Материал: Д6768 Аналитическое описание процессаинестационарной теплопроводности
После преобразований находим Fо как явную функцию θ и Х:
Fo = |
4 |
, |
(55) |
|
откуда искомое время
4R2 |
(56) |
. |
3. При практических расчетах процесса термической обработки тела (его охлаждения или нагрева) необходимо знать среднюю
температуру t( по всему объему тела V.
Если температура тела t(x, y, z, τ) известна как функция координат и времени, то средняя (интегральная) или среднеобъемная тем-
пература t по всему объему тела вычисляется по известной из курса математического анализа теореме о среднем:
t( |
1 |
. |
(57) |
|
Для неограниченной пластины толщиной 2R из формулы (57) получаем
|
|
1 |
R |
|
|
t( |
, |
(58) |
|||
|
|||||
R
а при симметричном распределении температур
|
|
|
1 R |
|
|
|
t( |
. |
(59) |
||||
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
Для средней относительной |
температуры |
из формулы (58) |
||||
имеем
31
1
. (60)
0
Подставляя в последнюю формулу вместо θ его значение (53) и учитывая, что
1 |
( |
1)n 1 |
||
|
||||
|
(2n |
, |
||
0 |
1) 2 |
|
||
|
|
|
|
|
получим
|
|
|
|
(2n |
|
|
||
t( |
8 |
Fо . |
(61) |
|||||
|
4 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
Члены данного ряда убывают быстрее, чем члены ряда (53). Вычисления показывают, что уже при Fо > 0,1 можно ограничиться только одним членом ряда. В таком случае
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
= |
t |
|
|
e |
|
, |
(62) |
||
|
|
|
4 |
||||||
|
|
t0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а решение обратной задачи на нахождение времени достижения телом необходимой заданной среднеобъемной температуры дает искомое значение
4R2 8 |
. |
(63) |
|
4.Зависимость между средней безразмерной температурой
ибезразмерным временем Fо в виде формулы (61) дает возможность находить скорость нагревания (охлаждения) тела:
d
(2n
. (64)
n 1
32
При n = 1
d |
(Fо > 1). |
(65) |
|
Сравнивая формулы (65) и (62), видим, что при Fо > 1
|
|
d |
. |
|
(66) |
|
|
|
|
|
|||
Так как Fо = |
a |
, скорость нагревания (охлаждения) |
d |
будет |
||
R2 |
d |
|||||
|
|
|
|
|||
прямо пропорциональна коэффициенту температуропроводности и обратно пропорциональна квадрату половины толщины пластины.
6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО РАСХОДА ТЕПЛОТЫ
Существует несколько способов определения количества тепла, отдаваемого телом при его охлаждении. Один из них основан на предварительном определении среднеобъемной температуры.
Если за время τ температура элемента объемом d изменится от t0 до t, то этот элемент при охлаждении отдает количество тепла,
равное с , где с – удельная теплоемкость тела; γ – плот-
ность.
Общее же количество тепла Qv, отдаваемого телом некоторого конечного объема , можно определить по формуле
Qv = с |
, |
(67) |
что при введении средней интегральной температуры по формуле (57) дает величину
Qv = c |
, Дж. |
(68) |
33
Удельный расход теплоты (расход теплоты на единицу объема, Дж/м3) равен
Q = c |
. |
(69) |
Пример
Определить количество теплоты, отданное пластиной объемом
1 м3 при охлаждении, продолжающемся в течение 10 ч, если R = 0,1 м;
a =1 ,4∙10–7 м2/с; t0 = 40 °C; tc = 5 °C; γ =103 кг/м3; с = 3,84∙103 Дж/(кг∙К).
Вычислим число Фурье:
Fо |
a |
|
|
0,5 . |
|
R2 |
10 2 |
||||
|
|
||||
Так как Fо > 0,1, то найдем среднеобъемную температуру по формуле (64):
|
t |
( |
, |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
откуда |
|
. |
t |
По формуле (68) находим искомый расход теплоты:
МДж.
7. СУШКА БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ
Пусть дана неограниченная пластина толщиной 2R и начальным содержанием влаги, равным С0, равномерно распределенным в пластине. Пластина нагревается с обеих сторон одинаково, т. е. подвергается сушке с обеих поверхностей при постоянной скорости (плотности потока массы влаги qc кг/(м2∙с)). Поместим начало координат в середину пластины, тогда R – половина толщины пластины. Ось абсцисс (Ох) перпендикулярна поверхности пластины, ось ординат (Оу) – ось концентрации влаги. Требуется найти распределение влаги по толщине пластины в любой момент времени.
34
Решение поставленной физической задачи сводится математически к решению одномерного дифференциального уравнения диффузии (массо- и влагопроводности)
С(х, |
(–R < х < R, τ > 0) |
(70) |
|
при начальном условии
C(x, 0) = С0 = const |
(71) |
и граничных условиях второго рода
–D |
|
|
|
c 0; |
(72) |
|
|
|
|||
D |
|
|
|
(73) |
|
|
|
||||
где С – концентрация влаги, кг/м3; D – коэффициент молекулярной диффузии, м2/с.
Для решения задачи введем новую переменную q, определяемую соотношением
q = q(x, τ) = D |
|
. |
(74) |
|
Продифференцируем уравнение (70) по x:
= |
|
. |
(75) |
|
Тогда уравнение (75) можно записать так:
= D 
35