Материал: Численное решение задач фильтрации неоднородных жидкостей в пористых средах

.

Вместо функций ,  будем рассматривать сеточные функции, значения которых в узлах  соответственно обозначим , .

Первое уравнение системы (2.1) аппроксимируется на сетке вследующим виде

.(2.3)

Разностная схема для второго уравнения системы (2.1) будет иметь вид:

.(2.4)

Начальные и граничные условия (2.2) также представляются в сеточном виде

, , ,, , ,

, , ,(2.5)

, , ,

где  - достаточно большое число, для которого приблизительно выполняется .

Разностная схема (2.3) приведена к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

, , ,(2.6)

где

, , ,

.

Схема (2.4) представляется в виде

,, ,(2.7)

Где

, .

Систему (2.6) решаем методом прогонки при известных, определенных в соответствии (2.7)

,, ,(2.8)

где

, , , .

Из граничного условия имеем

, откуда , .(2.9)

Вычисления проводятся в следующей последовательности. Согласно (2.7) определяются значения  через известные величины  и  нижнего слоя в соответствующих точках, из (2.8) находятся . В качестве исходных параметров примем следующие числовые величины: , ,  м/c,  м²/c.  Проведем анализ численных результатов. С течением времени значения ,  в фиксированных точках пласта возрастают (Рис.2.1 - 2.4). При увеличении параметра , графики показывают увеличение значений концентрации осадка  и уменьшение концентрации взвешенных твердых частиц в жидкости  в соответствующих точках пласта (Рис.2.1, 1 и 2 случаи). Сравнивая рис.2.1 (1 случай) с рис. 2.2 (1 случай) можно сказать, что увеличение параметра  также приводит к увеличению концентрации осадка  и уменьшению  в фиксированных точках пласта. Уменьшение значения параметра  приводит к увеличению отрыва частиц, за счет этого уменьшаются абсолютные значения  в одинаковых точках пласта. В случае  с, в точке  было  (Рис.2.1б, 1 случай), а при  с, имеем  (Рис.2.2б, 2 случай). Сравнивая графические результаты рис.2.1 (1 случай) с рис.2.3 (2 случай) можно сказать, что при увеличении параметра  уменьшаются значения , но не очень значительно. При увеличении значения  в 50 раз, значения  понижаются приблизительно на 20 % от предыдущего случая (при). При увеличении коэффициента эффективной диффузии  в уравнении баланса профили показателей  и  распространяются более широким фронтом. Увеличив скорость фильтрации замечаем ускоренное продвижение фронта в глубь пласта (Рис.2.4).

II вариант. Система уравнений состоит из (1.15) и (1.13)

,

.(2.10)

В этом варианте уравнение кинетики системы (2.10) после аппроксимация принимается, как в (2.7), в виде

,, ,(2.11)

где,

.

Результаты численных экспериментов представлены на рис. 2.5-2.6. В этом варианте, как и в предыдущем, с увеличением параметра  увеличивается концентрация осадки и уменьшается концентрация взвешенных частиц (Рис. 2.5). С увеличением значений параметров  (Рис.2.6, 1 случай) и  (Рис. 2.6, 2 случай) также происходит увеличение  и уменьшение  в фиксированных точках пластах.

III вариант. Система уравнений состоит из (1.15) и (1.14)

,

.(2.12)

В этом варианте кинетическое уравнение аппроксимируется аналогично (2.11), а  и  в (2.11) выражаются следующими соотношениями

, .(2.13)

Результаты численных экспериментов представлены на рис. 2.7 - 2.8. Сравнивая 1 и 2 случаи рис.2.8 можно сказать, что при увеличении значений параметра  скорость прилипания частиц увеличивается, за счет этого уменьшается значение концентрации взвешенных частиц, а с увеличением значения параметра  уменьшается , увеличивается  и наблюдается продвижение фронта в глубь пласта.

2.2 Решение задачи фильтрации в конечном фильтре с заданным режимом по давлению

Здесь рассматривается задача для конечной области с граничным режимом по давлению.

В однородный пласт длины l, пористостью , насыщенный чистой (без частиц) жидкостью с некоторого момента времени  начинает поступать дисперсная система с концентрацией взвешенных твердых частиц . Течение происходит под действием градиента давления, создаваемого постоянными граничными давлениями  и. Исходя из сформулированных условий задачи начальные и граничные условия записываются так

, .(2.14)

Таким образом, для определения неизвестных , ,  необходимо решить систему, состоящую из уравнения баланса, уравнения кинетики, законафильтрации (уравнение (1.16) в 1.2) и уравнения (1.18) в 1.2. Как в параграфе 2.1 рассмотрим следующие варианты, зависящие от вида кинетического уравнения.

I вариант. Система уравнений состоит из (1.15), (1.12), (1.16), (1.18)

,

,(2.15)

, ,

, .

Система решается при условиях (2.14) методом конечных разностей.

В области  вводим сетку

,

где T - максимальное время, в течение которого исследуется процесс, I, J - количество точек деления сетки.

Последнее уравнение системы (2.15), когда коэффициент фильтрации  выражается законом Кармана-Козени (), представим в виде

.(2.16)

Сеточное решение, определенное в точках  для давления p обозначим через. В результате получается следующая разностная схема

(2.17)

где .

Условия (2.14) для давления принимают вид:

(2.18)

Схема (2.17) также приводится к СЛАУ

где

, , , .

Решая систему уравнений (2.19) методом прогонки определяется давление на ()-ом слое и в соответствующих точках находится градиент давления по формуле:

(2.20)

Затем по схеме (2.7) вычисляются . Скорость фильтрации определяется как

.(2.21)

Первое уравнение системы (2.15) аппроксимируется на сетке  в следующем виде

.(2.22)

Схема (2.22) приводится к СЛАУ и решается методом прогонки при известных значениях  и .

Результаты численных расчетов представлены на рис.2.9 - 2.11. Из этих рисунков видно, что с увеличением времени в одних и тех же точках пласта значения  и  возрастают. Анализируя профили  отметим, что они также носят монотонно убывающий характер, а затем стабилизируются достигнув определенной величины. С увеличением времени вблизи

Рис. 2.9. Профили  (а), (б) и ½Ñp½ (в) в различные моменты времени при  м/с,  м²/с, (1), 0,2 (2) с^-1,  с, , .

Рис. 2.10. Профили  (а), (б) и ½Ñp½ (в) в различные моменты времени при   м/с;  м²/с;  с^-1; ;