Материал: Численное решение задач фильтрации неоднородных жидкостей в пористых средах

 с,  (1);  с,  (2).

Рис. 2.11. Профили концентраций (а), (б),  (с)   в различные моменты времени при  м/с;  с^-1; с; ;  м²/с,  (1);  м²/с,  (2). уменьшается значение  при увеличении значения параметров ,  и . Когда увеличиваются значения параметров , , в рассмотренной задаче в полубесконечной области, значение  увеличивается,  уменьшается и в этом случае вблизи свободной границы области () наблюдается резкое возрастание абсолютных значений градиента давления (Рис.2.9в,2 случай, рис.2.10в,2 случай).

II вариант. Система уравнений состоит из (1.15), (1.13), (1.16), (1.18)

,

,(2.23)

, ,

, .

Эта система решается при начальных и граничных условиях (2.14). Для определения сеточных значений , ,  и  использованы схемы (2.17), (2.20), (2.11), (2.21) и (2.22).

Результаты численных расчетов представлены графически на рис.2.12, 2.13. Увеличение параметров  и , как и в задаче, рассмотренной в полубесконечной области, приводит к увеличению концентрации осадка и это можно рассматривать как положительный фактор при фильтровании суспензий в пористой среде.

Рис. 2.12. Профили  (а), (б) и ½Ñp½ (в) в различные моменты времени при  м²/с, (1), 0,2 (2) с^-1,  с, , , .

Рис. 2.13. Профили  (а), (б) и ½Ñp½ (в) в различные моменты времени при   м²/с;  с^-1; ; ,  (1); ,  (2).

III вариант. Система уравнений состоит из (1.15), (1.14), (1.16), (1.18)

,

,(2.24)

, ,

, .

Эта система также решается при условиях (2.14). В этом варианте , ,  определяются как в предыдущем варианте, только для вычисления  использована схема (2.13).

Результаты численных расчетов представлены на рис.2.14, 2.15.

Из рисунков можно видеть, что при увеличение значения параметра  увеличивается  и уменьшается , а с увеличением значения параметра  уменьшается , увеличивается  в фиксированных точках пласта.

Рис. 2.14. Профили  (а), (б) и ½Ñp½ (в) в различные моменты времени при  м²/с, (1), 0,2 (2) с^-1,  с, , , .

Рис. 2.15. Профили  (а), (б) и ½Ñp½ (в) в различные моменты времени при   м²/с;  с^-1; ; ,  (1); ,  (2).

§ 3. Задачи фильтрации суспензии в пористой среде с учетом динамических факторов

В этом параграфе решаются задачи фильтрования суспензии в пористой среде на основе новых кинетических уравнений, которые учитывают динамические факторы (уравнения (1.20) - (1.22)).

3.1 Решение задачи фильтрации суспензии в полубесконечном пласте

Объектом исследования, как и в параграфе 2.1, является полубесконечный однородный пласт.

Система уравнений фильтрования суспензий с заданным скоростным режимом с учетом динамических факторов, состоит из уравнения баланса, уравнения кинетики и закона Дарси.

Рассмотрим несколько вариантов системы уравнений, различающихся между собой уравнением кинетики, как в 2.1.

I вариант. Система уравнений состоит из (1.15), (1.20) и (1.16):

,

.(3.1)

, , .

Начальные и граничные условия имеют вид:

(3.2)

Для решения задачи (3.1) - (3.2) применим метод конечных разностей.

Первое уравнение системы (3.1) аппроксимируется на сетке  как в схеме (2.3), а второе уравнение - в следующем виде

.(3.3)

Эта схема может быть представлена в виде

,, .(3.4)

Здесь

, ,

где

, .

Из третьего уравнения системы (3.1) определим

.(3.5)

Аппроксимируя (3.5) получим

.(3.6)

Вычисления проводятся в следующей последовательности. Согласно (3.6) определяются значения  через известные величины  нижнего слоя в соответствующих точках, подставляя найденные  в (3.4) находятся  и согласно (2.3) определяются . По полученным решениям определены профили ,  и  в различные моменты времени (Рис. 3.1 - 3.4). Здесь также увеличение значений параметров  (Рис.3.1, 2 случай),  (Рис.3.2, 2 случай), как в решенной задаче в §2.1, действует как положительный фактор к прилипанию частиц, т.е. концентрация осадки возрастает. Уменьшение значения параметра  (Рис.3.2, 1 случай) и увеличение  (Рис.3.3, 2 случай) приводит к возрастанию отрыва осевших частиц. Сравнивая рис.2.1 и рис.3.1 оценить влияние градиента давления на процесс кинетики захвата и отрыва частиц.

Рис. 3.1. Профили  (а), (б) и ½Ñp½ (в) в различные моменты времени при  м/с,  м²/с, (1), 0,2 (2) с^-1,  с, , , м/МПа,  м/МПа.

Рис. 3.2. Профили  (а), (б) и ½Ñp½ (в) в различные моменты времени при   м/с;  м²/с;  с^-1; ;  м/МПа;  м/МПа; c,  (1);c,  (2).

Рис. 3.3. Профили  (а), (б) и ½Ñp½ (в) в различные моменты времени при   м/с;  с^-1;  с; ;  м²/с;  м/МПа; м/МПа,  (1);  м/МПа,  (2).

Рис. 3.4. Профили  (а), (б) и ½Ñp½ (в) в различные моменты времени при  м/с;  с^-1;  с; ; ;  м/МПа;

 м/МПа,  м²/с (1);  м/МПа,  м²/с (2).

Если при,  в точке  было  (Рис.2.1, 1 случай), то при ,  имеем  (Рис.3.1, 1 случай). Таким образом, увеличение параметров  (Рис.3.3, 1 случай),  (Рис.3.4, 1 случай) приводит к относительному уменьшению значения  и относительному увеличению .

II вариант. Система уравнений состоит из (1.15), (1.21) и (1.16), т.е.