двумя последовательными столкновениями λs, одно и то же число столкновений в единицу времени υ/λs, а также всегда имеет одинаковый угол рассеяния π/2.

Как показано выше, рассеяние на легких ядрах (с малым А) сферически несимметрично (неизотропно – анизотропно) вследствие передачи большой доли энергии нейтроном ядру. Случай несферического рассеяния приводится к сферическому введением в формулы транспортной длины переноса λtr, которое представляет собой эффективное смещение нейтрона в направлении движения до следующего акта рассеяния, которому соответствует поворот по траектории нейтрона в среднем на угол π/2 (рис. 25).

Рис. 25. Приведение случая несферического рассеяния к сферическому

с использованием транспортных величин

104

Если нейтрон рассеивается на угол, меньше π/2, то можно считать, что после первого акта рассеяния он попадет в точку 2, рассе-

явшись на угол π/2. При этом нейтрон проходит несколько боль-

______ ______

ший, чем λs, путь λs + λs cosϕ, где cosϕ – средний косинус угла

рассеяния в ЛСК. На каждом последующем акте рассеяния необходимо добавлять к пути нейтрона такую же поправку, которая во втором акте рассеяния перемещает точку 3 в положение 3′. При

небрегая поглощением, при стремлении числа столкновений к бесконечности получаем

Следовательно, длина рассеяния λtr содержит поправку λs на асимметрию рассеяния. Перейдя к макро- и микросечениям, получаем

Таким образом, диффузию при анизотропном рассеянии описы-

______

вают, как и при изотропном, но с сечением рассеяния в (1−cosϕ)−1

______

раз меньше, а длиной пробега в (1−cosϕ)−1 раз больше.

При вычислениях удобно пользоваться логарифмической потерей энергии нейтрона при одном соударении

Аналогично вычислению среднего косинуса угла рассеяния (4.36), (4.37) для среднелогарифмической потери энергии нейтрона при одном соударении с ядром можно записать

или

105