Материал: Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

5.ТЕОРИЯ ЗАМЕДЛЕНИЯ НЕЙТРОНОВ

ВДИФФУЗИОННО-ВОЗРАСТНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

5.1.Уравнение замедления в диффузионном приближении

идиффузионно-возрастном приближении

До настоящего времени мы рассматривали

-диффузию моноэнергетических нейтронов в среде конечных размеров, т.е. без учета обмена энергии с ядрами;

-непрерывное замедление нейтронов в однородных (гомоген-

ных) бесконечных средах с равномерно распределенными источниками нейтронов, т.е. в отсутствии диффузии.

Впоследнем случае, если среда конечна, ядерно-физические свойства среды неоднородны и/или источники нейтронов распределены по среде неравномерно, все величины, входящие в уравнение баланса нейтронов будут зависеть не только от энергии нейтронов, но и от пространственных координат. Баланс нейтронов в единице объема фазового пространства dVdE будет определяться скоростями четырех процессов или уравнением замедления в диф-

фузионном приближении:

(1)+ (2) + (3) + (4) = dndt = 0

или
D Ф(r, E) −Σ(r , E)Ф(rG, E) +
+E∫/α Σs (rG, Е′)Ф(rG, E′)	dE′	+ S(r , E) = 0 ,	(5.1)
+E∫/α Σs (rG, Е′)Ф(rG, E′)	(1−α)E′	+ S(r , E) = 0 ,	(5.1)
E	(1−α)E′

где (1) – утечка нейтронов в результате пространственной диффузии, определяемая выражением (3.17):G

−divJ (r , E)dVdE = D Ф(r , E)dVdE , D ≠ f (r ) ;

(2) – убыль нейтронов в результате процессов поглощения и рассеяния: −Σ(rG, E)Ф(rG, E)dVdE , где Σ(rG, E) = Σs (rG, E) + Σa (rG, E) ;

(3) – прибыль нейтронов в результатеG генерации нейтронов внешними источниками мощностью S(r , E) : S(r , E)dVdE ;

(4) – прибыль нейтронов в интервал dVdE (dV=dxdydz и (E;E+dE)) в результате замедления (упругого рассеяния) из интервалов энергии dE/, лежащих выше интервала dE с энергией Е, опре-

126

деляется интегралом столкновений, входящим в уравнение замед-

ления (3.94):

E /α	G	G		dVdE
∫	Σs (r	, Е′)Ф(r	, E′)dE′		.
∫	Σs (r	, Е′)Ф(r	, E′)dE′	(1−α)E′	.
E				(1−α)E′

Решение интегро-дифференциального уравнения (5.1) весьма затруднительно. Уравнение замедления в диффузионно-возраст- ном приближении получается из уравнения (5.1) преобразованием

внем интеграла столкновений со следующими допущениями:

-рассматривается асимптотическая область энергии (область сильного замедления) нейтронов, т.е. область энергий нейтронов, удаленная от энергий внешних источников на значительное число (>3) ступенек замедления;

-среда, в которой происходит замедление, состоит из тяжелых ядер (А>1), причем, чем тяжелее ядра, тем точнее возрастное приближение.

Для упрощения уравнения (5.1) функцию плотности рассеяний представляют через переменную летаргии, так как по шкале летаргии в случае бесконечной непоглощающей среды эта функция строго постоянна, а в среде с поглощением 20–30 % нейтронов меняется медленно и монотонно.

Данная функция в асимптотической области имеет вид (4.68):

F	(E) =	S	или	F	(u) = EF	(E) =	S	(5.2)
F	(E) =		или	F	(u) = EF	(E) =		(5.2)
s		ξE		s	s		ξ
		ξE					ξ

с переходом на переменную летаргии согласно (4.53).

Если представить, что поглощение в среде мало, а источники в среде расположены с небольшой неоднородностью, то зависимость Fs (u) от летаргии будет слабая. Разложим функцию Fs (u) в ряд

Тэйлора, ограничиваясь двумя первыми членами:
Fs (u′) = Fs (u) +	∂Fs (u) (u′−u) ,	(5.3)
	∂u

где u и u′ – соответственно летаргия до и после рассеяния нейтрона на ядре. Отсюда (см. (4.19)) становится ясно, что чем тяжелее ядро, тем меньше ступенька замедления α и тем точнее будет диффузи- онно-возрастное приближение с разложением (5.3).

Домножим уравнение (5.1) на Е, и с учетом формул (4.33) и (4.53) Ф(u) = EФ(E) получим

127

−D Ф(r ,u) +Σ(r ,u)Ф(rG,u) –
−EE∫/α Σs (rG, Е′)Ф(rG, E′)	dE′	= 0 .	(5.4)
	(1−α)E′
E

Используем следующие формулы для перехода к летаргии u′ в

E /α E

dE′

интеграле столкновений

∫E

Σs (r , Е′)Ф(r, E′)

и замены

E′

(1−α)

пределов интегрирования:

из (4.45)

u = ln

u′ = ln

E′

из (4.49)

E = E0 exp(−u) и E′ = E0 exp(−u′)

E′

= exp(−u′+u) или

= exp[−(u −u′)],

E′

(r , Е′)

= Σ

′) ,

из (4.56)

, E′)Φ(r , E

из (4.33), (4.53)

(r , Е′)dE′ = −F (rG,u′)du′

(знак «–» – летаргия растет, а энергия убывает, и наоборот). Тогда выражение под знаком интеграла примет вид

E	F (rG, Е′)dE′		F (rG,u′)exp[−(u −u′)]du′
	s	= −	s	.
E′	(1−α)	= −	(1−α)	.
E′	(1−α)		(1−α)

Впределах интегрирования энергии Е соответствует летаргия u,

аэнергии Е/α соответствует выражение:

	E0	αE0		E0		+ ln α = u + ln α .
ln		= ln		= ln
			E		E
	E / α

Окончательно после перехода к переменной летаргии получим

уравнение (5.4) в виде:			u+ln α Fs (rG,u′)exp[−(u −u′)]du′
G	G		u+ln α Fs (rG,u′)exp[−(u −u′)]du′
−D Ф(r ,u)	+Σ(r ,u)Ф(r ,u) +			∫				= 0
−D Ф(r ,u)	+Σ(r ,u)Ф(r ,u) +			∫		(1−α)		= 0
или				u		(1−α)
или					Fs (rG,u′)exp[−(u −u′)]du′
G	G	u			Fs (rG,u′)exp[−(u −u′)]du′
−D Ф(r ,u) +Σ(r ,u)Ф(r ,u) −		∫					= 0		. (5.5)
−D Ф(r ,u) +Σ(r ,u)Ф(r ,u) −		∫	1	(1		−α)	= 0		. (5.5)
		u−ln		(1		−α)

			α
			α

Подставим интеграл столкновений в (5.5) разложение в ряд Тэйлора (5.3)

128

Fs (rG,u′)exp[−(u −u′)]du′

∫

(1−α)

u−ln

exp[−(u −u′)]du′

∂Fs

(u′−u)exp[−(u −u′)]du′

= F (r ,u)

∫

∂u ∫

−α)

u−ln

∂Fs (r ,u)

= F (r ,u)

− ξ

(5.6)

∂u

Интегралы вычислялись с использованием замены U = (u −u′) и

dU = −du′:

exp[−(u −u′)]du′

exp[−U ]dU

−exp

−ln

∫

(1−α)

1−α

u−ln

∫u

(u′−u)exp[−(u −u′)]du′

= − ∫u

U exp[−U ]dU

= −ξ

(1−α)

u−ln

−α)

u−ln

Уравнение (5.5) с учетом вычисленных интегралов (5.6) примет вид уравнения замедления в диффузионно-возрастном приближении:

,u)

∂Fs (rG,u)

+ ξ

= 0

−D Ф(r ,u) +Σ(r ,u)Ф(r ,u) − Fs (r

G∂u

или с учетом F

(r ,u) = Σ

,u)Ф(r ,u) ,

Σ(r,u) = Σ

(r ,u) + Σ

(r ,u)

−D Ф(rG,u) +Σa (r ,u)Ф(rG,u) +

∂

(

ξΣs (rG,u)Ф(rG,u)) = 0 . (5.7)

∂u

5.2.Возраст нейтронов. Уравнение возраста, граничные

ипрочие условия для нахождения решения уравнения возраста

Используя функцию плотности замедления (4.58) с учетом проведенных выше преобразований для интеграла столкновений в ви-

де
j(rG,u) = ξΣs (rG,u)Ф(rG,u) ,	(5.8)

129

уравнение (5.7) можно записать

Σa

1 ∂j(r ,u)

j(r

,u) −

j(r

,u) −

∂u

= 0 .

(5.9)

ξΣs

С введением вместо летаргии u новой переменной – возраста

нейтронов τ(u) = τ(E , E) с размерностью площади [см2]

τ = ∫u

du′ = ∫u

du′

dE′

= ∫0

(5.10)

E′

0 ξΣs

0 3ξΣsΣtr

E 3ξΣsΣtr

dτ =

(5.11)

3ξΣs Σtr

из уравнения (5.9) получим уравнение возраста

(1)

(2)

(4)

j(rG,τ) −

(rG,τ) −

∂j(r

,τ) =

0 ,

(5.12)

∂τ

где 1 = Σa , индекс «τ» у длины диффузии L указывает на зависи-

L2τ D

мость от энергии и летаргии Σa = f (E) = f (u) и D = f (E) = f (u) . Уравнение возраста (5.12), по-прежнему, представляет собой

после ряда преобразований и замен переменных уравнение баланса скоростей нейтронных реакций в единичном фазовом объеме (5.1), но в окрестности фазовой точки (r,τ) . В уравнении возраста (5.12)

слагаемые по смыслу аналогичны слагаемым (5.1):

(1)– скорость изменения плотности замедления в результате пространственной диффузии;

(2)– скорость изменения плотности замедления в результате поглощения нейтронов в среде;

(4)– скорость изменения плотности замедления в результате упругого рассеяния нейтронов.

В качестве базы для вывода уравнений (5.7), (5.12) использовалось уравнение диффузионного приближения (5.1), поэтому пределы применимости уравнения в диффузионно-возрастном приближении определяются и всеми пределами применимости диффузионного приближения, рассмотренными ранее (среды с малым поглощением и удаленность от источников и границ раздела сред с

130

Источник: https://studfile.net/preview/16708734/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард