Материал: Д6768 Аналитическое описание процессаинестационарной теплопроводности

УДК 536.2

Аналитическое описание процесса нестационарной теплопроводности / Б.А. Вороненко, А.Г. Крысин, В.В. Пеленко, О.А. Цуранов: Учеб.-метод. пособие. – СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ, 2014. – 48 с.

Изложены основные понятия, определения и принципы составления дифференциальных уравнений нестационарной теплопроводности. Рассмотрены условия однозначности. Представлена общая схема решения краевых задач методом разделения переменных. Рассмотрены решения конкретных примеров для физических и инженерных процессов.

Предназначено для магистрантов, обучающихся по образовательным программам направления 15.04.02 Технологические машины и оборудование.

Рецензент: доктор техн. наук, проф. В.А. Рыков

Рекомендовано к печати редакционно-издательским советом Института холода и биотехнологий

В2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса,

врезультате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена программа его развития на 2009–2018 годы. В 2011 году Университет получил наименование «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики».

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, 2014

Вороненко Б.А., Крысин А.Г., Пеленко В.В., Цуранов О.А., 2014

2

ВВЕДЕНИЕ

Данное учебно-методическое пособие предназначено для углублѐнной проработки разделов теоретического курса «Математическое моделирование в пищевой промышленности» студентами, обучающимися по магистерским программам направления 15.04.02 Технологические машины и оборудование.

Аналитическое описание процессов нестационарной теплопроводности является одной из базовых составляющих курса «Математическое моделирование в пищевой промышленности» и опирается на такие естественно-научные курсы, изучаемые студентами, как математика, физика, гидравлика, термодинамика, процессы и аппараты пищевых производств, теоретическая механика.

Аналитическая теория нестационарной теплопроводности в настоящее время находит широкое применение в разрешении различных технических и технологических проблем. Расчет тепловых аппаратов, работающих при нестационарном тепловом режиме, оценка теплостойкости ограждающих конструкций в условиях переменных тепловых воздействий (теплоизоляция зданий, печей, техники, трубопроводов), нагрев машин, электропроводящих сетей, температурные напряжения в элементах конструкций и оборудования, а также многие другие вопросы связаны с решением задач нестационарной теплопроводности. К этому же кругу проблем относятся исследования кинетики процессов сушки, химических реакций, сорбции и десорбции в связи с тем, что задачи нестационарной диффузии идентичны задачам нестационарной теплопроводности. Сюда же следует отнести целый класс задач, связанных с описанием нестационарных процессов в пищевых продуктах, оборудовании и производствах.

В данном учебно-методическом пособии приведѐн простейший вывод дифференциального уравнения нестационарной теплопроводности, дан анализ его физического смысла, рассмотрены условия, которые в совокупности с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности.

Пособие знакомит с методом разделения переменных (методом Фурье) и показывает, как можно решить этим методом некоторые задачи теплопроводности (диффузии), связанные с отраслевыми технологическими процессами, машинами и аппаратами.

3

1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ ПРОЦЕССЕ

Математическая теория теплопроводности Фурье – великая математическая поэма.

У. Томсон (Кельвин)

В соответствии со вторым законом термодинамики самопроизвольный процесс переноса теплоты в пространстве возникает при наличии разности температур и направлен в сторону уменьшения температуры.

Термодинамические процессы сопровождаются переносом теплоты как в рабочем пространстве тепловых установок, так и в элементах конструкций и между элементами конструкций и окружающим пространством. Поскольку теплота является количественной мерой энергии, между большинством тел происходит теплообмен.

Закономерности процесса переноса теплоты рассматриваются теорией теплообмена (теплопередачи). Трудно назвать область техники, где бы в той или иной форме не использовались знания из области науки о теплообмене.

Различают три элементарных вида теплопередачи:

1)теплопроводность (кондукцию);

2)конвекцию (трансляцию);

3)лучистый теплообмен.

Теплопроводностью называется молекулярный перенос теплоты внутри тела, обусловленный тепловым движением микрочастиц (молекул, атомов, электронов) при наличии градиента температуры и происходящий без макроскопических перемещений вещества. При этом частицы из более нагретых зон тела, обладающие большей энергией, сталкиваясь при своѐм движении с частицами менее нагретых областей, передают им часть своей энергии.

Температура является параметром, характеризующим энергию теплового движения частиц вещества. Следовательно, процесс распространения теплоты и его направление неразрывно связаны с распределением температуры внутри тела. В общем случае температура неодинакова в различных точках тела и зависит от времени: t = t(x, y, z, τ).

4

Температурное поле в рассматриваемом пространстве (теле) – совокупность значений температуры в данный момент времени для всех точек пространства (тела), в котором протекает процесс.

Если температура тела зависит от координат и не изменяется с течением времени, то поле называется стационарным. При температуре, зависящей от времени, поле называется нестационарным.

Если какое-нибудь тело поместить в среду с более высокой температурой, чем температура тела, то в процессе теплообмена между средой и телом последнее будет нагреваться, причем сначала прогреваются поверхностные слои, а затем теплота распространяется к центру тела.

На рис. 1, а приведены зависимости температуры поверхности tп и центра tц тела от времени.

Хотя вид кривой t = t(τ) зависит от формы, размеров и физических свойств тела и среды, общим будет то, что температура центра тела при нагревании всегда меньше температуры поверхности. По истечении значительного промежутка времени температура всех частей тела выравнивается и становится равной температуре среды (это справедливо для случая, когда объѐм среды значительно больше объѐма тела и еѐ температура во времени практически не меняется). Количество теплоты, получаемое телом в единицу времени в процессе нагревания, также изменяется во времени (рис. 1, б). Площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс, определяет полное количество теплоты, переданной телу за время τ, в результате чего повышается его внутренняя энергия.

При охлаждении тела наблюдаются аналогичные зависимости. Нестационарный тепловой режим в технике встречается очень часто, однако не всегда его рассчитывают. В большинстве теплообменных аппаратов (например, рекуперативных) нестационарные процессы имеют временный характер, а в основном же эти аппараты работают при стационарном режиме. В машинах и аппаратах общественного питания, регенеративных теплообменниках рабочий процесс протекает при нестационарном режиме. В этих и подобных случаях расчет нестационарной теплопроводности необходим, так как она определяет продолжительность технологического процесса, каче-

ство изделия и производительность установки.

5