Материал: Численное решение задач фильтрации неоднородных жидкостей в пористых средах

Численное решение задач фильтрации неоднородных жидкостей в пористых средах

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕ-СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

САМАРКАНДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. НАВОИ

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ»

УДК

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание степени магистра по специальности «Вычислительная математика»

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ  НЕОДНОРОДНЫХ ЖИДКОСТЕЙ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

Специальность: 5А480101 «Вычислительная математика»

ШАИМОВ КОМИЛЖОН МИРЗАКАБУЛОВИЧ

Работа обсуждена и

представлена к защите.

Научный руководитель:

Заведующий кафедрой

д.ф.-м.н., проф. Хужаёров Б.Х.

«Вычислительные методы»

к.ф.-м.н., доц. Абдирашидов А.

Самарканд - 2012

Оглавление

Введение

. Учет динамических факторов в кинетике осаждения (захвата) и освобождения частиц при фильтрации суспензий

.1 Особенности процесса осветления суспензий путем  фильтрования

.2 Модифицированные кинетические уравнения осаждения и освобождения твердых частиц суспензии

. Задачи фильтрации суспензии в пористой среде

.1 Решение задачи фильтрации суспензии с заданным скоростным режимом

.2 Решение задачи фильтрации в конечном фильтре с заданным режимом подавлению

. Задачи фильтрации суспензии в пористой среде с учетом динамических факторов

.1 Решение задачи фильтрации суспензии  в полубесконечном пласте

.2 Решение задачи фильтрации в конечном фильтре

Заключения

Литература

Приложение

Введение

Задачи фильтрации жидкости с твердыми взвешенными частицами (суспензии) в пористой среде встречаются при исследовании различных задач техники. Известно, что в природе многие жидкости являются неоднородными, т.е. состоять из различного количества компонентов и фаз, свойства которых могут значительно отличаться друг от друга. В частности суспензии состоят из жидкой и твердой фазы, при этом мелкие частицы твердой фазы находятся во взвешенном состоянии в жидкой фазе. При течении таких суспензий наблюдается ряд явлений, которые не наблюдаются при течении однородных жидкостей. За счет взаимодействия частиц твердой фазы с частицами жидкой фазы суспензии приобретают неньютоновские реологические свойства. При движении таких суспензий в пористой среде помимо отмеченных неньютоновских свойств наблюдается еще ряд аномальных явлений. В частности частицы твердой фазы могут осаждается в порах, что приводит к выключению этой поры из процесса фильтрации. В процессах движения суспензий в пористой среде частицы жидкой и твердой фаз находится под воздействием различных сил. Силы давления стремятся протолкнуть осажденные твердые частицы из одних пор в другие. При этом градиент давления должен быть таким, чтобы преодолеть силы сцепления частиц в порах. Таким образом при фильтрации суспензии с образованием осадка существенно влияют на емкостные и фильтрационные характеристики пористой среды.

Для качественного и количественного исследования процессов фильтрации с образованием осадка должны быть созданы эффективные математические модели. Анализ показывает, что разработанные до настоящего времени модели фильтрации суспензии с образованием осадка в пористой среде в той или иной мере описывают основные характерные особенности процесса фильтрации. Небольшой анализ некоторых моделей фильтрации суспензии с образованием осадка приведен в первом параграфе данной работы. В работе [1] рассмотрено особенности процесса осветления суспензий путем фильтрования. В [1] модель не учитывает диффузионный перенос вещества в пористой среде. Кроме того, кинетика осаждения и отрыва частиц в поровом пространстве определяется от характеристик насыщения порового пространства - концентрациями взвешенных частиц в жидкости и осадка. В [12] предлагаются модифицированные уравнения кинетики процесса осадка частиц, учитывающие динамические факторы. Однако в достаточном объеме задачи фильтрации с образованием осадка для этой модели, ещё не исследовались. Кроме того, численные методы решения этих задач также не отработаны достаточно хорошо. Поскольку модель состоит изсистему нелинейных дифференциальных уравнений, разработка эффективных численных алгоритмов решения задач является важным элементом исследования этой модели. При этом имеется в виду метод конечных разностей, как наиболее универсальный и широко используемый метод решения дифференциальных уравнений. Исходя из сказанного можно заключить, что исследование моделей фильтрации суспензии с образованием осадка с учетом предельного градиента давления и разработка эффективных численных алгоритмов реализации этих моделей является актуальной задачей.

Целью данной работы является исследование задач фильтрации суспензии с образованием осадка с учетом динамических факторов и разработка эффективных численных алгоритмов решения этих задач. В соответствии с этой целью в работе ставятся следующие задачи:

¾ постановка начально-краевых задач фильтрации суспензии с нового кинетического уравнения, учитывающие динамических факторов для различных режимов течения;

¾ построение конечно-разностных аппроксимаций поставленных задач и исследование устойчивости разностных задач;

¾ определение алгоритмов решения задач, составление программ расчетов на ЭВМ и получение численных результатов;

¾ анализ результатов и разработка выводов и заключений.

Объектом исследования являются насыщенные однородной и дисперсной жидкостью пористые среды.

Методика исследования.

Для составления моделей фильтрации суспензии с образованием осадка используются классические закон механики, в частности, закон сохранения массы взвешенных твердых частиц в элементарном объеме. При составлении систем уравнений используется также кинетическое уравнение изменения насыщенности пористой среды осевшими частицами, обобщенный закон Дарси. Для решения системы уравнений используется метод конечных разностей с проверкой устойчивости метода. При анализе результатов принимается во внимание физическая сущность изменения расчетных параметров. На полученные новые явления даются соответствующие физические интерпретации.

В процессе выполнение работы соискатель собрал необходимые сведения о моделях фильтрации суспензии с образованием осадка и о численных методах решения задач. Собранный материал был обобщен, на основе этого определены задачи и предмет исследования.

Научная новизна исследований.

В работе на основе общего уравнения баланса, модифицированного кинетического уравнения и обобщенного закона Дарси написана система уравнений фильтрации суспензии с образованием осадка. Поставлен и решен ряд задач для этой системы уравнений. Установлено влияние параметров, характеризующие осаждении и освобождении частиц в порах, а также градиента давления на характеристики фильтрации.

Работа состоит из введения, три параграфов, выводов и заключений, списка литературы и приложения.

В первом параграфе дается краткий анализ моделей фильтрации суспензии с образованием осадка. Рассматриваются особенности процесса осветления суспензий путем фильтрования. Затем на основе [12] дается модифицированные кинетические уравнения, учитывающие динамические факторы.

В отдельном параграфе решена задача фильтрования суспензии в пористой среде, на основе кинетического уравнения без учета динамических факторов. Затем та же задача решена в конечном фильтре. Задачи решены численно конечно-разностным методом. Определены профили концентраций взвешенных частиц в жидкости, осадке и градиента давлении.

Решение задачи фильтрации суспензии в пористой среде на основе кинетического уравнения с учетом динамических факторов даны в параграфе 3. Определены профили концентраций взвешенных частиц в жидкости, осадке и градиента давлении для различных исходных данных.

На основе полученные результатов разработаны выводы и заключения.

В конце диссертации программы расчетов решений задач приведены в качестве приложения.

По материалам диссертации опубликована следующая работа:

Махмудов Ж.М., Пардаев А.И., Шаимов К.М.Численное решение задачи фильтрации суспензии в пористой среде // Труды научной конференции “Проблемы современной математики”, 22-23.04.2011. г.Карши. С.431-434.

алгоритм задача уравнение фильтрация суспензия

§1. Учет динамических факторов в кинетике осаждения (захвата) и освобождения частиц при фильтрации суспензий

В данном параграфе сначала на основе [1] рассмотрим особенности процесса осветления суспензий путем фильтрования. Затем дадим обобщение кинетики процесса осаждения (захвата) твердых частиц суспензии, а также их освобождения, учитывающее динамические факторы.

.1 Особенности процесса осветления суспензий путем фильтрования

Процесс осветления суспензий можно отнести к классу сорбционных (в широком смысле) процессов. При фильтровании суспензий обычно происходит отложение слоя твердых частиц суспензии на поверхности фильтра, а также их проход в поровое пространство фильтра и осаждение (захват, задержка). Обычно изучение роста слоя осадка на поверхности фильтра приводится к отдельному классу задач - к задачам типа Стефана и Веригина. Процесс же фильтрационного осветления суспензий внутри слоя загрузки (фильтра) может быть описан математическими моделями, подобными сорбционным.

Характерной особенностью процесса фильтрационного осветления суспензий является взаимодействие кинетики осветления и гидродинамических условий фильтрации. Осаждение твердых частиц суспензии в порах фильтра изменяет фильтрационного-емкостные свойства фильтра, т.е. пористость и проницаемость претерпывает существенные изменения за счет изменения степени заполнения порового пространства. При постоянной скорости фильтрования это приводит к росту локальных физических скоростей суспензии, а также локальных и общего градиента давления в фильтре. При постоянном перепаде давления на фильтре можно наблюдать снижение общей скорости фильтрования и локальных физических скоростей в фильтре. В свою очередь, изменение гидродинамических условий фильтрования приводит к изменению кинетики осаждения и освобождения твердых частиц суспензии в поровом пространстве фильтра.

Для описания процессов осаждения частиц обычно применяются различные феноменологические подходы. В частности, кинетика осаждения твердых частиц представляется в виде дифференциальных уравнений, учитывающих различные физические особенности осаждения и освобождения твердых частиц в поровом пространстве фильтра.

В [2] уравнение кинетики представлялось в форме

, (1.1)

где ρ - концентрация осадка, с- концентрация суспензии в жидкой фазе, α, β -постоянные.

В этой модели кинетики сделана попытка учесть улучшение эффективности массопереноса из-за увеличения удельной поверхности загрузки при образовании осадка. Отметим, что этот эффект, получивший в литературе название «зарядка», присущ именно фильтрованию суспензий и связан с изменением не только геометрии пористого пространства вследствие кольматации, но и ζ-потенциала поверхности (при фильтровании жидких сред) [1].

Для описания динамики осветления суспензии широко применяются модели [3-6], которых в обобщенном виде можно представить как [1]

, (1.2)

где  - скорость фильтрации;  - скорость прилипания частиц;  - скорость отрыва частиц;  - потери напора на фильтре;  - начальные потери напора; - гидравлический уклон;  - длина фильтра.

Система (1.2) записана в предположении, что суспензия является однокомпонентной, а образующийся осадок однороден. В уравнении баланса в системе (1.2) опущен член , который, как правило, мал по сравнению с остальными (исключая начальную стадию осветления, но тогда должны быть учтены и другие факторы, например продольная дисперсия; пренебрежение ими оправдано для представляющих практический интерес стадий процесса) [1].

Уравнение изотермы следует из уравнения кинетики системы (1.2) при условии , т.е.

и описывает равновесие в системе, являющееся сугубо динамическим, когда скорости отрыва и прилипания частиц равны. В динамике фильтрования суспензий равновесие зависит не только от свойств дисперсной фазы и загрузки, но и от гидродинамических условий и геометрических характеристик (порозность, форма частиц и т.п.). Поэтому изотерма фильтрации (1.3) не может быть рассчитана из статического опыта; она является динамической характеристикой [1].

В зависимости от использования кинетических уравнений модели фильтрования могут быть линейными или нелинейными.