Документ: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003, страницы 61-65

ëÿåò ýëåìåíò ìàòðèöû

A

, ðàâíûé +1 (íàïðèìåð, äëÿ âåòâè

5

íà÷àëüíûé óçåë â

òàáë. 9.2 ñîâïàäàåò ñ óçëîì

1

; ñëåäîâàòåëüíî, ýëåìåíò

a

15

ìàòðèöû

A

ðàâåí +1).

Êîíå÷íûé óçåë â òàáë. 9.2 äëÿ äàííîé âåòâè õàðàêòåðèçóåò ýëåìåíò ìàòðèöû

A

,

ðàâíûé –1 (íàïðèìåð, äëÿ âåòâè

4

êîíå÷íûé óçåë â òàáë. 9.2 ñîâïàäàåò ñ óçëîì

3

;

ñëåäîâàòåëüíî, ýëåìåíò

a

34

ìàòðèöû

A

ðàâåí –1). Çàìåòèì, ÷òî íîìåðà ñòîëáöîâ

ìàòðèöû

A

àíàëîãè÷íû íîìåðàì ñîîòâåòñòâóþùèõ âåòâåé íîðìàëüíîãî ãðàôà.

Èìååò ñìûñë ïðîèçâåñòè ïåðåíóìåðàöèþ âåòâåé òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íîìåðà

ñòîëáöîâ ìàòðèöû

A

ñ 1 äî

l

ñîâïàäàëè ñ íîâûìè íîìåðàìè âåòâåé íîðìàëüíîãî

ãðàôà. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðîèçâåñòè ïåðåíóìåðàöèþ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

âåòâè

10

ïðèñâîèòü ïîðÿäêîâûé íîìåð

1

(10

®

1), âåòâè

5

— ïîðÿäêîâûé íîìåð

2

(5

®

2) è ò. ä.: 6

®

3, 1

®

4, 4

®

5, 9

®

6, 3

®

7, 8

®

8, 2

®

9, 7

®

10. Òàêóþ

ïåðåíóìåðàöèþ ñëåäóåò ïðîèçâåñòè äëÿ èñêëþ÷åíèÿ ïóòàíèöû â îáîçíà÷åíèÿõ

ìàòðèö

A

,

C

,

D

è ïåðåõîäà ê ïðèâû÷íîìó ñïîñîáó ñ÷åòà íîìåðîâ ñòðîê è ñòîëá-

öîâ ìàòðèö (

a

ij

áóäåò õàðàêòåðèçîâàòü ýëåìåíò ìàòðèöû

A

, ïðèíàäëåæàùèé

i

-é

ñòðîêå è

j

-ìó ñòîëáöó).

Ñèñòåìó óðàâíåíèé

Cu

=

0

è

Di

=

0

ìîæíî çàïèñàòü â ðàçâåðíóòîì âèäå:

Cu

F 1

u

Fu

u

0

u

Fu

=

+

=

= -

ä

ñ

ä

c

ä

èëè

;

Di

1 F

i

F i

0

i

F i

=

-

=

-

=

t

ä

ñ

ä

ñ

ä

ñ

èëè

;

Óðàâíåíèÿ äëÿ ïîäìàòðèö òîêîâ è íàïðÿæåíèé

i

i i i

u

u u u u

c

= ÁÁ

=

Á

L

G

C

t

L

G

C

t

;

i

i i i

i

u

u u u

u

ä

=

E

Ñ

R

L

t

E

C

R

L

t

;

ìîæíî çàïèñàòü â ðàçâåðíóòîì âèäå ÷åðåç ìàòðèöó

F

:

u

F u

Á

= -

-

ñ

ä

E

C

R

L

;

(1)

u

F u

L

LE

E

LC

C

LR

R

LL

L

ñ

ä

= -

-

;

(2)

u

F u

G

GE

E

GC

C

GR

R

c

ä

= -

-

;

(3)

u

F u

C

CE

E

CC

C

c

ä

= -

-

;

(4)

i

F

F i

E

t

LE

t

L

GE

t

G

CE

t

C

ä

c

=

Á

Á +

+

Á

;

(5)

i

F

F i

Ñ

C

t

LC

t

L

GC

t

G

CC

t

C

ä

c

=

Á

Á +

+

Á

;

(6)

i

F

F i

R

t

LR

t

L

GR

t

G

ä

c

=

Á

Á +

+

Á

;

(7)

i

F

F i

L

t

LL

t

L

ä

c

=

Á

Á +

Á

.

(8)

Ñîãëàñíî ïîñëåäíåìó ñîîòíîøåíèþ è çàêîíó ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè,

ïðè íàëè÷èè âçàèìíîé èíäóêòèâíîé ñâÿçè ìåæäó âñåìè êàòóøêàìè èíäóêòèâ-

íîñòè ìîæíî çàïèñàòü

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì

63

u

L

i

L

d

dt

d

dt

ä

ñ

ä,ä

ä,c

c, ä

c,c

ä

c

ä,ä

ä,c

c,ä

c

=

,c

c

F

F i

i

L

t

LL

t

L

Á

ÁÁ +

ì

í

ï
îï

ü

ý

ï
þï

,

(9)

ãäå

i

L

ä

,

u

L

ä

— ïîäìàòðèöû òîêîâ è íàïðÿæåíèÿ èíäóêòèâíûõ êàòóøåê, âîøåäøèõ

â äåðåâî ãðàôà;

i

L

c

,

u

L

c

— ïîäìàòðèöû òîêîâ è íàïðÿæåíèÿ êàòóøåê èíäóêòèâíî-

ñòè ýëåìåíòîâ, âîøåäøèõ â ïîäãðàô ñâÿçåé.

Òàêæå, ñîãëàñíî âûðàæåíèþ äëÿ òîêîâ ÷åðåç êîíäåíñàòîðû, ïîëó÷àåì

i

C

0

C

u

C

d

dt

ä

ñ

ä

c

ä

c

=

.

(10)

Äëÿ ðåçèñòèâíûõ ýëåìåíòîâ

i
i

G

0

R

u
u

G

R

G

R

d

dt

ä

ñ

ä

c

–1

ä

c

=

èëè

u
u

G

0

R

i
i

G

R

G

R

d

dt

ä

ñ

ä

–1

c

ä

c

=

.

(11)

Åñëè êàæäûé èç ïîäãðàôîâ ðåçèñòèâíûõ âåòâåé, âõîäÿùèõ â äåðåâî èëè ïîä-

ãðàô ñâÿçåé, ñîäåðæèò óïðàâëÿåìûå íàïðÿæåíèåì èñòî÷íèêè òîêà, òî îíè ìîãóò

áûòü ó÷òåíû â ìàòðèöàõ

G

ä

è

R

ñ

. Íàïðèìåð, åñëè â

i

-é ðåçèñòèâíîé âåòâè, âõîäÿ-

ùåé â äåðåâî, èìååòñÿ èñòî÷íèê òîêà

Á

Á =

i

ij j

g u

, óïðàâëÿåìûé íàïðÿæåíèåì

j

-é

ðåçèñòèâíîé âåòâè äåðåâà

u

j

, òî ñîîòâåòñòâóþùèé ýëåìåíò

g

ij

ìàòðèöû

G

ä

ðàâåí

g

ij

.

(Çàìåòèì, ÷òî

g

ij

=

0, åñëè â âåòâè

i

îòñóòñòâóåò óïðàâëÿåìûé íàïðÿæåíèåì

u

j

èñ-

òî÷íèê òîêà.) Òî÷íî òàê æå, åñëè â ïîäãðàôå ñâÿçåé ñîäåðæèòñÿ óïðàâëÿåìûé íà-

ïðÿæåíèåì ñâÿçè

u

s

èñòî÷íèê òîêà

Á

q

=

g

sq

u

s

, òî åãî ìîæíî ó÷åñòü äîáàâëåíèåì

â ïîäìàòðèöó

G

c

ýëåìåíòà

g

sq

. Ïóòåì âçàèìíûõ ýêâèâàëåíòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé

èñòî÷íèêîâ òîêà è ÝÄÑ ìîæíî ó÷åñòü âñå âèäû çàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ. Ïðè íà-

ëè÷èè èñòî÷íèêîâ òîêà, óïðàâëÿåìûõ íàïðÿæåíèåì âåòâåé äåðåâà, ïîñëåäíåå âû-

ðàæåíèå èìååò âèä

i
i

G

u
u

G

R

G

R

d

dt

ä

ñ

ä,ä

ä,ñ

ñ,ä

ñ,ñ

ä

c

=

èëè

u
u

G

i
i

G

R

G

R

d

dt

ä

ñ

ä,ä

ä,ñ

ñ,ä

ñ,ñ

ä

c

=

.

Äëÿ óïðîùåíèÿ äàëüíåéøèõ âûêëàäîê ïðåäïîëîæèì, ÷òî â öåïè óïðàâëÿå-

ìûå èñòî÷íèêè òàêîâû, ÷òî èõ ìîæíî ó÷åñòü â ïîäãðàôàõ

G

ä,ä

=

G

ä

,

G

ñ,ñ

=

G

ñ

, (

G

ä,ñ

=

G

ñ,ä

=

0).

Â ñèñòåìå (1)—(8) äèôôåðåíöèàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿ (2) è (6). Äëÿ

íèõ

d

dt

C

t

LC

t

L

GC

t

G

CC

t

C

u

F

F i

c,ä

ñ,ä

c

=

ÁÁ +

+

Á

;

(12)

d

dt

L

LE

E

LÑ

Ñ

LR

R

LL

L

L i

F u

ñ,ä

ä

ñ,c

c

ä

+

= -

-

.

(13)

Ñîãëàñíî (3) è (7)

G u

F

F i

F G

F u

F u F u

ä

c

ä

R

t

LR

t

L

GR

t

GE

E

GC

C

GR

R

=

Á

Á +

+

-

Á

(

);

u

G

F G F

F

F i

F G F u

R

GR

t

GR

R

t

LR

t

L

GR

t

GE

E

+

ä

c

ä

=

Á

Á +

-

Á

(

) (

–1

F G F u

GR

t

GC

C

c

ä

);

64

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

R i

F u

F R F

F i

c

ä

c

G

GE

E

GC

C

GR

R

t

LR

t

L

GR

t

G

= -

-

Á

Á +

+

Á

(

);

(14)

i

R

F R F

F u

F R F

F

G

GR

t

GE

E

GÑ

Ñ

GR

R

t

c

ä

c

=

+

-

ÁÁ -

Á

(

) (

–1

GR

LR

t

L

R F i

ä

c

). (15)

Èç (8) è (9), à òàêæå (4) è (10) ñëåäóåò

u

L

F

F i

L i

L

t

LL

t

L

d

dt

ä

ä,ä

ñ

äñ

ä

=

ÁÁ +

+

Á

[

(

)

];

(16)

i

C u

C

F u

C

CE

E

CC

C

d

dt

d

dt

c

c,c

c

c,c

ä

=

-

(

)

(

).

(17)

Ïîäñòàâèâ â (12) èç (15) è (17), à â (13) èç (14) è (16) è ââåäÿ îáîçíà÷åíèÿ

R R

F R F

G G

F G F

C C

F C F

=

+

=

+

=

+

c

ä

c

ä

c

GR

t

GR

t

GR

CC

t

CC

;

L L

F L F

F L

L F

=

+

c,c

ä,ä

ä,c

c,ä

LL

t

LL

t

,

îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì

d

dt

d

dt

C

L

C

L

E

C 0

0 L

u

i

A

u

i

B

u

B

u

ä

c

ä

c

ä

c

ä

c

=

+

Á

+

Á

1

2

,

ãäå

A

F R F

F

F R F R F

F

F G F

1

=

-

GC

t

GC

LC

t

GC

t

GR

LR

t

LC

LR

+

–

(

)

(

ä

GR

t

GC

LR

t

G F

F G F

c

)

;

–

-

1

B

F R F

F

F R F R F

F

F G F

1

=

-

Á

GC

t

GE

C

t

GC

t

GR

R

t

LE

LR

+

–

(

)

(

ä

GR

t

GE

LR

R

t

G F

F G F

c

)

;

–

-

Á

1

B

F C F

0

F L F

L F

2

=

-

Á

CC

t

CE

LL

L

t

L

t

c

ä,ä

c,ä

(

)

.

Åñëè

x

u

i

A

C 0

0 L

A

B

C 0

0 L

B

u

=

+

=

Á

C

L

E

d

dt

ä

c

ä

c

;

,

–

1

2

òî ìîæíî óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:

d

dt

.

x Ax Bu

=

+

Äëÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà êîòîðîé ïðåäñòàâëåíà íà

ðèñ. 9.32,

à

, èìååì:

R

G

R R

F R F

ä

c

ä

=

+

=

+ -

- =

+

=

r

g

r

GR

t

1

2

1

2

1

;

C

L

G G

F G F

c

ä,ä

ä

c

=

+

=

+ -

- =

+

=

C

L

g

GR

t

GR

7

4

1

2

1

2

1

;

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì

65

L

C

c,c

ä,c

ä

=

L

M

L

M

C

3

38

83

8

34

84

5

6

0

;

.

Ýëåìåíòû ìàòðèöû

A

a

1

11

12

21

22

=

:

a

F R F

11

1

1
1

1 1

1

= -

-

= -

-

GC

t

GC

r

–

;

a

F

F R F R F

12

1

0

1

1 0

1
1

1 0 1

=

-

=

-

=

LC

t

GC

t

GR

LR

t

r

–

ä

=

-

=

-

0

1

1 0

0

1

0

1

0

1

2

1

r

r r

;

a

F

F G F G F

21

1

2

0 1

1 0

0

1

1 1 1

= -

=

+

-

=

LC

LR

GR

t

GC

+

g

–

c

=

+

-

=

0 1

1 0

0 0

1 1

0

1

2

1

g

r r r r

;

a

F G F

22

1

0

1

0 1

1 0 0

0 1

= -

=

LR

t

g

–

.

Ýëåìåíòû ìàòðèöû

B

b

1

11

12

21

22

=

:

b

F R F

11

1

1 1

1

1 1

1

= -

-

= -

-

GC

t

GE

r

–

;

b

F

F R F R F

12

1

0
0

1

=

-

=

-

= -

-

=

-

Á

C

t

GC

t

GR

R

t

r

–

ä

1

r

r r

;

b

F

F G F G F

21

1

2

0

1

0

1

0

1

0

1

0

= -

=

-

+

-

=

-

+

=

LE

LR

GR

t

GE

+

g

–

c

-

g g

1

;

b

F G F

22

1

1 0

1

1 0

1

0

1

= -

-

=

Á

LR

R

t

g

–

.

Ýëåìåíòû ìàòðèöû

B

b

2

11

12

21

22

=

¢

:

¢ = -

= -

-

=

¢ =

b

F C F

b

11

7

12

21

1
1

0

0
0

CC

t

CE

C

c

;

66

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

¢ = -

-

= -

-

=

Á

b

F L F

L F

B

0

22

4

2

1
1

0

0
0

LL

L

t

L

t

L

ä,ä

c,ä

;

.

Ìàòðèöà èíäóêòèâíîñòåé

L L

F L F

F L

L F

=

+

=

CC

LL

t

LL

t

ä,ä

ä,c

cä

=

+

-
-

-

- +

-
-

+

-

L

M

L

M

3

38

83

8

4

34

84

43

48

1
1

1

1
1

1

1 .

Ïðè

M

38

=

M

83

=

M

34

=

M

43

=

M

48

=

M

84

=

0

L

=

+

L

3

4

8

4

.

Ìàòðèöà

C

F

ä

c

=

= -

C

CC

5

6

7

0

1 1

;

C C

F C F

=

+

=

+

-

=

+

-

+

ä

c

CC

t

CC

C

5

6

7

5

7

6

7

0

1
1

1 1

.

Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì

d

dt

u
u

i
i

C

L

5

6

3

8

5

7

6

7

3

4

8

4

0

=

+

-

+

´

-

+

-

1

0

1

0

1

0

1

2

1

2

1

5

6

3

8

1

r

r r

r

r r

r r r r

g

u
u

i
i

r

r r

-

Á

æ

è

ç

ö

ø

÷

1
0

0

1

r

r r

g g

g

E

.

Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé

äîëæíà áûòü äîïîëíåíà íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè äëÿ ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ.

Ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ñîâîêóïíîñòè ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿ-

ìè ïðåäñòàâëÿåò òàê íàçûâàåìóþ çàäà÷ó Êîøè. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è

ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ áóäóò ðàññìîòðåíû â ñëåäóþùåì ïàðà-

ãðàôå.

9.14. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ

Ðàññìîòðèì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ â îáùåì ñëó÷àå íåëèíåéíûõ óðàâíå-

íèé, çàïèñàííóþ â íîðìàëüíîé ôîðìå

&

( , ), ( )

,

x f x

x

=

t

0

ãäå

x

=

x

(

t

) — âåêòîð ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ,

f

— âåêòîð-ôóíêöèÿ. Äëÿ ñîêðàùå-

íèÿ çàïèñè è â ñîîòâåòñòâèè ñ îáùåïðèíÿòûìè ïðè èçëîæåíèè ÷èñëåííûõ ìåòî-

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì

67

Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003

Смотрите также: