Материал: Д6768 Аналитическое описание процессаинестационарной теплопроводности
или, учитывая подстановку соотношения (74),
, |
(70') |
т. е. получили обычное дифференциальное уравнение диффузии для одномерной задачи, в котором вместо переменной С стоит переменная q.
Начальные и граничные условия для краевой задачи с новой переменной имеют следующий вид:
q(x, 0) = 0; |
(71') |
q(–R, τ) = qс; |
(72') |
q(R, τ) = – qс. |
(73') |
Таким образом, нами получена задача (70')–(73') на «нагревание» неограниченной пластины с нулевой начальной «температурой», когда ограничивающие еѐ поверхности поддерживаются при «температурах» соответственно qс и –qс.
Вместо переменной q введем новую переменную t по соотношению
t(x, τ) = q(x, t) + |
x |
q , qс = const > 0. |
(76) |
|
|||
|
R c |
|
|
Тогда уравнение (70') и условия (71')–(73') для новой переменной t(x, τ) будут следующими:
|
|
|
|
|
|
; |
(70'') |
|
t(x, 0) = |
x |
|
|
|||||
q |
f (x); |
(71'') |
||||||
|
||||||||
|
|
R c |
|
|
|
|||
|
t(–R, τ) = 0; |
(72'') |
||||||
36
t(R, τ) = 0. |
(73'') |
Таким образом, пришли к простейшей краевой задаче: найти в области [R < x < R, τ <∞] решение однородного уравнения (70''), удовлетворяющее начальному условию (71'') и однородным краевым (граничным) условиям (72'') и (73'').
Снова воспользуемся методом разделения переменных Фурье. Будем искать частные решения уравнения (70'') в виде
t(x, τ) = T(τ)X(x).
Подставляя (77) в соотношение (70''), имеем
X(x)T'( |
X''(x), или |
T '( |
x) |
DT ( |
|
||
|
|
|
откуда получаем два уравнения:
T '( |
; |
X''(x) + k 2 X(x) = 0.
(77)
(78)
(24')
(25')
Чтобы получить нетривиальные решения t(x, τ) вида (77), удовлетворяющие условиям вида (72'') и (73''), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (25'), удовлетворяющие граничным условиям
X(–R) = 0, X(R) = 0.
Таким образом, для определения функции X(x) приходим к задаче о собственных значениях:
X''(x) + k2X(x) = 0, X(–R) = 0, X(R)=0. |
(79) |
Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка (79) имеет общее решение, содержащее две произвольные постоянные C1 и C2:
37
X(x) = C1cos(kx) + C2sin(kx). |
(80) |
Подставляя в формулу (80) однородные граничные условия (79), получим
C1cos(kR) – C2sin(kR) = 0;
C1cos(kR) + Csin(kR) = 0,
откуда следует, что C1 = 0.
Так как C2 ≠ 0 (иначе X(x) ≡ 0 – тривиальное решение), то
sin(kR) = 0, |
(81) |
|||
и |
n |
|
|
|
k = |
, |
(82) |
||
R |
||||
|
|
|
||
где n – любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи (79) возможны лишь при значениях
k 2n = .
Приведенным собственным значениям соответствуют собственные функции
Xn(x) = sin nR ,
определяемые с точностью до постоянного множителя.
Так как положительные и отрицательные значения n, равные по абсолютной величине, дают собственные значения k–n = kn, а собственные функции отличаются лишь постоянным множителем, то достаточно для n брать только целые положительные значения.
При k = kn общее решение уравнения (24') имеет вид:
Tn(τ) = Cne Dkn2 ,
где Cn – произвольные постоянные.
38
Таким образом, функции
tn(x, τ) = Xn(x)Tn(τ) = Cne |
Dkn2 |
sin |
n |
|
R |
||||
|
|
|||
|
|
|
удовлетворяют уравнению (70'') и граничным условиям (72'') и (73'') при любых Cn.
Ввиду линейности и однородности уравнения (70'') любая конечная сумма решений также будет решением. То же справедливо и для ряда
t(x, τ) = |
. |
(83) |
|
n 1 |
|
Остается определить постоянные Сn так, чтобы удовлетворялось начальное условие (71''). Требуя выполнения данного условия, получим
t(x, 0) = f(x) = |
. |
(84) |
|
n 1 |
|
Данный ряд представляет собой разложение заданной функции f(x) в ряд Фурье по синусам в промежутке (–R, R). Поэтому коэффициенты определяются по известной второй формуле из (33):
Cn = |
2 R |
. |
||
|
|
|||
R 0 |
||||
|
|
|||
Вычисление этого интеграла по частям при f(x) = Rx qc дает
Cn = n2qc ( 1)n 1 ,
откуда получаем решение
39
t(x, |
n 1 |
|
|
|
, |
|
|
(85) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или, введя характеристические числа |
|
= nπ, |
|
|
|
|
|
||
|
n 1 |
|
|
|
2 D |
|
|
||
t(x, |
qс |
sin |
e n |
R2 |
. |
|
(85') |
||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдем от t(x, |
к предыдущей переменной q(x, |
) по приня- |
|||||||
тому соотношению (76): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q(x, τ) = qс |
|
|
|
|
|
|
. |
(86) |
|
Концентрационное поле найдем из формулы (74):
C(x, = |
1 |
, |
(87) |
|
D |
||||
|
|
|
где – некоторая функция от времени; A – постоянная. Подставляя формулу (86) в выражение (87) и интегрируя его, получим:
C(x, τ) = |
q R |
|
|
|
|
q x2 |
(88) |
c |
|
|
|
|
. |
||
|
D n 1 |
|
|
|
|
|
|
Чтобы определить |
и A, воспользуемся следующим соот- |
||||||
ношением: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qс = R |
d |
|
( |
|
|
|
|
c |
, |
(89) |
|||
|
|
d |
|||||
|
|
|
|
|
|||
где с (τ) – средняя концентрация неограниченной пластины, определяемая по формуле
40