Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003
á
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1
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Y t x U
t
dx
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-
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1
0
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t
>
t
1
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1
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<
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t
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ò
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,
t
>
t
1
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1
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t
)
=
Y t x U
t
dx
(
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-
ò
0
1
0
1
t
+ (
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1
–
U
0
)
Y
(
t
–
t
1
) ;
å
)
t
<
t
1
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i
1
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t
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U
m
Y
(
t
) –
Y t x U
x dx
m
(
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sin
-
ò
w
w
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;
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>
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1
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U
m
Y
(
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x dx
m
w
w
(
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-
ò
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1
t
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Íàïðèìåð, äëÿ öåïè âàðèàíòà
à
ïðè íàïðÿæåíèè âèäà
á
èìååì ïðè
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t
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
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r
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æ
è
ç
ç
ö
ø
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÷
é
ë
ê
ê
ù
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ú
ú
-
- -
t
t
t
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5.
Äëÿ öåïè âàðèàíòà
ã
ïåðåõîäíàÿ ïðîâîäèìîñòü
Y
(
t
)
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r
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-
t
, òàê ÷òî ìîæåì çà-
ïèñàòü ïðè
t
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x dx
t x
m
- -
ò
t
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w
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=
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t
w
t
w w
w
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+
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t
e
t
-
ù
û
ú
ú
,
ïðè
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T
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w
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cos
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–
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r
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m
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+
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ò
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t x
w
w
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T
t
è ïðè
t
>
T
/2
i
(
t
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1
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x dx
m
t x
w
w
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- -
ò
cos
0
T
–
U
r
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m
t
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T
t
+
- -
ò
1
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4
2
r
U
e
x dx
m
t x
w
w
t
cos
T
T
–
U
r
e
m
t
2
2
- -
T
t
.
6.
Ïðåäñòàâëÿÿ íàïðÿæåíèå
u
(
t
) íà âõîäå öåïè â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðÿ-
ìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ íàïðÿæåíèÿ àìïëèòóäàìè
u
(
t
) è äëèòåëüíîñòüþ
D
õ
, çà-
ïèøåì òîê, îáóñëîâëåííûé äåéñòâèåì â ìîìåíò âðåìåíè
t
îäíîãî èìïóëüñà íà-
ïðÿæåíèÿ:
i
(
t
)
=
Y
¢
(
t
–
x
)
u
(
x
)
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x
+
Y
(0)
u
(
t
). Çäåñü ïåðâîå ñëàãàåìîå îïðåäåëÿåò
òîê ïðè
t
> 0 ïîñëå îêîí÷àíèÿ äåéñòâèÿ èìïóëüñà, à âòîðîå ñëàãàåìîå — òîê âî
âðåìÿ äåéñòâèÿ èìïóëüñà. Ñóììèðóÿ òîêè îò âñåõ èìïóëüñîâ ïðè
t
> 0 è ïåðåõî-
äÿ ê ïðåäåëó ïðè
D
õ
®
0, ïîëó÷àåì èñêîìîå âûðàæåíèå
i
(
t
)
=
u
(
t
)
Y
(0) +
Y t x u x dx
'
t
(
) ( )
-
ò
0
.
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
513
12.3. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â öåïÿõ
ïðè äåéñòâèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
1.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî öåïü ñîäåðæèò îäèí ðåàêòèâíûé ýëåìåíò è äåéñòâóþùèå íà åå
âõîäå èìïóëüñû èìåþò ïðÿìîóãîëüíóþ ôîðìó, ìîæåì ðåøàòü ðàçíîñòíîå óðàâ-
íåíèå
x
âûõ
[
n
+ 1]
=
x
âûõ
[
n
]exp(
–T
/
t
) +
x
âõ
[
n
](
h
(
T
)
– h
(
T – T
è
))
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[
n
] +
b x
âõ
[
n
],
ãäå
x
âûõ
[
n
+ 1]
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C
[
n
+ 1],
x
âõ
[
n
]
=
U
0
·1[
n
],
h
(
t
) — ïåðåõîäíàÿ õàðàêòåðèñòèêà
öåïè.
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h t
r
r
r
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t
( )
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+
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
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2
1
t
, ãäå
t =
+
r r C
r
r
1 2
1
2
, òî
b
=
h
(
T
)
– h
(
T
–
T
è
)
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r
r
r
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e
T
T
( )
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+
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
-
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1
2
1
t
t
è
.
Ðåøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä
u
C
[
n
]
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e
e
U r
r
r
e
e
e
e
nT
T
T
T
nT
0
0 2
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-
=
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-
-
-
-
-
-
-
t
t
t
t
t
(
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è
-
T
t
.
Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, íàõîäèì
u
C
[
n
]
»
7(
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1
1 25
-
-
e
n
Â. Ïðè äåéñòâèè
íà âõîäå öåïè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìãíîâåííûõ èìïóëüñîâ íàïðÿæåíèÿ ïîñòîÿí-
íîé èíòåíñèâíîñòè ïîëó÷àåì
u n
K
r C
e
e
e
e
C
T
nT
T
n
[ ]
(
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(
)
,
=
-
-
»
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-
-
-
1
1 25
1
1
5 1
t
t
t
B.
2.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç
n
íîìåð èìïóëüñà è íîìåð ïðîìåæóòêà âðåìåíè, ñëåäóþùå-
ãî çà ýòèì èìïóëüñîì.  ìîìåíòû äåéñòâèÿ èìïóëüñîâ òîê ïîëó÷àåò ïðèðàùåíèå
D
i
=
KY
(0)
d
(
t
), ãäå
Y
(0) — ïåðåõîäíàÿ ïðîâîäèìîñòü
Y
(
t
)
=
1 1
r
e
t
(
),
-
- t
íàéäåííàÿ
ïðè
t
=
0 (çäåñü
t =
L
/
r
). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
D
i
=
KY
¢
(0)
=
K
/
L
, ïîëó÷àåì ñîîòíîøå-
íèå, ñâÿçûâàþùåå òîê â öåïè â ìîìåíòû âðåìåíè (
n
– 1)
T
+ 0 è (
n –
1)
T
– 0:
i
[(
n
– 1)
T
+ 0]
=
i
[(
n
– 1)
T
– 0] + +
K
/
L
,
n
=
1, 2, ... Â ïðîìåæóòêå âðåìåíè
n
òîê
â öåïè ðàâåí
i
(
t
)
=
i
[(
n
– 1)
T
+ 0] exp (–
T
/
t
)
=
{
i
[(
n
– 1)
T
– 0] +
K
/
L
} exp (–
t
/
t
),
n
=
1, 2, ...
Òàêèì îáðàçîì, â êîíöå ïðîìåæóòêà âðåìåíè ñ íîìåðîì
n
òîê ðàâåí
i
(
nT
– 0)
=
{
i
[(
n
– 1)
T
– 0] +
K
/
L
} exp (–
T
/
t
).
Òàê êàê
i
(–0)
=
0, òî ìîæåì, ïðèíèìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíî
n
=
1, 2, ..., çàïèñàòü
i
(
T
– 0)
=
(
K
/
L
) exp (–
T
/
t
),
i
(2
T
– 0)
=
(
K
/
L
)[exp (–
T
/
t
) + exp (–2
T
/
t
)],
i
(3
T
– 0)
=
(
K
/
L
) [exp (–
T
/
t
) + exp (–2
T
/
t
) + exp (–3
T
/
t
)], ...
i
(
nT
– 0)
=
=
(
K
/
L
) exp(
-
å
nT
n
t =
(
K
/
L
)[exp (–
T
/
t
)]1
1
-
-
-
-
[exp(
)]
[exp(
)]
nT
T
t
t
,
n
=
0, 1, 2, …
514
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
 íà÷àëå
n
-ãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè òîê â öåïè ðàâåí
i
(
nT
+ 0)
=
i
(
nT
– 0) +
K
/
L
=
(
)
{exp[ (
)
)]}
exp(
)
K L
n
T
T
1
1
1
-
- +
-
-
t
t
.
Çäåñü â âûðàæåíèÿõ äëÿ
i
(
nT
– 0) è
i
(
nT
+ 0) çíà÷åíèå
n
=
0 ñîîòâåòñòâóåò ïåðâî-
ìó èìïóëüñó (ïðè
t
=
0),
n
=
1 — âòîðîìó è ò. ä.
Äëÿ çàäàííûõ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé íàõîäèì
t =
2
×
10
–3
ñ,
K
/
L
=
5
×
10
–3
À
i
(
nT
– 0)
=
2,9
×
10
–3
[1 – exp (–
n
)],
i
(
nT
+ 0)
=
7,9
×
10
–3
{1 – exp [–(
n
+ 1)]}.
 ïðîìåæóòêàõ âðåìåíè ìåæäó èìïóëüñàìè òîê â öåïè
i
(
t
)
=
i
(
nT
+ 0) exp (–
t
/
t
)
=
7,9
×
10
–3
[
]
(
)
1
1
-
- +
-
e
e
n
t
t
(ðèñ. P12.1).
 óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå ïðè
n
® ¥
ïîëó÷àåì
i
(
¥
T
– 0)
=
(
K
/
L
)[exp (–
T
/
t
)][1 – exp (–
T
/
t
)]
–1
=
=
2,9
×
10
–3
À,
i
(
¥
T
+ 0)
=
7,9
×
10
–3
À.
3.
à
)
f
(
z
)
=
1; á)
f
(
z
)
=
(1
+ z
)/
z
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â
)
f
(
z
)
=
(1
+ z + z
2
)/
z
;
ã
)
f
(
z
)
=
z
/(1
+ z
);
ä
)
f
(
z
)
=
z
z
z
(
)
1
1
2
+
+
.
4.
à
)
U z
U
z
z
U
z
z e
U
z
e
z
z e
T
T
T
( )
(
)
(
)(
)
=
-
-
-
=
-
-
-
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0
0
1
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a
a
;
á
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u
(
t
)
=
U
m
sin
w
t
=
U
m
e
e
j
j t
j t
w
w
-
-
2
;
U z
U
j
z
z e
z
z e
U
z
T
z
T
m
j T
j T
m
( )
sin
cos
=
-
-
-
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
-
+
-
2
1 2
w
w
w
w
z
2
;
â
)
U z
aT z
z
z
( )
(
)
(
)
=
+
-
2
3
1
1
.
5.
Èñïîëüçóÿ ðåøåò÷àòóþ ôóíêöèþ
f
[
n
]
=
1, –1, 1, –1, …, ïðåäñòàâèì äåéñòâóþ-
ùåå íà âõîäå öåïè íàïðÿæåíèå â âèäå
u
[
n
]
=
U
0
f
[
n
],
z
-èçîáðàæåíèå êîòîðîãî
U
(
z
)
=
U
0
z
/(1
+ z
) (ñì. ðåøåíèå óïð. 3, âàðèàíò
ã
).
Çàïèñûâàÿ âûðàæåíèå äëÿ ïåðåõîäíîé ïðîâîäèìîñòè
Y t
i t
U
r
e
L
t
( )
( )
(
)
=
=
-
-
0
1
1 1
t
,
íàõîäèì:
h t
r
e
r
e
r
e
t
t T
T
è
è
è
( )
(
)
=
-
-
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ =
-
æ
-
- -
-
1 1
1 1
1
1
1
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1
t
t
t
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
e
t
t
,
h n
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e
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T
è
è
è
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( )
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-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
1
1
1
1
1
1
t
t
t
÷
-
-
e
z e
T
T
t
t
1
.
Èñêîìûé òîê èìååò ñâîèì
z
-èçîáðàæåíèåì ôóíêöèþ
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
515
Ðèñ. P12.1
I
L
(
z
)
=
H
è
(
z
)
U
(
z
)
=
U
r
e
e
z
z
z e
T
T
T
0
1
1
1
è
t
t
t
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+
-
-
-
(
)(
)
,
êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò ðåøåò÷àòàÿ ôóíêöèÿ
i n
U
r
e
e
e
e
L
T
T
n
T
T
[ ]
( )
=
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
+
+
-
-
-
0
1
1
1
1
1
è
t
t
t
t
,
êîðíè ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ
I
L
(
z
) ðàâíû
z
1
=
–
1
, z
e
T
2
=
-
è
t
,
G
(
z
1
)
=
–
1
, G
(
z
2
)
=
e
T
-
t
,
H z
e
T
¢
= - +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
( )
1
1
t
,
H z
e
T
¢
= +
-
( )
2
1
t
.
Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷àåì
i
L
[
n
]
»
0
,
83(
–
1)
n –
1
+
0
,
83
e
–
2
,
4
n
À.
13.1. Óðàâíåíèÿ è ñèñòåìû ïàðàìåòðîâ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ
ÂÎÏÐÎÑÛ
7.
Òàê êàê ëþáàÿ èç ïàð âåëè÷èí
&
U
1
,
&
I
1
,
&
U
2
,
&
I
2
ìîæåò âõîäèòü â ëåâóþ (ëèáî ïðà-
âóþ) ÷àñòü óðàâíåíèé ÷åòûðåõïîëþñíèêà, òî ïîëíîå ÷èñëî âàðèàíòîâ óðàâíå-
íèé, èëè, ÷òî òî æå, ñèñòåì ïàðàìåòðîâ ÷åòûðåõïîëþñíèêà ðàâíî ÷èñëó ñî÷å-
òàíèé èç ÷åòûðåõ ýëåìåíòîâ ïî äâà, ÷òî ñîñòàâëÿåò 6. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåí-
íûìè ÿâëÿþòñÿ ñèñòåìû
A-
,
Z-
,
Y-
è
H
-ïàðàìåòðîâ.
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
3.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïàðàìåòðîâ ÷åòûðåõïîëþñíèêà ìîæíî:
à
) çàïèñàòü óðàâíå-
íèÿ çàêîíîâ Êèðõãîôà è ïîñëå èõ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðèðàâíÿòü êîýôôèöèåíòû
ïðè âåëè÷èíàõ
&
U
,
&
I
ê ñîîòâåòñòâóþùèì ïàðàìåòðàì;
á
) íàéòè ñîïðîòèâëåíèÿ ÷å-
òûðåõïîëþñíèêà â ðåæèìàõ õîëîñòîãî õîäà è êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ è, èñïîëüçóÿ
èçâåñòíûå ñîîòíîøåíèÿ, ðàññ÷èòàòü èñêîìûå âåëè÷èíû.
Ïðåäñòàâèì ÷åòûðåõïîëþñíèêè âàðèàíòà
à
â âèäå êàê íà ðèñ. P13.1.
Çàïèñàâ óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Êèðõãîôà
&
U
1
=
&
U
2
+
&
I
2
Z
, ñ ó÷åòîì
ñîîòíîøåíèÿ
&
I
1
=
&
I
2
, íàéäåì
A
=
1,
B
=
Z,
C
=
0,
D
=
1. Ìàòðèöà
À
-ïà-
ðàìåòðîâ ñóòü
A
=
1
0 1
Z
.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ
Y
-ïàðàìåòðîâ çàïèøåì óðàâíåíèÿ â âèäå
&
&
&
I
Z
U
Z
U
2
1
2
1
1
=
-
,
&
&
&
I
Z
U
Z
U
1
1
2
1
1
=
-
, îòêóäà íàõîäèì
Y
=
-
-
1 1
1
1
1
Z
.
Çàïèñûâàÿ âõîäÿùåå â ìàòðèöû
A
,
Y
ñîïðîòèâëåíèå
Z
â êîìïëåêñíîé ôîðìå, ìî-
æåì íàéòè èñêîìûå ïàðàìåòðû êàæäîãî èç ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ âàðèàíòà
à
.
516
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
Ðèñ. P13.1
Äëÿ öåïåé âàðèàíòà
á
(ðèñ. P13.2) èç óðàâíåíèé çàêîíîâ Êèðõ-
ãîôà
&
U
1
=
&
U
2
,
&
&
&
I
Z
U
I
1
2
2
1
=
+
ïîëó÷àåì
A
=
1 0
1
Y
.
Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèé ê âèäó
&
U
1
=
&
I
1
Z
–
&
I
2
Z
,
&
&
&
U
I Z I Z
2
1
2
=
-
íàõîäèì
Z
=
-
-
1 1
1
1
1
Y
.
Äëÿ öåïåé âàðèàíòà
â
(ðèñ. P13.3) èç óðàâíåíèé çàêîíîâ Êèðõãîôà
&
I
1
=
&
I
0
+
&
I
2
,
&
U
1
=
&
I
1
Z
+
&
U
2
,
&
U
2
=
1
0
Y
I
&
íàõîäèì âûðàæåíèÿ
&
U
1
=
&
U
2
(1 + 2
Y
) +
&
I
2
Z
,
&
I
1
=
&
U
2
Y
+
&
I
2
,
èç êîòîðûõ ñëåäóåò:
A
=
+
1
1
ZY Z
Y
.
Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèé çàêîíîâ Êèðõãîôà ê âèäó
&
I
1
=
1
1
Z
U
&
– 1
2
Z
U
&
,
&
I
2
=
1
1
Z
U
&
– 1
Z
Y
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
&
U
2
íàõîäèì
Y
-ïàðàìåòðû:
Y
=
-
-
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
1
1
1
1
Z
Z
Z
Z
Y
.
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì ìàòðèöó
Z
=
+
-
-
Z
Y
Y
Y
Y
1
1
1
1 .
Äëÿ íàõîæäåíèÿ
H
-ïàðàìåòðîâ ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèÿ çàêîíîâ Êèðõãîôà ê âè-
äó
&
U
1
=
&
I
1
Z
+
&
U
2
,
&
I
2
=
&
I
1
–
&
U
2
Y
. Ìàòðèöà
H
-ïàðàìåòðîâ
H
=
-
Z
Y
1
1
.
Äëÿ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ âàðèàíòà
à Z
-ïàðàìåòðû íå ñóùåñòâóþò, íå ñóùåñòâóåò
òàêæå
Y
-ïàðàìåòðîâ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ âàðèàíòà
á
.
ÇÀÄÀ×È
1.
À
-ïàðàìåòðû ñèììåòðè÷íîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà ìîæíî íàéòè èç ñîîòíîøå-
íèé
Z
B A
1ê
=
,
Y
10
=
Y
C A
10
=
,
A
2
–
BC
=
1 (
Z
1ê
— âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå â ðåæèìå
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
517
Ðèñ. P13.3
Ðèñ. P13.2