Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003
Y
=
+
+
+
-
+
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
+
+
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
Z
Z Y
Z
Z Y
Z
Z
Z Y
Z
Z
Z Y
Z
Z Y
Z
Z Y
1
2
2
1
1
1
2
1
1
2
-
+
+
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
.
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü ðåøåíèÿ è äëÿ âàðèàíòîâ
ä
è
å
.
×åòûðåõïîëþñíèê âàðèàíòà
æ
ïðåäñòàâëÿåì â âèäå äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíî ñî-
åäèíåííûõ Ò-îáðàçíûõ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ (ðèñ. P13.7), ìàòðèöû
Z
-ïàðàìåòðîâ
êîòîðûõ ñêëàäûâàåì:
Z
=
+
-
-
+
+
+
-
-
+
=
+
+
Z
Y
Y
Y
Z
Y
Z
Y
Y
Y
Z
Y
Z
Z
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
Y
Y
Y
Z
Z
Y
-
-
-
+
.
13.5. Ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ
ÂÎÏÐÎÑÛ
2.
Ïåðåõîäÿ ê îïåðàòîðíûì èçîáðàæåíèÿì âõîäÿùèõ â äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâ-
íåíèå âõîäíîé è âûõîäíîé âåëè÷èí è ïðèíèìàÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ íóëåâûìè,
ïîëó÷àåì â îáùåì ñëó÷àå óðàâíåíèå
(
a
n
p
n
+
a
n
–1
p
n
–1
+ ... +
a
0
)
X
2
(
p
)
=
(
b
m
p
m
+
b
m
–1
p
m
–1
+ ... +
b
0
)
X
1
(
p
),
èç êîòîðîãî íàõîäèì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ
K
(
p
)
=
X p
X p
2
1
( )
( )
=
b p
b p
b
a p
a p
a
m
m
m
m
n
n
n
n
+
+ +
+
+ +
-
-
-
-
1
1
0
1
1
0
K
K
.
4.
Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ
K
(
ð
) öåïè ñîâïàäàåò ñ îïåðàòîðíûì èçîáðàæåíèåì
X
âûõ
(
ð
)
ñèãíàëà
x
âûõ
(
t
), åñëè
X
âõ
(
ð
)
=
1. Òàê êàê îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå
X(ð
)
=
1 èìååò
d
-ôóíêöèÿ, òî, ñëåäîâàòåëüíî, ñèãíàë
x
âûõ
(
t
) ÿâëÿåòñÿ èìïóëüñíîé õàðàêòåðè-
ñòèêîé öåïè, à åå îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå — ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé öåïè.
6.
Âûðàæåíèå
K p
U p
U p
1
1
2
( )
( )
( )
=
, îáðàòíîå ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè
K p
U p
U p
( )
( )
( )
=
2
1
֌-
òûðåõïîëþñíèêà, íå ÿâëÿåòñÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé öåïè, âõîäíîå âîçäåéñò-
âèå â êîòîðîé ïðèëîæåíî ê âûõîäíûì çàæèìàì
2
–
2
öåïè, à âûõîäíîé ñèãíàë
îïðåäåëÿåòñÿ íà âõîäíûõ çàæèìàõ
1
–
1
. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè
öåïè ïðè çàìåíå ìåñòàìè åå âõîäíûõ è âûõîäíûõ çàæèìîâ ñëåäóåò, ïðèêëàäûâàÿ
èìïóëüñíîå âîçäåéñòâèå ê âûõîäíûì çàæèìàì, íàéòè îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå
ðåàêöèè öåïè íà åå âõîäå.
7.
Âåùåñòâåííîìó êîðíþ ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè
K
(
ð
) ïàñ-
ñèâíîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèå àðãóìåíòà
D
arg
K
(
j
w
)
àìïëèòóäíî-ôàçîâîé ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè
K
(
j
w
) öåïè íà óãîë – 0,5
p
ïðè èç-
ìåíåíèè ÷àñòîòû
w
îò 0 äî
¥
, à ïàðå ñîïðÿæåííûõ êîìïëåêñíûõ êîðíåé — íà óãîë
–
p
. Åñëè ïîðÿäîê ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ ðàâåí
n
, òî
D
arg
K
(
j
w
) ñîñòàâèò –0,5
p
n
.
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
523
Àíàëîãè÷íî, âåùåñòâåííîìó êîðíþ ïîëèíîìà ÷èñëèòåëÿ ôóíêöèè
K
(
ð
), ëåæà-
ùåìó â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè, ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèå
D
arg
K
(
j
w
) íà óãîë 0,5
p
,
à ïàðå ñîïðÿæåííûõ êîìïëåêñíûõ êîðíåé — íà óãîë
p
. Åñëè
m
1
êîðíåé ïîëèíîìà
÷èñëèòåëÿ ëåæàò â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè, à
m
2
êîðíåé — â ïðàâîé, òî ïðè èçìåíåíèè
÷àñòîòû îò 0 äî
¥
èçìåíåíèå ôóíêöèè arg
K
(
j
w
) ñîñòàâèò 0,5(
m
1
–
m
2
)
p
. Òàêèì
îáðàçîì, ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû îò 0 äî
¥
ïîëó÷àåì
D
arg
K
(
j
w
)
=
0,5(
m
1
–
m
2
–
n
)
p
.
Ïîñêîëüêó
n
=
5,
m
1
+
m
2
=
4, 0,5(
m
1
–
m
2
–
n
)
p =
–2,5
p
, òî ÷èñëî
m
2
íóëåé ïîëèíî-
ìà ÷èñëèòåëÿ, ëåæàùèõ â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè:
m
2
=
2.
8.
Åñëè íóëè ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ëåæàò â ëåâîé ïîëó-
ïëîñêîñòè, òî ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû
w
îò 0 äî
¥
èìååì
D
arg
K
(
j
w
)
=
–4,5
p
+
+ 0,5
p
m
=
–3
p
, åñëè ÷åòûðåõïîëþñíèê ìèíèìàëüíî-ôàçîâûé. Ïîñêîëüêó çàäàíî
çíà÷åíèå
D
arg
K
(
j
w
)
=
–4
p
, òî îäèí íóëü ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ ëåæèò â ïðàâîé
ïîëóïëîñêîñòè è, ñëåäîâàòåëüíî, ÷åòûðåõïîëþñíèê íå ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíî-
ôàçîâûì.
9.
Ñ òî÷êè çðåíèÿ òåõíîëîãèè èçãîòîâëåíèå êîíäåíñàòîðîâ äëÿ íèçêîâîëüòíûõ
óñòðîéñòâ ìàëîé ìîùíîñòè, â êîòîðûõ íàõîäÿò ïðèìåíåíèå äèôôåðåíöèðóþ-
ùèå è èíòåãðèðóþùèå
rL
- è
rC
-öåïè, ñóùåñòâåííî ïðîùå, ÷åì êàòóøåê èíäóê-
òèâíîñòè. Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè â ðÿäå ñëó÷àåâ çàìåíÿþò
òàêèìè ýëåêòðè÷åñêèìè öåïÿìè, ñîäåðæàùèìè ðåçèñòîðû, óñèëèòåëè è êîíäåí-
ñàòîðû, â êîòîðûõ íàïðÿæåíèå è òîê íà èõ âõîäå ñâÿçàíû òàêèì æå ñîîòíîøåíè-
åì, ÷òî è â êàòóøêàõ èíäóêòèâíîñòè.
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
1.
Z
-ïàðàìåòðû ÷åòûðåõïîëþñíèêà, êîòîðûé ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê Ã-îáðàçíîå
çâåíî (ðèñ. P13.8), íàõîäèì, ïîëüçóÿñü ñîîòíîøåíèÿìè
Z
11
=
Z
10
,
Z
22
=
–
Z
20
,
Z
Z
Z Z
12
11
22
= -
-
(
)
1ê
:
Z
11
=
Z
1
+
Z
2
,
Z
22
=
–
Z
21
,
Z
12
=
–
Z
2
,
Z
21
=
Z
2
.
Ðàññìàòðèâàÿ
Z
-ïàðàìåòðû êàê ôóíêöèè îïåðàòîðà
ð
, èñïîëüçóåì äëÿ íàõîæäå-
íèÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè âûðàæåíèå
K p
U p
U p
Z p Z
p
Z p Z
p
Z p Z
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
=
-
2
1
21
11
11
22
ïð
ïð
( )
( )
( )
p
Z p Z p
+
=
12
21
=
+
é
ë
ê
ù
û
ú
+
Z
p
Z p
Z p
Z
p
Z p
ïð
ïð
( )
( )
( )
( )
( )
.
1
1
2
1
Âàðèàíòû:
à
)
K p
p LC prC
( )
=
+
+
1
1
2
;
á
)
K p
r
pL r
( )
;
=
+
2
â
)
K p
prC r
( )
;
=
+
1
ã
)
K p
pL
pL r
( )
;
=
+
2
ä
)
K p
rCp
rCp
( )
.
=
+
2
2.
Âàðèàíò
à
:
X
1
(
p
)
=
U
p
0
,
X
2
(
p
)
=
I
p
0
- a
,
K p
I
U
p
p
( )
.
=
-
0
0
a
524
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
Ðèñ. P13.8
Âàðèàíò
á
:
X
1
(
p
)
=
U
p
0
,
X
2
(
p
)
=
U
p p
0
a
a
(
)
+
,
K p
p
( )
.
=
+
a
a
Âàðèàíò
â
:
X
1
(
p
)
=
I
p
m
1
2
2
w
w
+
,
X
2
(
p
)
=
I
p
p
m
2
2
2
+ w
,
K p
I
I
p
m
m
( )
.
=
2
1
w
3.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ àìïëèòóäíîé è ôàçîâîé ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê âûïîë-
íÿåì çàìåíó
ð
®
j
w
â âûðàæåíèè äëÿ
K
(
p
) è âûäåëÿåì ìîäóëü
|
K
(
j
w) |
è àðãóìåíò
arg
K
(
j
w
):
âàðèàíò
à
K
(
j
w
)
=
I
U
j
j
0
0
w
w a
-
=
I
U
j
0
0
2
2
2
w
aw
w
a
-
+
,
K
(
w
)
= |
K
(
j
w
)
| =
I
U
0
0
2
2
w
w
a
+
,
j (w
)
=
–arctg
a
w
,
âàðèàíò
á K
j
j
( )
(
)
w
a
a
w
a a
w
a + w
a
a + w
=
+
=
-
=
2
2
2
2
,
j (w
)
=
arctg
- w
a
,
âàðèàíò
â K
(
w
)
=
I
I
m
m
2
1
,
j
(
w
)
= p
2
.
5.
Èñïîëüçóÿ ñõåìó çàìåùåíèÿ óñèëèòåëÿ (ðèñ. P13.9,
à
), ïîëó÷àåì äëÿ âàðèàí-
òà
à
ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. P13.9,
á
.
Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå ìåòîäà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé äëÿ óçëà
à
è ó÷èòûâàÿ ñîîò-
íîøåíèå
U
âûõ
(
p
)
=
kU
a
(
p
), ïîëó÷àåì ïîñëå ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé èñêîìóþ ïå-
ðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ:
U p
Z p
Z p
U p
Z p
U p
Z p
a
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
0
1
2
1
1
2
+
é
ë
ê
ù
û
ú -
-
=
2
,
K p
U p
U p
kZ p
Z p
Z p
kZ p
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
.
=
=
+
-
2
1
2
1
2
1
Ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ
k
óñèëèòåëÿ èìååì
K p
Z p
Z p
( )
( )
( )
= -
2
1
.
Ïðè
Z
1
(
p
)
=
r
,
Z
2
(
p
)
=
1
Cp
ïîëó÷àåì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ
K
(
p
)
=
– 1
rCp
, êîòî-
ðàÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. P13.10,
à
ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü îáëàäàåò
ñâîéñòâîì èíòåãðèðîâàíèÿ ïîäàâàåìîãî íà åå âõîä ñèãíàëà.
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
525
Ðèñ. P13.9
Åñëè
Z
1
(
p
)
=
1
Cp
,
Z
2
(
p
)
=
r
(ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòèì ýëåìåíòàì ýëåêòðè÷åñêàÿ
öåïü èçîáðàæåíà íà ðèñ. P13.10,
á
), òî ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ öåïè ïðèíèìàåò
âèä
K
(
p
)
=
–
rCp
. Êàê âèäíî, íàïðÿæåíèå íà âûõîäå öåïè ïðîïîðöèîíàëüíî
ïðîèçâîäíîé âõîäíîãî íàïðÿæåíèÿ, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î âîçìîæíîñòè åå èñ-
ïîëüçîâàíèÿ â êà÷åñòâå äèôôåðåíöèðóþùåé öåïè.
Çàìåíÿÿ óñèëèòåëü ýëåêòðè÷åñêîé öåïè âàðèàíòà
ã
åãî ñõåìîé çàìåùåíèÿ
(ðèñ. P13.11) è çàïèñûâàÿ óðàâíåíèÿ ìåòîäà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé äëÿ óçëîâ
à
,
b
U p C p
r
r
U p C p U p
r
U p
r
a
b
( )
( )
( )
( )
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
+ +
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ -
-
-
2
0
=
,
U p C p
r
U p
r
b
a
( )
( )
,
2
2
2
1
1 0
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ -
=
ïîëó÷àåì ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ
K p
kT p
T T p
T
T
C r p
k
( )
(
)
,
=
+
+
+
+ -
1
1 2
2
1
2
2 1
1
T
1
=
r
1
C
1
,
T
2
=
r
2
C
2
.
Ïðèìåíÿÿ àíàëîãè÷íûé ïîäõîä äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è âàðèàíòà
ä
(ðèñ. P13.12)
è çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå ìåòîäà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé
U p
r
C p
r
C p
U p
r
C p
U
a
( )
( )
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
2
+
+
+
æ
è
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
-
+
-
( )
,
p
r
C p
1
0
2
2
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ =
ïîëó÷àåì, ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå
U
2
(
p
)
=
kU
a
(
p
), èñêîìóþ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíê-
öèþ
K p
C r kp
k T T p
p
k T
T
C r
k
( )
(
)
[(
)(
)
]
,
=
-
+
-
+
+
+ -
1 2
1 2
2
1
2
1 2
1
1
1
T
1
=
r
1
C
1
,
T
2
=
r
2
C
2
.
526
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
Ðèñ. P13.10
Ðèñ. P13.11
Ðèñ. P13.12
Ðèñ. P13.13
Ðèñ. P13.14
6.
Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü âàðèàíòà
á
ñî ñõåìîé çàìåùåíèÿ óñèëèòåëÿ èçîáðàæåíà
íà ðèñ. P13.13.
Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå ìåòîäà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé äëÿ óçëà
3
U p
r
r
U p
r
3
1
2
2
1
1
1
1 0
( )
( )
,
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ -
=
è ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå
U
2
(
p
)
=
k
[
U
3
(
p
) –
U
1
(
p
)], ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé íàõî-
äèì âûðàæåíèå
K p
U p
U p
r
r k
kr
r
r
( )
( )
( )
(
)
=
=
+
- -
2
1
1
2
2
1
2
, êîòîðîå ïðè
k
® ¥
ïåðåõîäèò â èñêî-
ìîå:
K
(
p
)
=
r
r
r
1
2
2
+
.
Íà ðèñ. P13.14 èçîáðàæåíà ñõåìà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè âàðèàíòà
â
, â êîòîðîé óñè-
ëèòåëü ïðåäñòàâëåí åãî ñõåìîé çàìåùåíèÿ.
Óðàâíåíèÿ ìåòîäà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, çàïèñàííûå äëÿ óçëîâ
à
è
â
U p
r
C p
U p
r
a
b
( )
( )
,
1
1 0
2
2
2
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ -
=
U p
r
r
r
C p
b
( ) 1
1
1
1
2
3
1
+
+
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ -
U p
r
U p
r
U p C p
a
1
( )
( )
( )
1
1
0
1
2
2
1
-
-
=
è äîïîëíåííûå óðàâíåíèåì
k U p U p
U p
a
[ ( )
( )]
( ),
2
2
-
=
êîòîðîå ïðè
k
® ¥
ïåðåõî-
äèò â ñîîòíîøåíèå
U
2
(
p
)
=
U
a
(
p
), ïîçâîëÿþò íàéòè ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ
K p
U p
U p
r r C C p
C p r
r
r r
r
( )
( )
( )
=
=
+
+ +
æ
è
çç
ö
ø
÷
2
1
1 2 1 2
2
2
1
2
1 2
3
1
÷ +
+
r
r
1
3
1
.
ÇÀÄÀ×È
1.
Äëÿ âàðèàíòà
ã
èìååì:
Z
11
=
Z
10
=
Z
20
=
1
1
2
Cp
r
Cp
r
Cp
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
+
=
p
p p
+
+
1
2
(
)
,
Z
21
=
-
Z
Z
Z
k
20
10
1
(
)
=
+
1
2
p p
(
)
,
Z
1ê
=
r
Cp
r
Cp
1
1
+
=
1
1
p
+
,
K p
Z r
Z r Z Z
Z Z
U
( )
=
-
+
21
11
11 22
12
21
=
1
2
p
+
.
Çàìåíÿÿ îïåðàòîð
ð
íà
j
w
, íàõîäèì ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè öåïè:
K
U
(
j
w) =
1
2
+
j
w
=
2
4
2
-
+
j
w
w
,
K
U
(
w
)
=
1
4
2
+ w
,
a
(
w
)
=
arctg (–0,5
w
).
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
527