Материал: Д6768 Аналитическое описание процессаинестационарной теплопроводности

. (10)

Для решения задачи о тепловом состоянии тел цилиндрической формы уравнение (8) выглядит так:

. (11)

С помощью уравнений (10) и (11), содержащих две независимые переменные r и , определяют температурные поля шара или цилиндра. Но задачи по-прежнему являются одномерными, подобными задаче об охлаждении (нагреве) пластины.

Уравнения (7), (10) и (11) удобно записать в виде одного, введя для этого величину Г, называемую постоянной формы, которая для неограниченной пластины равна нулю, для бесконечного цилиндра – единице, для шара – двум:

. (12)

Учитывая аналогию, существующую в математическом описании механизмов переноса, в форме (8) можно записать уравнение нестационарного переноса массы вещества (диффузии):

где с – концентрация вещества, D – коэффициент молекулярной диффузии.

Уравнение, описывающее нестационарное распределение электрического потенциала φ по проводнику, обладающему объѐм-

(Кл/В), записывается в виде

11

. (8″)

Строгий вывод уравнений (8′) и (8″) подтверждает тождественность этих уравнений уравнению теплопроводности (8) с математической точки зрения. Данные и подобные уравнения, описывающие различные нестационарные случаи явлений переноса, называ-

ются уравнениями теплопроводности (диффузии).

3. УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ

Уравнение (6) устанавливает наиболее общую связь между входящими в него переменными, так как при его выводе не принимались во внимание какие-либо конкретные условия процесса. Дифференциальные уравнения выражают связь между изменением температуры в данной точке во времени и ее распределением в пространстве вокруг этой точки.

Коэффициент температуропроводности а является физической константой вещества и характеризует реакцию тела на перераспределение теплоты, т. е. его теплоинерционные свойства: тепловой поток растет с увеличением и уменьшается при возрастании объемной теплоемкости c .

Вторую производную уравнения (7) можно представить в следующем виде:

Отсюда следует, что она определяет интенсивность изменения градиента температуры по направлению оси х и, следовательно, интенсивность изменения потока теплоты в данном направлении. Это характерно для нестационарной теплопроводности.

Для решения задачи о распространении теплоты в твердом теле применительно к конкретному случаю необходимо располагать дополнительными условиями, характеризующими свойства рассматриваемого явления и не содержащимися в исходном дифференциальном уравнении.

12

Условия, которые в совокупности с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, т. е. однозначно определяют единичное явление,

называются условиями однозначности, или краевыми условиями.

Условия однозначности содержат сведения, которые задаются по условию конкретной задачи, а именно:

–геометрические свойства системы (тела);

–физические свойства (физические константы тел рассматриваемой системы);

–временные (начальные) условия, характеризующие состояние системы в начальный момент времени;

–граничные условия, учитывающие условия взаимодействия системы с окружающей средой.

Геометрическими условиями задаются форма и линейные раз-

меры тела, в котором протекает процесс.

Физическими условиями однозначности задаются физические параметры тела (λ, с, ρ и др.) и может быть задан закон распределения внутренних источников теплоты.

Начальные условия необходимы при рассмотрении нестационарных процессов и состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае начальное условие аналитически может быть записано следующим образом (при τ = 0):

При равномерном распределении температуры в теле начальное условие (при = 0) упрощается:

t = t0 = const.

Обычно реальные тела рассматривают как тела основной геометрической формы:

– неограниченная (бесконечная) пластина, под которой пони-

мают такую пластину, ширина и длина которой бесконечно велики по сравнению с толщиной, т. е. неограниченная пластина представляет собой тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями. Изменение температуры происходит только в одном направлении х, перпендикулярном этим плоскостям, в двух других направлениях y и z

13

Следовательно:

–изотермические поверхности представляют собой плоскости, параллельные плоскости yz, тогда задача является одномерной;

–изотермы внутри шара представляют собой концентрические сферы, т. е. температура при термической обработке тела (нагревании или охлаждении) зависит только от радиуса-вектора и времени (симметричная задача);

–если теплообмен между поверхностью неограниченного (бесконечного) цилиндра и окружающими телами происходит одинаково

по всей поверхности, то температура цилиндра будет зависеть только от времени и радиуса (симметричная задача).

Граничные условия

Граничные условия могут быть заданы различными способа-

ми.

Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры поверхности тела как функция времени. В простей-

шем случае температура остается постоянной во всем процессе теплообмена: tп = const. Это может быть осуществлено, например, при искусственном поддержании постоянной температуры.

Граничное условие второго рода. Условие состоит в задании распределения плотности теплового потока на границах тела и еѐ

случай теплообмена имеет место при нагревании тел в высокотемпературных печах, где передача тепла в основном происходит при помощи излучения по закону Стефана–Больцмана, когда температура тела значительно меньше температуры излучающих поверхностей.

Граничное условие третьего рода. В граничных условиях

среды tc и закон теплообмена между поверхностью тела и окружа-

14

ющей средой – по уравнению конвекции Ньютона q = α(tп – tc). Это отражает в первом приближении сложный лучистый и конвективный теплообмен, в котором доля лучистого потока теплоты является пре-

но малой. Задача упрощается, если температура окружающей среды и коэффициент теплоотдачи α постоянны. Если теплообмен между телом и окружающей средой с постоянной температурой происходит

при , то в таком случае граничное условие третьего рода пре-

вращается в граничное условие первого рода в простейшем его виде.

Если , т. е. теплообмен происходит с бесконечно малым

коэффициентом теплообмена, то граничное условие третьего рода превращается в частный случай граничного условия второго рода

, означающего отсутствие потока теплоты через поверхность

тела. Такое условие называется теплоизоляцией.

Граничное условие четвертого рода. Граничное условие чет-

вертого рода соответствует теплообмену поверхности тела с окружающей средой по закону теплопроводности Фурье или теплообмену соприкасающихся твердых тел, когда температура соприкасающихся поверхностей одинакова (идеальный, совершенный тепловой контакт). При обтекании твердого тела потоком жидкости (или газа) передача тепла от жидкости (газа) к поверхности тела в непосредственной близости к поверхности тела (ламинарный пограничный слой или ламинарный подслой) происходит по закону теплопроводности (молекулярный перенос тепла), т. е. имеет место теплообмен, соответствующий граничному условию четвертого рода (равенство температур поверхности тела tn и обтекающего его слоя жидкости (газа)) tc:

Tп(τ) = tc(τ).

Помимо равенства температур имеет место также равенство

потоков тепла, направленных по нормали n к изометрической поверхности:

15