Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003
è êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ çàðÿäà êîíäåíñàòîðà
h =
+
=
+
CU
CU
W
a
2
2
2
2
1
1
.
 ïðèâåäåííîé òàáëèöå äàíû çíà÷åíèÿ âåëè÷èí
a
è
h
â ôóíêöèè
T
/
t
. Îòñþäà
âèäèì, ÷òî
h
ïðè âêëþ÷åíèè êîíäåíñàòîðà ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå ïîëó÷à-
åòñÿ ðàâíûì òîëüêî 50% íåçàâèñèìî îò çíà÷åíèÿ
r.
×åì
ìåíüøå
r
, òåì áûñòðåå ñîâåðøàåòñÿ çàðÿä, íî âìåñòå ñ òåì
âîçðàñòàåò òîê çàðÿäà, òàê ÷òî ýíåðãèÿ, âûäåëÿåìàÿ â ñî-
ïðîòèâëåíèè, îêàçûâàåòñÿ íå çàâèñÿùåé îò
r
. Îäíàêî,
ñíèæàÿ ñêîðîñòü ïîâûøåíèÿ ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ,
ìîæíî ïîâûñèòü çíà÷åíèå
h
, è ïðè áåñêîíå÷íî ìåäëåí-
íîì óâåëè÷åíèè íàïðÿæåíèÿ êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî
äåéñòâèÿ ïîëó÷àåòñÿ ðàâíûì 100 % ïðè ëþáîì êîíå÷íîì
çíà÷åíèè
r
.
Åñëè èíòåãðàë â âûðàæåíèè (*) âçÿòü ïî ÷àñòÿì, òî íåòðóäíî ïîëó÷èòü äðóãîå
âûðàæåíèå äëÿ òîêà
i
(
t
), à èìåííî
i t
Y
u t
Y t x u x dx
x
x t
( )
( ) ( )
(
) ( ) .
=
+
-
=
=
ò
0
0
'
Ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â ôîðìóëå (*) ñîäåðæèò ïåðåõîäíóþ ïðîâîäè-
ìîñòü
Y
(
t
–
x
) öåïè, à ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â ïîñëåäíåé ôîðìóëå — èì-
ïóëüñíóþ ïðîâîäèìîñòü
Y
¢
(
t
–
x
) òîé æå öåïè.
12.4. Ðàñ÷åò óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ ïðè ïîìîùè
èíòåãðàëà Äþàìåëÿ è ïðàâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà
 ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ áûëè ðàññìîòðåíû îñîáåííîñòè ðàñ÷åòà òîêîâ è íàïðÿ-
æåíèé ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè ïåðåõîäå îò îäíîãî óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà
ê äðóãîìó — â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ýòîò ïðîöåññ îáóñëîâ-
ëåí íåñîîòâåòñòâèåì íàïðÿæåíèé è òîêîâ ïðåäêîììóòàöèîííîãî
u
C
(–0),
i
L
(–0)
è
¢ +
¢ +
u
i
C
L
( ),
( )
0
0 ïîñëåêîììóòàöèîííîãî óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìîâ, îïðåäåëÿþ-
ùèõ ýíåðãèþ, íàêîïëåííóþ â ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëÿõ êîíäåíñàòîðîâ è ìàãíèòíûõ
ïîëÿõ èíäóêòèâíûõ êàòóøåê. Ïðåõîäÿùåå çíà÷åíèå òîêà
¢¢
i
(èëè íàïðÿæåíèÿ
¢¢
u
),
õàðàêòåðèçóþùåå íàëè÷èå è èíòåíñèâíîñòü ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, îïðåäåëÿåòñÿ
èç óñëîâèÿ
i
L
(–0)
=
i
L
(+0)
=
i'
L
(+0) +
i"
L
(+0). Åñëè
i
L
(–0)
=
i'
L
(+0), òî
i"
L
(+0)
=
0,
è íîâûé ðåæèì óñòàíîâèòñÿ â ìîìåíò êîììóòàöèè
t
=
0. Òàêîé ìãíîâåííûé ïåðå-
õîä îò îäíîãî ñîñòîÿíèÿ ê äðóãîìó èìååò âàæíîå çíà÷åíèå äëÿ ïðàêòèêè. Èçáàâ-
ëåíèå îò ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ïîçâîëÿåò ïðåäîòâðàòèòü ìíîãèå íåæåëàòåëüíûå
ÿâëåíèÿ. Íàïðèìåð, óäàåòñÿ èñêëþ÷èòü âîçíèêàþùèå â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå
íåæåëàòåëüíûå ïåðåíàïðÿæåíèÿ â âûñîêîâîëüòíûõ ëèíèÿõ ýëåêòðîïåðåäà÷. Òà-
êîå ÿâëåíèå èìååò ìåñòî ïðè ïîäêëþ÷åíèè ëèíèè ýëåêòðîïåðåäà÷è ê èñòî÷íèêó
ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ â ðåæèìå õîëîñòîãî õîäà, ò. å. íåíàãðóæåííîé ëè-
íèè.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå òàêîé ïðîöåññ ìîæåò áûòü ýêâèâàëåíòèðîâàí öåïüþ
r
,
C
.  § 9.6 ïîêàçàíî, ÷òî ïðè ïîäêëþ÷åíèè ê èñòî÷íèêó ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿ-
128
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
T
/
t
a
h
0
1
2
4
¥
1
0,5
0,33
0,20
0
0,5
0,67
0,75
0,833
1
æåíèÿ
r, C
öåïè (ëèíèè ïåðåäà÷è) íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà (ëèíèè
ïåðåäà÷è) ìîæåò âäâîå ïðåâûñèòü òàêîâîå íà âõîäå öåïè â ñëó÷àå íåáëàãîïðèÿò-
íîãî ïîäáîðà ìîìåíòà êîììóòàöèè.  äðóãèõ ñëó÷àÿõ, íàïðèìåð â ýëåêòðè÷å-
ñêèõ öåïÿõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ, ìîæíî ïîâûñèòü èõ áûñòðîäåéñòâèå, èñêëþ÷èâ
âðåìåííûå çàäåðæêè, ñâÿçàííûå ñ çàòÿãèâàíèåì ïðîöåññà äîñòèæåíèÿ òîêà óïðàâ-
ëåíèÿ îïðåäåëåííîãî çíà÷åíèÿ.
Óñëîâèÿ
i
L
(–0)
= ¢ +
i
L
( )
0 è
u
C
(–0)
= ¢ +
u
C
( )
0 ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû äâóìÿ ñïî-
ñîáàìè: ëèáî çàäàíèåì â ìîìåíò êîììóòàöèè íà÷àëüíûõ òîêîâ
i
L
(–0) è íàïðÿ-
æåíèé
u
C
(–0) ðàâíûìè
¢ +
i
L
( )
0 è
¢ +
u
C
( )
0 , ëèáî âûáîðîì äëÿ êîììóòàöèè òàêîãî
ìîìåíòà âðåìåíè, êîãäà äîêîììóòàöèîííûå (ñòàðûå) çíà÷åíèÿ
i
L
(–0) è
u
C
(–0)
â ìîìåíò êîììóòàöèè
t
=
0 ðàâíû ïîñëåêîììóòàöèîííûì (íîâûì) ðàñ÷åòíûì
çíà÷åíèÿì
¢ +
i
L
( )
0 è
¢ +
u
C
( )
0 .  ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ñî ìíîæåñòâîì ðåàê-
òèâíûõ ýëåìåíòîâ, ò. å. êàòóøåê èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðîâ, ðåàëèçîâàòü
ýòè óñëîâèÿ äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ íå âñåãäà âîçìîæíî è ïðèõîäèòñÿ óäîâëåòâî-
ðèòüñÿ âûáîðîì òàêîé êîìáèíàöèè ýëåìåíòîâ, äëÿ êîòîðîé ðåàëèçàöèÿ âîçìîæ-
íà. Äëÿ îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ ýòîé ïðîáëåìû òðåáóåòñÿ âûáèðàòü òàêîé ìåòîä
ðàñ÷åòà òîêîâ è íàïðÿæåíèé öåïè, êîòîðûé íàèáîëåå ïðèñïîñîáëåí äëÿ íàõîæ-
äåíèÿ èìåííî óñòàíîâèâøèõñÿ çíà÷åíèé
¢ +
i
L
( )
0 è
¢ +
u
C
( )
0 . Ýòó çàäà÷ó ïðîùå âñåãî
ðåøèòü ïðè ïîìîùè ìåòîäà ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèé. Â ýòîì ìåòîäå èìåííî òîêè
i
L
è íàïðÿæåíèÿ
u
C
ÿâëÿþòñÿ èñêîìûìè ïåðåìåííûìè, ÷òî ïîçâîëÿåò ôîðìèðî-
âàòü ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, èçíà÷àëüíî ðàçðåøåííûõ îòíîñè-
òåëüíî èõ ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ, èçâåñòíûõ â ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå ïîä íà-
çâàíèåì óðàâíåíèé Êîøè.
 ñëó÷àå ïðîñòåéøåé öåïè, ñîcòîÿùåé èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ðåçè-
ñòîðà
r
, èíäóêòèâíîé êàòóøêè
L
è èñòî÷íèêà ÝÄÑ
å,
äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíå-
íèå, ðàçðåøåííîå îòíîñèòåëüíî åäèíñòâåííîé ïåðåìåííîé ñîñòîÿíèÿ
i
, èìååò âèä
di
/
dt
=
– ir
/
L + e
/
L
=
– i
/
t
+ e
/
L.
Ïðè ïðîèçâîëüíîé ïî ôîðìå êðèâîé ÝÄÑ òîê â öåïè ìîæåò áûòü ðàññ÷èòàí
ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà Äþàìåëÿ (ñì. § 12.3). Äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè íàïðÿæå-
íèÿ íà çàæèìàõ öåïè
u
(
t
)
=
e
(
t
) èñêîìûé òîê ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà áóäåò ðàâåí
i
=
u
(0)
Y
(
t
) +
Y x u t x dx
t
( ) (
)
¢ -
ò
0
=
u
(
t
)
Y
(0) +
¢
-
ò
Y x u t x dx
t
( ) (
)
0
,
(*)
èëè
i
=
u
(0)
Y
(
t
) +
Y t x u x dx
t
(
) ( )
-
¢
ò
0
=
u
(
t
)
Y
(0) +
¢ -
ò
Y t x u x dx
t
(
) ( )
0
.
Ïîñêîëüêó èíòåãðàë Äþàìåëÿ ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü çíà÷åíèå èñêîìîé ôóíê-
öèè, â äàííîì ñëó÷àå òîêà, íà âñåì èíòåðâàëå âðåìåí îò 0 äî
¥
, òî è óñòàíîâèâ-
øååñÿ çíà÷åíèå òîêà
¢
i
ìîæíî îïðåäåëèòü ïðè ïîìîùè ýòèõ âûðàæåíèé
.
Òåîðå-
òè÷åñêè òîê äîñòèãàåò ñâîåãî óñòàíîâèâøåãîñÿ çíà÷åíèÿ ïðè
t
= ¥
, îäíàêî
ïðàêòè÷åñêè ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ìîæíî ñ÷èòàòü çàâåðøåííûì ïî èñòå÷åíèè
êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè, îïðåäåëÿåìîãî óðîâíåì òî÷íîñòè ðàñ÷åòà èëè
Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ
129
èçìåðåíèÿ èñêîìîé âåëè÷èíû. Åñëè èñõîäíûå äàííûå äëÿ ðàñ÷åòà çàäàþòñÿ
ñ òî÷íîñòüþ, ñêàæåì, äî ÷åòûðåõ çíà÷àùèõ ÷èñåë, òî ïðîöåññ ìîæíî ñ÷èòàòü
çàâåðøåííûì ïðè óñëîâèè
e
–t
/
t
< 0,00001. Ïðè òàêîé ñòåïåíè òî÷íîñòè ðàñ÷åòà
ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òî ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ïðàêòè÷åñêè çàâåðøàåòñÿ ïî èñòå÷å-
íèè âðåìåíè îêîëî
t
Î
(10–12)
t
max
, ãäå
t
max
— ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè ñëîæíîé
öåïè, îïðåäåëÿþùàÿ íàèáîëåå ìåäëåííî çàòóõàþùóþ ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çà-
êîíó
e
–t/
t
ñîñòàâëÿþùóþ ïðåõîäÿùåãî òîêà
i"
.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàñ÷åòà óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà
Äþàìåëÿ ðàññìîòðèì ñëó÷àé
r, L
-öåïè, êîãäà
u
(
t
)
=
Ue
at
. Äëÿ ýòîé öåïè ïåðå-
õîäíàÿ ïðîâîäèìîñòü ðàâíà (ñì. § 12.3)
Y
(
t
)
=
(1 –
e
–t
/
t
)/
r.
Ñîîòâåòñòâåííî,
èìïóëüñíàÿ ïåðåõîäíàÿ ïðîâîäèìîñòü
Y'
(
t
)
=
dY
(
t
)/
dt
=
L
–1
e
–t
/
t
=
L
–1
e
–pt
.
Åñëè
âîñïîëüçîâàòüñÿ âòîðûì óðàâíåíèåì (*) è ó÷åñòü, ÷òî
Y
(
t
)
=
(1–
e
–t/
t
)/
r
=
0
ïðè
t
=
0, è òàê æå îáîçíà÷èòü
p
=
1/
t =
r
/
L
, òî
i u t Y
Y x u t x dx
L
e u t x dx U
L
e
t
px
t
=
+
¢
-
=
-
=
ò
ò
-
-
( ) ( )
( ) (
)
(
)
0
1
0
0
px a t x
t
e
dx
(
)
-
ò
0
.
Äëÿ
¢
i
èìååì
¢ =
-
=
= -
+
-
¥
- +
¥
ò
ò
i
L
e u t x dx Ue
L
e
dx
Ue
L a p
px
at
a p x
at
1
0
0
(
)
(
(
)
)
|
(
)
e
Ue
r aL
a p x
at
- +
¥
=
+
0
.
Åñëè îáîçíà÷èòü
f
(
t – x
)
=
u
(
t – x
), òî äëÿ
¢
i
ìîæíî çàïèñàòü
¢ =
-
=
-
=
-
¥
-
¥
ò
ò
i
L
e u t x dx
L
e f t x dx
L
F p t
px
px
1
1
1
0
0
(
)
(
)
( , ) èëè
¢ =
i
F p t L
( , ) ,
ãäå
F p t
e f t x dx
px
( , )
(
)
=
-
-
¥
ò
0
èëè
U p t
e u t x dx
px
( , )
(
)
=
-
-
¥
ò
0
.
Ìû ïðèõîäèì ê èíòåðåñíîìó âûâîäó î òîì, ÷òî óñòàíîâèâøååñÿ çíà÷åíèå òîêà
â öåïè ñ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà ìîæåò áûòü îïðåäåëå-
íî ïðè ïîìîùè èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ
f
(
t
)
Þ
F
(
ð,t
), èçâåñòíîãî â ìàòå-
ìàòèêå ïîä íàçâàíèåì ïðàâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà (ÏÏË).
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ òîêà óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà äîñòàòî÷íî â èçîáðàæåíèè
F
(
ð
,
t
) çàìåíèòü îïåðàòîð
ð
íà êîýôôèöèåíò ñ îáðàòíûì çíàêîì, íà êîòîðûé
â óðàâíåíèè Êîøè óìíîæàåòñÿ ïåðåìåííàÿ ñîñòîÿíèÿ
i
, â äàííîì ñëó÷àå íà
r
/
L
=
–(–
r
/
L
), è óìíîæèòü
F
(
p
,
t
) íà êîýôôèöèåíò ïðè
u
(
t
) — â äàííîì ñëó÷àå
íà 1/
L.
Ðàçóìååòñÿ, äëÿ ýòîé ïðîñòîé öåïè ðåøåíèå äëÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ òîêà
ïðîùå íàéòè íåïîñðåäñòâåííî ÷åðåç èíòåãðàë Äþàìåëÿ. Îäíàêî äàæå â ýòîì ñëó-
÷àå ðàñ÷åòû óïðîùàþòñÿ ïðè íàëè÷èè òàáëèö ìíîæåñòâà ïðåäâàðèòåëüíî íàé-
äåííûõ èçîáðàæåíèé ïðàâûõ ïðåîáðàçîâàíèé Ëàïëàñà, íàïîäîáèå ïðèâåäåííîé
â § 10.2 òàáëèöû, ñîñòàâëåííîé ïðè ïîìîùè îáûêíîâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëà-
ïëàñà. Åùå áîëåå ñóùåñòâåííû ïðåèìóùåñòâà òàêîãî ìåòîäà ðàñ÷åòà óñòàíîâèâ-
øèõñÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé â ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ.
130
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Òàáëèöà íåêîòîðûõ îðèãèíàëîâ è èõ ÏÏË-èçîáðàæåíèé
Îðèãèíàë
Èçîáðàæåíèå
A
A/
p
e
at
e
p a
at
-
cos (
w
t
+
y
)
w
w
y
w
y
w
sin
cos
(
)
(
)
2
2
t
p
t
p
+
-
+
+
sin (
w
t
+
y
)
p
t
t
p
sin(
)
cos(
)
w
y
w
w
y
w
+
-
+
+
2
2
t
t
/
p
+ 1/
p
2
d
(
t
–
t
0
),
t
0
³
0
e
t t
p t t
-
-
-
(
)
(
)
0
1
0
df
(
t
)/
dt
f
(
t
) –
ðF
(
p,t
)
 ñëó÷àå ñëîæíîé öåïè, ñîäåðæàùåé ìíîæåñòâî êîíäåíñàòîðîâ è êàòóøåê èí-
äóêòèâíîñòè, ïðè óñëîâèè îòíåñåíèÿ âåòâåé ñ êîíäåíñàòîðàìè ê äåðåâó ãðàôà è
âåòâåé ñ êàòóøêàìè èíäóêòèâíîñòè ê êîãðàôó öåïè, ò. å. ê çâåíüÿì ãðàôà, óäàåò-
ñÿ ñôîðìèðîâàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ñîñòîÿíèé (ñèñòåìó óðàâíåíèé Êîøè) îò-
íîñèòåëüíî ìíîæåñòâà
u
C
è
i
L
(ñì. § 5.14, § 9.2 è 9.13) â ìàòðè÷íîì âèäå
d
x
/
dt
=
Ax
+
Âv
,
ãäå
õ
=
(
u
C
1
,
u
C
2
, …,
u
Cq
–1
,
i
L
1
,
i
L
2
, …,
i
Ln
)
t
— âåêòîð-ñòîëáåö, â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå ñî-
ñòîÿùèé èç
q
– 1 íàïðÿæåíèé
u
C
äåðåâà ãðàôà è
n
òîêîâ
i
L
çâåíüåâ ãðàôà öåïè,
V
=
(
e
1
,
e
2
, …,
e
q–
1
,
Á
1
,
Á
2
, …,
Á
n
)
t
— âåêòîð-ñòîëáåö èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ è òîêîâ â
q –
1
äåðåâüÿõ ãðàôà è
n
çâåíüÿõ ãðàôà öåïè. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà
À
, íàçûâàåìàÿ ìàò-
ðèöåé ïàðàìåòðîâ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ öåïè (ìàòðèöà ïàðàìåòðîâ), ñîäåðæèò
âñþ ñîâîêóïíîñòü äàííûõ, îòðàæàþùèõ ñòðóêòóðó ñîåäèíåíèé è âåòâåé öåïè,
è èõ ïàðàìåòðîâ. Ìàòðèöà
Â
îïðåäåëÿåò íàëè÷èå ïðåîáðàçîâàííûõ èñòî÷íèêîâ
ÝÄÑ è òîêîâ â ðàçðåçàõ è êîíòóðàõ.
Ïîñêîëüêó â ñëó÷àå ëèíåéíûõ öåïåé ïðèìåíèì
'
ïðèíöèï íàëîæåíèÿ, âîçäåé-
ñòâèå ìíîæåñòâà èñòî÷íèêîâ ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê ñóììèðîâàíèþ âîçäåéñòâèé
îòäåëüíûõ èñòî÷íèêîâ. Èñõîäÿ èç ýòîé âîçìîæíîñòè, ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó-
÷àé, êîãäà òîëüêî â íåêîòîðîé
k
-é âåòâè öåïè èìååòñÿ èñòî÷íèê ÝÄÑ èëè
òîêà
f
k
(
t
). Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíû îòíîñè-
òåëüíî
k
-é ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèé
õ
k
:
d
x
k
/
dt
=
Ax
k
+
Â
k
f
k
(
t
)
.
Ïóñòü äëÿ
f
k
(
t
) íàéäåíî, èëè èç òàáëèö èçâåñòíî, åãî èçîáðàæåíèå
F
k
(
p
,
t
).
Ïóñòü íåèçâåñòíîå èçîáðàæåíèå ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèé óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæè-
ìà
¢
x
k
t
( ) ñóòü
¢
X
( , )
p t
. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðàâîñòîðîííåå ïðåîáðàçîâàíèå ïðîèçâîä-
Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ
131
íîé ôóíêöèè
f
k
(
t
) èìååò âèä
f
k
(
t
) –
ðF
k
(
p, t
), óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ äëÿ
¢
x
( )
t
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
¢
-
¢
=
¢
+
x
pX
AX
B
k
k
k
k k
t
p t
p t
F p t
( )
( , )
( , )
( , ) èëè
¢
-
+
¢
=
x
A p X
B
k
k
k k
t
p t
F p t
( ) (
) ( , )
( , ).
Åñëè äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà
ð
ñîñòîèò èç íåêðàòíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé
ìàòðèöû
À
,
òî ìîæíî ïðèíÿòü (
À
+
ð
)
=
0, è òîãäà
¢
=
-
x
B
A
k
k k
t
F
t
( )
(
, ).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èñêîìûå óñòàíîâèâøèåñÿ çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèé
ñëîæíîé öåïè ìîæíî çàïèñàòü íåïîñðåäñòâåííî ïî èçîáðàæåíèþ
F
k
(
p, t
), ïîäñòà-
âèâ â íåãî âìåñòî îïåðàòîðà
ð
ìàòðèöó –
À
è óìíîæèâ
F
k
(–
À
, t
) íà
Â
k
ñïðàâà
.
Îêîí÷àòåëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è ïðè íàëè÷èè ìíîæåñòâà èñòî÷íèêîâ ìîæíî çà-
ïèñàòü â âèäå
x
x
B
A
¢
=
¢
=
-
å
å
( )
)
(
, )
t
t
F
t
k
k
k k
k
(
.
Ïðèâëåêàòåëüíîñòü òàêîãî ìåòîäà îïðåäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèé óñòà-
íîâèâøåãîñÿ ðåæèìà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðè íàëè÷èè îôîðìëåííûõ â âèäå
òàáëèö èçîáðàæåíèé
F
k
(
p, t
) ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé çàïèñûâàåòñÿ àâòîìà-
òè÷åñêè â óíèâåðñàëüíîé ìàòðè÷íîé ôîðìå ïóòåì ïðîñòîé çàìåíû â
F
k
(
p, t
) îïå-
ðàòîðà
ð
íà ìàòðèöó ïàðàìåòðîâ –
À
, íî óæå êîíêðåòíîé öåïè. Îäíàêî ðåàëüíàÿ
ñëîæíîñòü ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî äàæå ïðè íàëè÷èè èçî-
áðàæåíèé èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ è òîêîâ íåâîçìîæíî ïðîèçâåñòè êà÷åñòâåííûé àíà-
ëèç îñîáåííîñòåé ïðîöåññîâ â ñèñòåìå, õàðàêòåðèçóåìîé äàæå äâóìÿ ïåðåìåí-
íûìè ñîñòîÿíèÿ, à ïðè èñïîëüçîâàíèè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà ïðèõîäèòñÿ
îïåðèðîâàòü ôóíêöèÿìè îò ìàòðèö
Â
k
F
k
(–
À
, t
). Â îöåíêå áàëàíñà ïðåèìóùåñòâ
è íåäîñòàòêîâ ìåòîäà ñëåäóåò ó÷åñòü è òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî â íàñòîÿùåå âðåìÿ
ïðè àíàëèçå ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé íå èçáåæàòü èñïîëüçîâàíèÿ ÝÂÌ
ñ îáøèðíûì ïðîãðàììíûì îáåñïå÷åíèåì, ñðåäè êîòîðûõ èìååòñÿ äîñòàòî÷íîå
êîëè÷åñòâî ñòàíäàðòíûõ ïðîãðàìì, ïîçâîëÿþùèõ îïåðèðîâàòü øèðîêèì íàáî-
ðîì ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü âû÷èñ-
ëåíèå óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ ïðè ïîìîùè èçëîæåííîãî âûøå ìåòîäà.
12.5. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ñëîæíûõ öåïÿõ
ïðè ïîìîùè ïðàâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà
Èíòåíñèâíîñòü ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà îïðåäåëÿåòñÿ ýíåðãèåé ýëåêòðè÷åñêèõ è
ìàãíèòíûõ ïîëåé, íàêîïëåííûõ â êîíäåíñàòîðàõ è èíäóêòèâíûõ êàòóøêàõ äî
êîììóòàöèè. Ïðè íàëè÷èè ðåçèñòîðîâ â öåïè, ò. å. ïðåâðàùåíèè â íèõ ýíåðãèè
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â èíûå âèäû, íàêîïëåííàÿ â ýòèõ ïîëÿõ ýíåðãèÿ óìåíü-
øàåòñÿ, âñëåäñòâèå ÷åãî â ëèíåéíûõ ñèñòåìàõ ñâîáîäíûå òîêè è íàïðÿæåíèÿ çà-
òóõàþò ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó. Â § 9.2 ïðèâåäåíî ôîðìàëüíîå ðåøåíèå
ìàòðè÷íîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
d
x
/
dt
=
Ax
+
Âv
, çàïèñàííîå â âèäå
x
A x
A
Bv
( ) [exp( )] ( )
[exp( (
)]
( )
t
t
t
d
t
=
+
-
ò
0
0
t
t t
.
(*)
 ýòîì ðåøåíèè ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òàê íàçûâàåìîå ñâîáîä-
íîå ðåøåíèå, ò. å. òó ñîñòàâëÿþùóþ ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ, êîòîðàÿ ïîðîæäàåòñÿ
132
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé