Материал: Численное решение задач фильтрации неоднородных жидкостей в пористых средах

В линейной модели фильтрования в (1.2) принимается

, , (1.4)

где - постоянная.

Модель фильтрации состоит из уравнения баланса и кинетики (1.2) с (1.4). В модели предполагается, что каждая частица, осевшая на поверхности пористого слоя, может оторваться независимо от концентрации осадка. Очевидно, что такое предположение справедливо лишь для осадков, образующих на поверхности загрузки монослой из частиц суспензии. Кроме того, полагается, что любая частица имеет равную вероятность отрыва независимо от места адгезии. Это предположение опровергается последними данными о структуре потока в пористом слое.

В нелинейной модели фильтрования [5] полагается, что

, ,(1.5)

где  - постоянные. Эта система совпадает с уравнениями динамики сорбции при внешнедиффузионной кинетике и изотерме Ленгмюра. По сравнению с линейной моделью здесь учитывалось влияние формирующегося осадка на изменение локальной скорости, что в свою очередь влияет на скорость отрыва. В рамках нелинейной модели удается доказать формирование концентрационного фронта, перемещающегося по слою с постоянной скоростью [1].

В моделях безотрывного фильтрования полагается, что , а  различными авторами аппроксимируется по-разному. Так, в моделях Айвеса [6]

, ,(1.6)

в модели Шехтмана [3]

,(1.7)

где  - постоянные (). Уравнения динамики аналогичны (хотя и не тождественны) системе динамики сорбции при внешней диффузии и прямоугольной изотерме [1].

Характерной особенностью всех этих моделей является существование концентрации осадка , при которой  обращается в нуль, т.е. прекращается накопление осадка за счет адгезии (напомним, что отрыв осадка модели не учитывают).

В моделях (1.6), (1.7) учитывается формирование в пористом слое невымываемой части осадка, но не учитывается образование вымываемой части, что несомненно доказано экспериментально [7].

Осадок в пористом пространстве глобулярной структуры фильтра имеет две формы - вымываемую и невымываемую. Соответственно зоны фильтра назовем активными и пассивными. Активные зоны, омываемые струйной составляющей потока, формируют вымываемый осадок с концентрацией , пассивные зоны, являющиеся застойными, формируют невымываемый осадок с концентрацией . Обозначим полную емкость фильтра через. Из изложенного следуют

,

где  и  - емкости соответственно активных и пассивных зон. Подчеркнем, что указанные емкости являются динамическими характеристиками. Они зависят не только от «качества» дисперсной фазы, но и от скорости и структуры потока, а также геометрии слоя [1].

Степень вымываемости осадка характеризует величина

.

При фильтровании суспензий уравнение кинетики необходимо записывать для обеих зон: активной и пассивной. Приведем такой подход в соответствии с [1]. Уравнение кинетики для вымываемой формы осадка

совпадает с линейной моделью фильтрации (1.5). Кинетика образования невымываемой формы осадка описывается уравнением

и аналогична моделям безотрывного фильтрования (1.6). Изменение  связано с эффектом уплотнения (старения) осадка.

В [1] описан процесс старения осадка пассивной зоны. В соответствии с этим описанием пока объем пассивной зоны не заполнен, каждая частица, подошедшая к ее границе, переходит в невымываемый осадок. Если же зона заполнена, то вероятность такого перехода меньше единицы. Обозначим вакантную часть поверхности через. Тогда при частично вакантной зоне кинетический коэффициент равен , если для свободной поверхности он был равен . Уменьшение  происходит непрерывно, поскольку за счет старения осадка появляются новые вакансии в пассивной зоне. Наиболее точно экспериментальные данные описывает следующая аппроксимация :

(1.8)

Следовательно, в начале формирования осадка . Начиная с некоторой концентрации , значение  становится меньше единицы, и дальнейшее уменьшение  идет обратно пропорционально количеству осадка . Наконец, при концентрации осадка, близкой к насыщению,  уменьшается более быстро. Этот участок аппроксимируется ступенькой (аналогично аппроксимации сильновыпуклых изотерм прямоугольной изотермой в динамике сорбции).

Старение осадка влияет на кинетику в интервале  и характеризуется безразмерным параметром . Если , то эффектом старения можно пренебречь.

Уравнение баланса

(1.9)

замыкает систему динамики осветления, которое при кольматации фильтра обычно решается при условиях

, .(1.10)

Решение уравнения получено сначала для малых времен. Основной вывод для этого диапазона времени заключается в том, что на достаточно коротких слоях можно наблюдать активных зон еще до того, когда начнет «ухудшаться» кинетика пассивных зон. Решение получено также при предположении отсутствия активной составляющей скорости формирования осадка.

1.2 Модифицированные кинетические уравнения осаждения и освобождения твердых частиц суспензии

Рассмотренная в §1.1 модель не учитывает диффузионный перенос вещества в пористой среде. Кроме того, кинетика осаждения и отрыва частиц в поровом пространстве определяется от характеристик насыщения порового пространства - концентрациями  и . Коэффициенты в кинетическом уравнении , , , а также сами функции ,  считаются не зависящими от интенсивности гидродинамического процесса фильтрации. Эти предположения, возможно, справедливы, когда скорости фильтрации и, соответственно, градиенты давления не высоки. В [8-11] предлагаются модифицированные уравнения кинетики кольматации и суффозии, учитывающие вероятностный подход. Уравнение кинетики осаждения частиц с учетом кольматации и суффозии записано в виде

,(1.11)

где в указанных работах под  обозначено насыщенность осевшими частицами в рыхлом теле,  - насыщенность частицами в свободной жидкости,  - модель градиента давления, , ,  - параметры.

Напишем уравнение кинетики [1] с учетом динамических факторов. Сначала кинетическое уравнение представим в виде

.(1.12)

Первый член справа в (1.12) учитывает, как отмечалось в §1.1, эффект «зарядки» фильтра, характеризующий улучшение эффективности массопереноса из-за увеличения удельной поверхности зарядки при образовании осадка.

Второй член справа (1.12) соответствует нелинейной модели фильтрования [5].

Когда в уравнении кинетики (1.12) образование осадка в пассивной зоне принимаем в соответствии с моделями безотрывного фильтрования, получаем следующее

, (1.13)

,(1.14)

, .

Первый член в правой части (1.13) соответствует модели Айвеса [6], а в (1.14) - модели Шехтмана [3].

Кинетические уравнения (1.13), (1.14) необходимо рассматривать совместно с уравнением баланса, которого в одномерном случае с учетом диффузионных эффектов запишем в виде

, (1.15)

где  - пористость среды,  - коэффициент эффективной диффузии,  - скорость фильтрации, const.

Если гидродинамический поток создается не с заданной скоростью фильтрации , а с заданными давлениями на концах фильтра, то необходимо получить уравнение и для поля давления. Принимая закон фильтрации в виде

, , (1.16)

где  - коэффициент фильтрации, используя уравнение неразрывности в виде

,(1.17)

получаем

,(1.18)

где .

Для конечного фильтра длиной  граничные условия для (1.18) могут быть заданы в виде

,(1.19)

, - заданные давления.

В соответствии с [8-11] кинетические уравнения (1.12), (1.13), (1.14) с учетом динамических факторов в работе [12] записываются в виде

,(1.20)

, (1.21)

,(1.22)

где ,  - постоянные коэффициенты.

Уравнения (1.20), (1.21), (1.22) учитывают динамические факторы, что представляют модификации уравнений (1.12), (1.13), (1.14), соответственно.

§ 2. Задачи фильтрации суспензии в пористой среде

В этом параграфе решаются задачи фильтрации суспензии в пористой среде на основе предложенной в 1.2 модели.

2.1 Решение задачи фильтрации суспензии с заданным скоростным режимом

Система уравнений фильтрования суспензий с заданным скоростным режимом, без учета динамических факторов, состоит из уравнения баланса и кинетики. Рассмотрим несколько вариантов системы уравнений, различающихся между собой уравнением кинетики.

I вариант. Система уравнений состоит из (1.15) и (1.12). Тогда в одномерном случае она представляется в виде [13]

,

.(2.1)

Начальные и граничные условия имеют вид

(2.2)

Для решения задачи (2.1) - (2.2) применим метод конечных разностей [14]. В области  вводим сетку, где  - максимальное время, в течение которого исследуется процесс. Для этого интервал  разбиваем с шагом , а  разбиваем на J частей с шагом t. В результате имеем сетку