Материал: Д6768 Аналитическое описание процессаинестационарной теплопроводности

Рис. 1. Характер изменения температуры t и количества переданной теплоты Q во времени при нагревании тела

При нестационарном режиме перераспределение теплоты сопровождается изменением температуры отдельных элементов тела. Изменение температурного поля твердого тела при нестационарной теплопроводности описывается дифференциальным уравнением теплопроводности.

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Изучение любого физического явления сводится к установлению зависимости между величинами, характеризующими данное явление. Процесс нагревания твердого тела является сложным физическим процессом, в котором определяющие величины могут существенно изменяться в пространстве и времени, и установить зависимость между этими величинами очень трудно. Однако можно существенно упростить данную зависимость, если ограничиться малым промежутком времени dτ процесса и из всего пространства тела рассматривать лишь элементарный объем dv, что дает возможность пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих процесс.

Полученная таким образом зависимость будет общим дифференциальным уравнением теплопроводности. Решая затем это уравнение, можно получить аналитическую зависимость между величинами для всего тела и всего времени процесса.

6

Выведем уравнение теплопроводности упрощенным методом. Для этого примем следующие допущения:

–тело однородно и изотропно (физические свойства тела по всем направлениям одинаковы);

–физические параметры (теплофизические коэффициенты) постоянны, т. е. не зависят от координат и времени;

–деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, мала по сравнению с самим объемом;

–температурное поле одномерно (теплота распространяется в одном направлении, например в направлении оси х);

–внутренние источники теплоты в теле отсутствуют.

В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии: количество теплоты dQ, введѐнное в элементарный объем dv извне за время dτ вследствие теплопроводности, равно изменению внутренней энергии dU, содержащейся в элементарном объеме, за время dτ:

Выделим в теле элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz, параллельными соответствующим координатным осям (рис. 2). Объем этого параллелепипеда, следовательно, равен dv = dxdydz.

Рис. 2. К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

Количество теплоты, подведенное к грани dydz в направлении оси Ох за время d , равно dQx qxdydzd , где qx – проекция плотности теплового потока на направление нормали к указанной грани.

7

Количество теплоты, отведенное через противоположную грань элементарного параллелепипеда в направлении оси Ох, составляет dQx+dx =

= qx dx dydzdτ. Тогда разность между количеством теплоты, подве-

денным к параллелепипеду, и количеством теплоты, отведенным от него за время d в направлении оси Оx, равно

Функция qx dx является непрерывной в рассматриваемом ин-

тервале dx, и если ее разложить в ряд Тейлора и ограничиться двумя первыми членами ряда, то можно написать для неизвестной функции qx+dx приближенное равенство

которое тем точнее, чем меньше dx. Тогда из равенства (2) получим

изохорная теплоемкость единицы массы вещества (удельная теплоемкость), Дж/(кг∙К); – плотность вещества.

После подстановки полученных выражений (3) и (4) в уравне-

8

Учитывая закон Фурье стационарной теплопроводности

qx ,

получим

с

или

что и является дифференциальным уравнением нестационарной теплопроводности тела для одномерного потока теплоты.

. (7)

В общем случае вектор q можно разложить на три составляющие по координатным осям. Тогда, рассуждая аналогичным образом, можно найти количество теплоты, подведенное к элементарному объему и в направлениях двух других координатных осей Оу и Оz, и

окончательно получить дифференциальное уравнение теплопроводности (уравнение Фурье) в виде

вой системе координат.

Дифференциальное уравнение в частных производных (УЧП) (8) является дифференциальным уравнением сохранения энергии для изохорного процесса переноса теплоты, или уравнением нестационарной теплопроводности. Оно устанавливает связь между времен-

9

ным и пространственным изменением температуры в любой точке твердого тела, в котором происходит процесс теплопроводности.

Коэффициент пропорциональности а в уравнении (8), а также в его частном варианте – одномерном уравнении (7), называется ко-

эффициентом температуропроводности и является физическим па-

раметром вещества. Он существенен для нестационарных тепловых процессов и характеризует скорость изменения температуры. Если коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности а является мерой теплоинерционных свойств тела. Из уравнения (8) следу-

больше, чем больше а. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности. Коэффициент температуропроводности зависит от природы вещества: металлы обладают меньшей тепловой инерционностью в сравнении с жидкостями и газами, поэтому они имеют большие коэффициенты температуропроводности, чем жидкости и газы.

принимает вид уравнения Лапласа:

. (9)

С помощью уравнения (8) можно решить задачу о тепловом состоянии тела, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда. Решение данной задачи можно представить как произведение решений для каждой из неограниченных пластин, толщина которых равна соответствующим измерениям параллелепипеда.

При решении задач теплопроводности для тел сферической формы, когда температура является только функцией времени

и расстояния r от центра (симметричная задача), уравнение теплопроводности (8) примет следующий вид:

10