Документ: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003, страницы 81-85

òî

jj

t t

k

h

d

k

= +

ò

1 AÔ

1 A

A

exp( ) .

0

2

Òîãäà

Ô

k

+1

=

Ô

k

(2

×

1

+

AÔ

k

).

Ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ

A

h

äëÿ äîñòàòî÷íî òî÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ

jj

0

è

Ô

0

ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ìàëûì ÷èñëîì ÷ëåíîâ â ðàçëîæåíèè

jj

n

0

2

= +

+

1 A

A

h

( )

!

( )

!

K

è

Ô

1 A

A

0

1

2

=

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

-

h

K

( )

!

;

n

g

Ô b

0

=

,

ïðèíÿâ

n £

1 ... 4.

Ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïåðåìíîæåíèÿ ìàòðèö

jj

k

è

Ô

k

ìîæíî îïðåäåëèòü

ìàòðèöû

jj

N

,

Ô

N

è

g

N

, ñîîòâåòñòâóþùèå øàãó èíòåãðèðîâàíèÿ

H

=

2

N

h

. Íàïðè-

ìåð, ïðè

N

=

10

H

=

2

10

h

=

1024

h

.

Ðàññìîòðèì ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî óâåëè÷åíèÿ øàãîâ äëÿ ðåøåíèÿ óðàâ-

íåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ëèíåéíûõ ïàññèâíûõ öåïåé ïðè íàëè÷èè â íèõ èñòî÷íèêîâ ïî-

ñòîÿííûõ òîêîâ è ÝÄÑ. Óðàâíåíèÿ òàêèõ öåïåé èìåþò âèä

d

dt

d

dt

R

C

L

C

L

m

u

i

A

u

i

B

E

x Ax b x b

x

=

+

Á

=

+

Î

=

èëè

,

( )

.

0

Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, âûðàæåííîå ÷åðåç ñâîáîäíûå è ïðèíóæäåííûå ñî-

ñòàâëÿþùèå, èìååò âèä

x

A õ

A

b

( ) exp( )

exp( )

.

t

d

t

=

+

ò

0

t t

Ðàíåå îòìå÷àëîñü, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå è ÷èñëåííîå ïðåäñòàâëåíèå åãî ðåçóëü-

òàòîâ ñëåäóåò ïðîèçâîäèòü ñ óêðóïíåííûìè øàãàìè

H

, îïðåäåëÿþùèìè íàáëþ-

äàåìûå, âûâîäèìûå íà ïå÷àòü èëè èçîáðàæàåìûå ãðàôè÷åñêè âåëè÷èíû. Ïóñòü

t

n

=

nH

. Ñ÷èòàÿ çíà÷åíèå

x

n

â ìîìåíò âðåìåíè

t

n

íà÷àëüíûì äëÿ ñëåäóþùåãî èí-

òåðâàëà

H

, çàïèøåì ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå â âèäå

õ

A õ

A

b

(

)

exp(

)

exp( )

.

t

H

d

n

H

+

=

+

ò

1

0

t t

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî exp (

A

H

) =

jj

N

,

=

1

+

AÔ

N

, à èíòåãðàë ðàâåí

g

N

=

Ô

N

b

,

ìîæíî çàïèñàòü

x

Ô b x

1 ÀÔ x

Ô b x

Ô Àx

b

x

n

N

n

N

n

N

n

N

n

N

n

+

=

+

=

+

=

+

1

jj

,

(

)

(

);

1

=

+

=

+

x

Ô x

x

g

n

N

n

N

n

N

&

;

.

jj

Ýôôåêòèâíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ êîìïüþòåðà íàèáîëüøàÿ â ñëó÷àå ïðèìåíå-

íèÿ ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ïðè ñèñòåìíîì ìåòîäå ðåøå-

íèÿ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ìàòðè÷íîå ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå

x

n

+1

=

x

n

+

Ô

N

&

x

n

ÿâ-

ëÿåòñÿ àíàëîãîì ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ìåòîäà Ýéëåðà, ãäå âìåñòî øàãà

h

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì

83

èñïîëüçóåòñÿ ìàòðèöà

Ô

N

. Óðàâíåíèÿ

x

n

+1

=

x

n

+

Ô

N

&

x

n

,

x

n

+1

= jj

x

n

+

g

N

îïèñûâà-

þò ñèñòåìíûå ìåòîäû ïåðâîé ñòåïåíè. Ïî àíàëîãèè ñ òðàäèöèîííûìè ðàçíî-

ñòíûìè ìåòîäàìè ìîæíî ïîñòðîèòü ñèñòåìíûå ìåòîäû áîëåå âûñîêèõ ñòåïåíåé.

Öåííîñòü ñèñòåìíûõ ìåòîäîâ â òîì, ÷òî ïîäáîðîì

N

ìîæíî äîñòè÷ü çàäàííóþ

òî÷íîñòü èíòåãðèðîâàíèÿ. Òàê êàê íîðìà ìàòðèöû

À

=

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

å

( )

,

a

ij

m

2

1

0 5

îïðå-

äåëÿåò

a

max

, à ïðè ìàëûõ (ïîðÿäêà 10

–1

) çíà÷åíèÿõ

ñ

h

=

À

ñõîäèìîñòü ýêñïîíåí-

òû

e

c

îáåñïå÷èâàåòñÿ ñ âûñîêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè îòíîñèòåëüíî íåáîëüøèì

(2 ... 5) ÷èñëîì ÷ëåíîâ ðÿäà

e

c

L

=

å

n

!

0

, òî äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ äîñòàòî÷íî,

÷òîáû

h c

£

A

(

c

»

0,1). Ïîäáîðîì

N

ìîæíî äîñòè÷ü æåëàåìîé ñòåïåíè óêðóïíå-

íèÿ ïåðâîíà÷àëüíîãî øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ â 2

N

ðàç. Äàëüíåéøèé ðàñ÷åò ïðîèç-

âîäèòñÿ ñ øàãîì

H

=

2

N

h

, à ïðè íåîáõîäèìîñòè â ëþáîé ìîìåíò ìîæíî ïðîèçâå-

ñòè óâåëè÷åíèå è ýòîãî øàãà.

Äëÿ òàêîãî óêðóïíåíèÿ øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà ôîð-

ìóëà

jj

k

+

=

1

2

,

Ô

Ô 1

k

+

=

+

1

(

)

jj

,

g

Ô b

k

+

=

1

, íî óæå îòíîñèòåëüíî

jj

N

è

g

N

,

ðàññìàòðèâàåìûõ â êà÷åñòâ àíàëîãîâ

jj

0

è

g

0

. Ïóñòü, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ÷èñëà

øàãîâ

k,

ñëåäóåò åùå áîëåå óêðóïíèòü øàã

H

, òåïåðü óæå â 2

M

ðàç, òîãäà

jj

M

è

g

M

äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû èç ñîîòíîøåíèé

jj

0

1

2

1

2

0

1

=

, ,

=

+

-

+

N

M

N

i

,

;

,

(

)

K

g

,

(

)

(

).

Ô

1 ÀÔ

Ô 1

i

+

=

× +

=

+

1

2

jj

Äàëüíåéøåå ïðèìåíåíèå ðåêóððåíòíûõ ôîðìóë ïîçâîëÿåò ïðîèçâåñòè

2

N

+

M

-êðàòíîå óêðóïíåíèå ïåðâîíà÷àëüíîãî øàãà

h

. Åñëè

N

=

10,

M

=

5, òî íîâûé

øàã áóäåò â 2

15

=

32 768 ðàç áîëüøå ïðåäûäóùåãî.

Èçëîæåííûì ìåòîäîì öåëåñîîáðàçíî ïðîèçâîäèòü óêðóïíåíèå øàãà èíòåã-

ðèðîâàíèÿ æåñòêèõ ñèñòåì. Íàïðèìåð, åñëè èìåþòñÿ òðè ãðóïïû ñèëüíî ðàçëè-

÷àþùèõñÿ ìåæäó ñîáîé ñîáñòâåííûõ ÷èñåë, òî ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ïåðâîãî ïî-

ãðàíè÷íîãî ñëîÿ

t

ïñ1

ìîæíî ïðîèçâåñòè

N

-êðàòíîå, à ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ âòîðîãî

ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ 2

N

2

M

-êðàòíîå óâåëè÷åíèå øàãà.

Â ðàññìîòðåííîì â § 9.16 óðàâíåíèè âòîðîãî ïîðÿäêà, ãäå

a

1

=

–2

×

10

,

a

1

=

–10,

èíòåðâàë íàáëþäåíèÿ ïðèíÿò

T

=

5

t

2

=

5

×

0,1

=

0,5 ñ. Ïðè ÷èñëå íàáëþäàåìûõ çíà-

÷åíèé, ðàâíîì 100, ïåðâîíà÷àëüíûé øàã

h

= t

1

äîëæåí áûòü óâåëè÷åí â

H

/

h

=

5

×

10

–3

/5

×

10

–12

=

10

9

ðàç. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ïî ôîðìóëå

jj

k

+

=

1

2

ïðîèçâå-

ñòè 30-êðàòíîå ïîñëåäîâàòåëüíîå óäâîåíèå ïåðâîíà÷àëüíîãî øàãà

h

.

Çàìåòèì, ÷òî äëÿ óâåëè÷åíèÿ øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæíî ïðèìåíÿòü è íåÿâ-

íûå ìåòîäû. Îäíàêî ïðè ýòîì øàã íå ìîæåò áûòü áîëüøå çíà÷åíèé, îãðàíè÷åí-

íûõ äîïóñòèìîé ïîãðåøíîñòüþ. Íàïðèìåð, ïðè íåÿâíîì ìåòîäå Ýéëåðà ïðèåì-

ëåì, ñ òî÷êè çðåíèÿ îáåñïå÷åíèÿ ÷èñëåííîé óñòîé÷èâîñòè, ïðàêòè÷åñêè ëþáîé

øàã. Îäíàêî ñäåëàòü øàã

h

áîëüøå çíà÷åíèÿ, îïðåäåëåííîãî ïîãðåøíîñòüþ è íîð-

ìîé ìàòðèöû

A

, íåëüçÿ.

84

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ïðèìåðíûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ ñ ïîñòîÿííîé ôóíêöèåé âîçäåéñò-

âèÿ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ

&

x

=

Ax

+

b

,

x

(0)

=

x

0

, ñîãëàñíî Þ. Â. Ðàêèòñêîìó, âû-

ãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.

1. Ââîäÿò ìàòðèöó

A

, íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ (âåêòîð

x

0

,

âåêòîð

b

), æåëàåìûé èíòåðâàë èíòåãðèðîâàíèÿ

T

, êîíñòàíòó

c

(

c

»

0,1), øàã

íàáëþäåíèÿ

H

.

2. Âû÷èñëÿþò íîðìó ìàòðèöû

A

.

3. Íàõîäÿò

h

è

H

èç âûðàæåíèé

N

H

c

h c

»

£

(ln

) ln ,

.

A

2

4. Îïðåäåëÿþò

jj

0

=

1

+

A

h

+ … +(

A

h

)

n

/

n

! è

g

0

=

Ô

0

b

=

h

[

1

+

A

h

/2 + … +(

A

h

)

n

-1

/

n

!

]

b

.

5. Ðàññ÷èòûâàþò

jj

k

+

=

1

2

è

g

i

+1

(

1

+ jj

i

)

g

i

.

6. Ñ÷èòàþò

i

=

i

+ 1; åñëè

i

<

N

, ïåðåõîäÿò ê ï. 5.

7. Âû÷èñëÿþò

x

ñâ

n

+1

= jj

N

x

n

è

x

n

+1

=

x

ñâ

n

+1

+

g

N

.

8. Åñëè (

n

+ 1)

H

<

T

, ïåðåõîäÿò ê ï. 5 è ïå÷àòàþò ðåçóëüòàò. Åñëè (

n

+ 1)

H

>

T

,

òî âû÷èñëåíèå çàêàí÷èâàþò.

Ðàññìîòðåííûé àëãîðèòì ìîæíî èñïîëüçîâàòü è ïðè ðåøåíèè ëèíåéíûõ óðàâ-

íåíèé ñîñòîÿíèÿ áîëåå îáùåãî âèäà:

&

x Ax f

=

+

,

x

=

x

(

t

)

Î

R

m

,

f

=

f

(

t

)

Î

R

m

,

x

(0)

=

x

0

, à òàêæå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ

&

x

=

f

(

t

,

x

),

x

,

f

Î

R

m

,

x

(0)

=

x

0

,

åñëè ïðèìåíÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíàÿ ïîäûíòåãðàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ýòèõ óðàâ-

íåíèé ëèíåéíûìè óðàâíåíèÿìè âèäà

&

x

n

=

A

n

x

n

+

b

n

,

x

n

(

t

n

)

=

x

0

n

,

t

Î

[

t

n

,

t

n

+1

]

Çàìåòèì, òàêèå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ñóòè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëåííî-àíàëè-

òè÷åñêèìè ìåòîäàìè ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ. Ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ñèñ-

òåìíîãî ìåòîäà

x

n

+1

=

x

n

+

Ô

N

f

(

t

n

,

x

n

) îáëàäàåò ôîðìàëüíûì ñõîäñòâîì ñ ðàç-

íîñòíûì óðàâíåíèåì ÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà

x

n

+1

=

x

n

+

h

f

(

t

n

,

x

n

). Ïðè ýòîì ðîëü

øàãà

h

èãðàåò ìàòðèöà

Ô

N

. Èñïîëüçóÿ äðóãèå ìåòîäû àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèè

f

(

t

,

x

), ìîæíî ïîëó÷èòü àíàëîãè è äðóãèõ êëàññè÷åñêèõ ìåòîäîâ èíòåãðèðîâàíèÿ,

íàïðèìåð íåÿâíûé ñèñòåìíûé ìåòîä (

x

n

+1

=

x

n

+

Ô

N

f

(

t

n+

1

,

x

n+

1

)), ñîîòâåòñòâóþ-

ùèé íåÿâíîìó ìåòîäó Ýéëåðà (

x

n

+1

=

x

n

+

h

f

(

t

n+

1

,

x

n+

1

)).

Îñíîâíûì äîñòîèíñòâîì ñèñòåìíûõ ìåòîäîâ ÿâëÿåòñÿ èõ óíèâåðñàëüíîñòü,

òàê êàê îíè ïîçâîëÿþò ðåøàòü ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðîèç-

âîëüíîé æåñòêîñòè. Îñîáåííî ýôôåêòèâíû ýòè ìåòîäû ïðè ðåøåíèè äîñòàòî÷íî

æåñòêèõ ñèñòåì óðàâíåíèé. Ïðè ðåøåíèè æå íåæåñòêèõ ñèñòåì óðàâíåíèé ïðè-

ìåíåíèå ñèñòåìíûõ ìåòîäîâ íå äàåò êàêèõ-ëèáî ñóùåñòâåííûõ ïðåèìóùåñòâ ïî

ñðàâíåíèþ ñ èñïîëüçîâàíèåì êëàññè÷åñêèõ ìåòîäîâ èíòåãðèðîâàíèÿ. Ýòî ïðî-

èñõîäèò ïîòîìó, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèé ïîñëåäíåãî òèïà íå íàëàãàåò áîëüøèõ

îãðàíè÷åíèé íà øàã èíòåãðèðîâàíèÿ ïî óñëîâèÿì óñòîé÷èâîñòè ìåòîäà. Øàã èí-

òåãðèðîâàíèÿ íåæåñòêèõ ñèñòåì âûáèðàþò â îñíîâíîì ñ ó÷åòîì îáåñïå÷åíèÿ çà-

äàííîé òî÷íîñòè è ÷àñòî ïðèíèìàþò ðàâíûì øàãó èíòåðïîëÿöèè. Ïîýòîìó ïðè

ðåøåíèè çàâåäîìî íåæåñòêèõ ñèñòåì óðàâíåíèé ïðåäïî÷òèòåëüíåé èñïîëüçî-

âàòü òàêèå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ, âû÷èñëèòåëüíûå ïðîöåäóðû êîòîðûõ íàèáî-

ëåå ïðîñòû, íàïðèìåð ÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà. Êðîìå òîãî, ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ

òàêîé ïîäõîä ê ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ïðîèçâîëüíîé æåñò-

êîñòè, â îñíîâó êîòîðîãî ïîëîæåíû ìåòîäû ïðåîáðàçîâàíèÿ èñõîäíûõ ñèñòåì

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì

85

óðàâíåíèé, îáåñïå÷èâàþùèå âîçìîæíîñòü èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåì ÿâíûì ìåòî-

äîì Ýéëåðà ñ øàãîì äèñêðåòèçàöèè, áëèçêèì ê øàãó èíòåðïîëÿöèè ðåøåíèÿ.

9.18. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ

ìåòîäîì ñèíòåòè÷åñêèõ ñõåì

Â § 9.13 áûë ðàññìîòðåí îäèí èç îáùèõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ, îðèåíòèðîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèå êîìïüþòåðîâ, — ìå-

òîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ. Â ýòîì ïàðàãðàôå ðàññìàòðèâàåòñÿ áîëåå ñîâðåìåí-

íûé ïîäõîä ê êîìïüþòåðíîìó àíàëèçó ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåì — ìåòîä ñèíòåòè÷å-

ñêèõ ñõåì.

Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ìåòîäîì ïåðåìåííûõ

ñîñòîÿíèÿ ïðåäïîëàãàåò ôîðìèðîâàíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ, àïïðîê-

ñèìàöèþ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ðàçíîñòíûìè óðàâíåíèÿìè, ÷èñëåííîå ðåøåíèå

ïîëó÷åííîé ñèñòåìû ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé íà êàæäîì øàãå ðàñ÷åòà ïî âðåìåíè.

Òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàñ÷åòà ýôôåêòèâíà äëÿ öåïåé ñ íåáîëüøèì ÷èñ-

ëîì ðåàêòèâíûõ è íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ. Óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ òàêèõ öåïåé ìî-

ãóò áûòü ñôîðìèðîâàíû âðó÷íóþ èëè ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà ïî ñðàâíèòåëüíî

ïðîñòûì àëãîðèòìàì, ðàññìîòðåííûì â § 9.13. Ïðè ýòîì íà òî÷íîñòü ïîëó÷àå-

ìîãî ðåøåíèÿ áóäåò âëèÿòü òîëüêî âûáîð ìåòîäà ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ.

Ñ ðîñòîì ñëîæíîñòè öåïåé ïîëó÷åíèå óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ âðó÷íóþ ñòàíîâèòñÿ

ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíûì, è âîïðîñû ýôôåêòèâíîñòè àâòîìàòè÷åñêîãî ôîð-

ìèðîâàíèÿ óðàâíåíèé íà÷èíàþò èãðàòü íå ìåíüøóþ ðîëü, ÷åì âîïðîñû ïîñëå-

äóþùåãî èõ ðåøåíèÿ. Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî äëÿ öåïåé ñ áîëüøèì ÷èñëîì

ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ è ñ ìíîãîïîëþñíûìè íåëèíåéíûìè ýëåìåíòàìè îòñóò-

ñòâóþò óíèâåðñàëüíûå àëãîðèòìû ôîðìèðîâàíèÿ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ. Ðàçðà-

áîòêà æå äëÿ êàæäîé íîâîé öåïè ñïåöèàëüíîãî àëãîðèòìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé

äîâîëüíî ñëîæíóþ çàäà÷ó. Ê òîìó æå ðåàëèçàöèÿ ïîäîáíûõ àëãîðèòìîâ òðåáóåò

ñóùåñòâåííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò. Ïîýòîìó ïðè êîìïüþòåðíîì ðàñ÷åòå ñëîæ-

íûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðåäïî÷òåíèå îòäàåòñÿ òàêîìó ïóòè, â êîòîðîì ïðî-

öåäóðà ôîðìèðîâàíèÿ óðàâíåíèé íàèáîëåå ïðîñòà, óíèâåðñàëüíà è ñîãëàñîâàíà

ñ ïîñëåäóþùèì ÷èñëåííûì ðåøåíèåì. Òàêîé ïóòü ïðåäïîëàãàåò èíóþ ïîñëåäî-

âàòåëüíîñòü ýòàïîâ ðàñ÷åòà.

Ñíà÷àëà âûïîëíÿåòñÿ àïïðîêñèìàöèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îòäåëü-

íûõ ýëåìåíòîâ öåïåé ðàçíîñòíûìè óðàâíåíèÿìè. Ïîëó÷åííûì ðàçíîñòíûì óðàâ-

íåíèÿì ñòàâÿòñÿ â ñîîòâåòñòâèå àêòèâíûå ðåçèñòèâíûå ñõåìû çàìåùåíèÿ. Â ðå-

çóëüòàòå ñòðîèòñÿ ñõåìà çàìåùåíèÿ âñåé öåïè, ñîäåðæàùàÿ òîëüêî èñòî÷íèêè

òîêà èëè íàïðÿæåíèÿ è ðåçèñòèâíûå ýëåìåíòû. Çàòåì äëÿ ôèêñèðîâàííîãî ìî-

ìåíòà âðåìåíè ôîðìèðóåòñÿ ñèñòåìà àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùàÿ

ïðîöåññ â àêòèâíîé ðåçèñòèâíîé ñõåìå çàìåùåíèÿ öåïè. Ïîñëå ýòîãî ðåøàåòñÿ

ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé ïå-

ðåìåííûõ â ïîñëåäóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè ñëåäóåò çàíîâî ðàññ÷èòàòü ïàðàìåò-

ðû ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è ðåøèòü åå.

Ïîäîáíûé ïóòü ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ïðåîáðàçîâàíèå çàäà÷è ðàñ÷åòà

ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çàäà÷ ðàñ-

÷åòà ïî ïîñòîÿííîìó òîêó ðåçèñòèâíûõ öåïåé òîé æå òîïîëîãè÷åñêîé ñòðóêòóðû.

86

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ïðè òàêîì ïîäõîäå äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû

ìåòîäû àíàëèçà ÷èñòî ðåçèñòèâíûõ öåïåé, îòëè÷àþùèåñÿ ïðîñòîòîé àëãîðèòìîâ

ôîðìèðîâàíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé.

Çàìåíà ýëåìåíòîâ èñõîäíîé öåïè àêòèâíûìè ðåçèñòèâíûìè äâóõïîëþñíè-

êàìè ïîçâîëÿåò ñîõðàíèòü òîïîëîãèþ öåïè è ïðèìåíèòü âñå èçâåñòíûå ìåòîäû

ðàñ÷åòà ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïîñòîÿííîãî òîêà. Ïîýòîìó ìåòîä, îáú-

åäèíÿþùèé ìåòîäû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ öåïè

ñ ìåòîäàìè ðàñ÷åòà ðåçèñòèâíûõ öåïåé, äàëåå áóäåì íàçûâàòü ìåòîäîì ñèíòå-

òè÷åñêèõ ñõåì, à àêòèâíóþ ðåçèñòèâíóþ ìîäåëü ýëåìåíòà — åãî ñèíòåòè÷åñêîé

ñõåìîé. Íàðÿäó ñ ýòèìè â ëèòåðàòóðå èñïîëüçóþò òàêæå íàçâàíèÿ «ìåòîä äèñ-

êðåòíûõ ñõåì» è «äèñêðåòíàÿ ñõåìà».

Îïðåäåëèì ïàðàìåòðû äâóõïîëþñíîé ñèíòåòè÷åñêîé ñõåìû (ðèñ. 9.41,

â

) êà-

òóøêè è êîíäåíñàòîðà (ðèñ. 9.41,

à

è

á

).

Âûïîëíèì ðàçíîñòíóþ àïïðîêñèìàöèþ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé êà-

òóøêè èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðà íà îñíîâå íåÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà. Äëÿ

ýòîãî ïðèìåíèì ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå íåÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà

x

n

+1

=

x

n

+

h

f

n

+1

,

f

n

+1

=

f

(

t

n

+1

,

x

n

+1

) (ïîäðîáíåå ñì. § 9.14) ê óðàâíåíèÿì, ñâÿçûâàþùèì òîê è íàïðÿ-

æåíèå íà êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðå:

di

dt

u t

L

du

dt

i t

C

L

C

=

( ) ;

( ).

Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå òîêè è íà-

ïðÿæåíèÿ â ýòèõ ýëåìåíòàõ â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè

t

=

nh

,

n

=

0, 1, 2, …:

äëÿ êàòóøêè

i

h

L

u

i

L n

,

;

+

=

+

1

äëÿ êîíäåíñàòîðà

u

h

C

i

C n

,

+

=

+

1

è

i

C

h

u

C

h

u

C n

,

.

+

=

-

1

Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ è äëÿ êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè è äëÿ êîíäåíñàòî-

ðà ìîæíî çàïèñàòü â îáùåé äëÿ îáîèõ ýëåìåíòîâ ôîðìå

i

gu

n

+

=

+ Á

1

,

(*)

ãäå

g

=

h

/

L

è

Á

n

=

i

L,n

äëÿ êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè,

g

=

C

/

h

è

Á

n

=

(–

C

/

h

)

u

C,n

äëÿ

êîíäåíñàòîðà.

Óðàâíåíèå (*) ìîæåò áûòü èíòåðïðåòèðîâàíî êàê óðàâíåíèå ïåðâîãî çàêîíà

Êèðõãîôà äëÿ óçëà

k

öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 9.41,

â

, à âåëè÷èíû

g

è

Á

n

èìåþò

ðàçìåðíîñòè, ñîîòâåòñòâåííî, â ñèìåíñàõ è àìïåðàõ. Òàêèì îáðàçîì, ðåàêòèâíûé

ýëåìåíò çàìåíÿåòñÿ äâóõïîëþñíèêîì, ñîñòîÿùèì èç ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ

ïðîâîäèìîñòè

g

è èñòî÷íèêà òîêà

Á

n

ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè çíà÷åíèÿìè ïàðàìåò-

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì

87

Ðèñ. 9.41

Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003

Смотрите также: