Материал: Д6768 Аналитическое описание процессаинестационарной теплопроводности

так как интеграл от суммы по x в пределах от 0 до R равен нулю

Окончательное решение задачи (70)–(73) примет вид:

C возрастанием τ сумма ряда уменьшается и распределение концентрации (влагосодержания) приближенно характеризуется при достаточно большом τ параболической зависимостью С от x по толщине пластины. Для любого процесса сушки величина С не может быть отрицательной, поэтому формула (93) справедлива для значений τ, не превосходящих определенной границы.

Введем некоторые обозначения:

(влагосодержание);

41

Ср – равновесная концентрация (влагосодержание);

XRx – безразмерная координата;

Теперь решение уравнения (93) можно написать в безразмерном виде:

. (94)

Таким образом, относительное влагосодержание будет функцией Kic , Fi, X , т. е.

Как уже отмечалось, с увеличением времени, а точнее критерия Fi в данном случае, члены ряда в соотношении (94) быстро уменьшаются и при некотором значении Fi > Fi1 становятся ничтожно малыми по сравнению с двумя первыми членами, так что всеми последующими членами ряда можно пренебречь. Начиная с этого момента времени, влагосодержание в любой точке пластины будет линейной функцией времени, а распределение влагосодержания по толщине пластины описывается законом параболы, т. е. наблюдается квазистационарный режим для поля влагосодержаний.

42

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1.Решение многих задач естествознания и техники сводится

кнахождению неизвестных функций, описывающих рассматриваемые явления или процессы, когда известны соотношения, связывающие между собой эти функции и их производные. Такие соотношения называются дифференциальными уравнениями. Для решения задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности, которое устанавливает зависимость между температурой, временем и координатами элементарного объема. Такое уравнение характеризует протекание физического явления или процесса в любой момент времени. В данном учебнометодическом пособии дифференциальное уравнение теплопроводности получено упрощенным методом на основе закона сохранения энергии и основного закона теплопроводности (первого закона Фурье). Оно записано для тел основной геометрической формы – неограниченной пластины, бесконечного цилиндра и сферы.

2.Приведены условия, которые в совокупности с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, т. е. однозначно определяют еди-

ничное явление, – условия однозначности, или краевые условия.

3.Рассмотрен метод разделения переменных (метод Фурье) –

один из старейших методов решения смешанных краевых задач (с граничными условиями первого, второго и третьего рода). Показано эффективное применение данного метода для решения задач на нагрев, охлаждение и сушку твердых однородных изотропных тел.

43

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Алексеев Г.В., Вороненко Б.А., Лукин Н.И. Математические методы в пищевой инженерии: Учеб. пособие. – СПб.: Изд.-во «Лань», 2012. – 176 с. – (Учебники для вузов. Специальная литература).

2.Алямовский И.Г., Гейнц Р.Г., Юшкевич П.П. и др. Ана-

литическое исследование технологических процессов обработки мяса холодом. – М.: ЦНИИиТЭИ, 1970. – 183 с.

3.Батунер Л.М., Позин М.Е. Математические методы в химической технике. – Л.: Химия, 1968. – 824 с.

4.Гуляев В.А., Вороненко Б.А., Пеленко В.В. и др. Тепло-

техника: Учеб. для вузов. – СПб.: Изд.-во «РАПП», 2008. – 352 с.

5.Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики: Учеб. пособие для мех.-мат. фак. ун-тов. – М.: Высш. шк., 1970. – 720 с.

6.Кудашов В.Н., Рыков В.А., Тестов Ю.Н. Элементы мате-

матической физики. – СПб.: СПбГУНиПТ, 2006. – 35 с.

7.Лыков А.В. Теория теплопроводности. – М.: Высш. шк., 1967. – 600 с.

8.Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров / Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. – 384 с.

9.Шарма Дж. Н., Сингх К. Уравнения частных производных

для инженеров. – М.: Техносфера, 2002. – 320 с.

44

4.НАХОЖДЕНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ

45