Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003
íàêîïëåííîé â ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòàõ öåïè ýíåðãèåé. Âòîðàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ îò-
ðàæàåò ïðèíóæäåííóþ ðåàêöèþ öåïè íà âîçäåéñòâèå èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ è òîêîâ.
Ïðåäñòàâëåíèå ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå â âèäå
x
k
t
( )
=
= ¢¢
+ ¢
x
x
k
k
t
t
( )
( ) äàåò âîçìîæíîñòü çàïèñàòü óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ â âèäå
d
dt
+
f t
d
dt d
dt
+
f t
k
k
k k
k
k
k
k
k k
x
Ax B
x
x
Ax
Ax B
=
=
¢
+
¢¢
=
¢ +
¢¢
( )
( ),
è ïðåäëîæèòü åùå îäèí ñïîñîá ðàñ÷åòà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà â ñëîæíûõ öåïÿõ.
Ïîñêîëüêó ïåðåìåííûå ñîñòîÿíèÿ äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
x
k
(–0)
=
x
k
(+0), òî ìîæíî çàïèñàòü
x
x
x
x
k
k
k
k
( )
( )
( )
( )
- =
+ = ¢ + + ¢¢ +
0
0
0
0 èëè
¢¢ + =
- - ¢ +
x
x
x
k
k
k
( )
( )
( ).
0
0
0
Åñëè
¢
x
k
t
( ) îïðåäåëåíî ÷åðåç èçîáðàæåíèå ïðàâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà
¢
=
-
x
B
A
k
k k
t
F
t
( )
(
, ), òî
¢ + =
-
x
B
A
k
k k
F
( )
(
, )
0
0 è
¢¢ +
x
k
( )
0 ìîæíî îïðåäåëèòü ïðè ïî-
ìîùè âûðàæåíèÿ
¢¢ + =
- -
-
x
x
B
A
k
k
k k
F
( )
( )
(
, )
0
0
0 .
Ïîäñòàâëÿÿ â
x
x
x
k
k
k
t
t
t
( )
( )
( )
= ¢¢
+ ¢
âûðàæåíèÿ äëÿ
¢¢
x
k
t
( ) è
¢
x
k
t
( ), ìîæíî çàïè-
ñàòü
x
k
(
t
)
=
e
t
A
[
x
k
(–0) –
Â
k
F
k
(–
À
,
0)] +
Â
k
F
k
(–
À
,
t
) è
x
x
( )
)
t
t
k
=
å
(
,
(**)
ò. å. ïîëó÷èòü îáùåå ðåøåíèå ìàòðè÷íîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â ôîð-
ìå, èñêëþ÷àþùåé îïåðàöèþ èíòåãðèðîâàíèÿ.
Âàæíûì ïðåèìóùåñòâîì òàêîãî ñïîñîáà ðåøåíèÿ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü èñêëþ÷åíèÿ ïðîöåäóðû ïîøàãîâîãî èí-
òåãðèðîâàíèÿ è èñïîëüçîâàíèÿ øèðîêîãî ñïåêòðà âîçäåéñòâóþùèõ ôóíêöèé
â âèäå òàáëèö èçîáðàæåíèé
F
k
(
p, t
). Äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ïî ýòîìó
ìåòîäó ñëåäóåò ïðåäâàðèòåëüíî ðàññ÷èòàòü èçîáðàæåíèÿ ôóíêöèé, îïðåäåëÿþ-
ùèõ ÝÄÑ è òîêè. Èìåííî ïðåäâàðèòåëüíî ðàññ÷èòàííûå ïðè ïîìîùè ïðàâîãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà èçîáðàæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îñíîâîé äàííîé ìåòîäèêè.
Äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà â êîíêðåòíîé öåïè ñëåäóåò ëèøü ñîñòàâèòü
ìàòðèöó
À
ïàðàìåòðîâ óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèé äàííîé öåïè è, çàìåíèâ îïåðàòîð
ð
â èçîáðàæåíè
F
k
(
p, t
) íà –
À
, îïðåäåëèòü óñòàíîâèâøååñÿ çíà÷åíèå ôóíêöèè
¢
=
-
x
B
A
k
k k
t
F
t
( )
(
, ). Ïðè òàêîé çàìåíå äëÿ èñêîìûõ ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ ïðî-
èñõîäèò ïåðåõîä îò îðäèíàðíûõ ôóíêöèé âðåìåíè ê ìàòðè÷íûì.
Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ, òàêæå êàê è óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ, ñëîæ-
íûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, êàê ïðàâèëî, ïðîèçâîäèòñÿ ïðè ïîìîùè ÝÂÌ ñ áîëü-
øèì ïàêåòîì ñòàíäàðòíûõ ïðîãðàìì, â òîì ÷èñëå è ñ ïðîãðàììàìè, îïåðèðóþ-
ùèìè ìàòðè÷íûìè ôóíêöèÿìè. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïåðåõîä îò ïîøàãîâîãî
èíòåãðèðîâàíèÿ äëÿ ðàñ÷åòà óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà ê îïåðàöèÿì ñ ìàòðè÷íû-
ìè ôóíêöèÿìè ÿâëÿåòñÿ áîëüøèì ïðåèìóùåñòâîì. Ýòî ïðåèìóùåñòâî ñòàíîâèò-
ñÿ ðåøàþùèì â çàäà÷àõ, ãäå öåëüþ ïîøàãîâîãî èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (*)
ÿâëÿåòñÿ âûõîä íà óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì.
 îïèñàííîé ìåòîäèêå ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ-
íåíèé ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé (à òàêæå èíûõ ñèñòåì ñ àíàëîãè÷íûìè
óðàâíåíèÿìè) âàæíîå ìåñòî, ïîìèìî îïåðàöèé ñ ôóíêöèÿìè îò ìàòðèö
F
k
(–
À
, t
),
çàíèìàåò âû÷èñëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû
e
t
A
. Ñóòü ïðîáëåìû çàêëþ÷àåòñÿ
Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ
133
â òîì, ÷òî íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå
e
t
A
ïðè ïîìîùè ðàçëîæåíèÿ
e
t
A
â ðÿä,
e
t
q
t
q q
q
A
A
=
=
¥
å
!
0
, ñ âû÷èñëèòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ íåýôôåêòèâåí ïðè áîëüøèõ
t
, òàê
êàê ïî ìåðå ðîñòà
t
íåîáõîäèìî óâåëè÷èâàòü êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ äëÿ ñîõðà-
íåíèÿ òðåáóåìîé òî÷íîñòè ðàñ÷åòà. Ïî ýòîé ïðè÷èíå âàæíåéøèì òðåáîâàíèåì
îðãàíèçàöèè ïðîöåññà ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû ÿâëÿåòñÿ ñî-
÷åòàíèå òî÷íîñòè ðàñ÷åòà ñ ýôôåêòèâíîñòüþ ïðîöåññà âû÷èñëåíèÿ.  ñëó÷àå ìàò-
ðèöû
À
ñ î÷åíü ìàëûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè áîëü-
øèì ïîñòîÿííûì âðåìåíè, ïîâûøåíèå òî÷íîñòè ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ âðåìå-
íè ðàñ÷åòà. Äåéñòâèòåëüíî, ìîæíî ïîäîáðàòü òàêîé âðåìåííîé øàã
h
, ïðè êî-
òîðîì
e
h
q
h
q q
q
A
A
=
=
å
!
0
l
îáåñïå÷èò æåëàåìóþ òî÷íîñòü âû÷èñëåíèÿ è ïðè ìàëîì
êîëè÷åñòâå ñëàãàåìûõ ðÿäà. Îäíàêî òàêîé øàã èíòåãðèðîâàíèÿ â âûðàæåíèè (*)
è ïðè âû÷èñëåíèè
e
t
A
ïðèâåäåò ê íåæåëàòåëüíîìó è â áîëüøèíñòâå ñëó÷àå íå-
ïðèåìëåìîìó óäëèíåíèþ âðåìåíè ðàñ÷åòà.
Èçÿùíûé ìåòîä ðåøåíèÿ (*), óæå èñïîëüçîâàâøèéñÿ â § 9.17, ïðåäëîæèë
Þ. Â. Ðàêèòñêèé.  ÷àñòè âû÷èñëåíèÿ
e
t
A
îí çàêëþ÷àåòñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîì
óäâîåíèè íà÷àëüíîãî øàãà
h
äî çíà÷èòåëüíî áîëüøåãî øàãà
H
h
N
=
2 , ïðè êîòî-
ðîì ðåøåíèå äîñòèãàåòñÿ çà ïðèåìëåìîå âðåìÿ. Äëÿ ýòîé öåëè èì ïðåäëîæåíû
ôîðìóëû, ïîçâîëÿþùèå âûïîëíèòü ïîñëåäîâàòåëüíîå óâåëè÷åíèå øàãà
h
äî çíà-
÷åíèÿ
H
h
N
=
2
.
Åñëè îáîçíà÷èòü
jj
l
0
0
=
=
=
å
e
h
q
h
q q
q
A
A
!
, òî óäâîåííîìó øàãó
h
ñîîòâåòñòâóåò
jj
jj
1
0
2
=
èëè
e
h
A
2
. Ïðîèçâåäÿ 2
N
ðåêóððåíòíûõ ðàñ÷åòîâ, ñî-
ñòîÿùèõ èç îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ìàòðèö, ìîæíî íàéòè çíà÷åíèå ìàòðèöû
e
e
H
N
h
N
A
A
=
=
jj
2
. Îïðåäåëèâ
e
H
A
ëåãêî èñïîëüçîâàòü òå æå ðåêêóðåíòíûå ñîîò-
íîøåíèÿ äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî âû÷èñëåíèÿ
e
t
A
â æåëàåìûå ìîìåíòû âðåìåíè,
êðàòíûå
H
.
12.6. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè
èìïóëüñíûõ ÝÄÑ ìåòîäîì ïðàâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà
 §§ 9.10 è 12.2 ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå îñîáåííîñòè ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ
öåïÿõ ñ áåñêîíå÷íî áîëüøèìè èìïóëüñíûìè òîêàìè è íàïðÿæåíèÿìè. Òàì æå
áûëî óêàçàíî, ÷òî òàêèå òîêè è íàïðÿæåíèÿ ïîÿâëÿþòñÿ â ðåçóëüòàòå ôèçè÷åñêè
íåðåàëèçóåìûõ äîïóùåíèé, íàïðèìåð ìãíîâåííîãî õàðàêòåðà ïðîöåññà êîììó-
òàöèè, ïðåíåáðåæåíèÿ èíäóêòèâíîñòÿìè è åìêîñòÿìè îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ è
ó÷àñòêîâ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Òàêîãî ðîäà äîïóùåíèÿ â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïî-
çâîëÿþò óïðîñòèòü çàäà÷ó ðàñ÷åòà öåïåé è íåðåäêî èñïîëüçóþòñÿ íà ïðàêòèêå.
Ðàññìîòðèì îñîáåííîñòè ðàñ÷åòà öåïåé, äëÿ êîòîðûõ õàðàêòåðíî íàëè÷èå â íèõ
áåñêîíå÷íûõ, ò. å. â êîëè÷åñòâåííîì îòíîøåíèè íåîïðåäåëåííûõ òîêîâ è íàïðÿ-
æåíèé. Íåîïðåäåëåííîñòü àìïëèòóäûõ çíà÷åíèé èìïóëüñîâ çàñòàâëÿåò îïåðè-
ðîâàòü ñî ñâÿçàííûìè ñ íèìè îïðåäåëåííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè.
Èìïóëüñíûå òîêè è ÝÄÑ êîëè÷åñòâåííî îäíîçíà÷íî ìîãóò áûòü õàðàêòåðè-
çîâàíû âåëè÷èíàìè èõ ïëîùàäåé. Ïëîùàäü èìïóëüñà òîêà êîíå÷íà è ðàâíà èíòå-
134
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
ãðàëó
idt i
t
t
0
0
D
D
ò
» ® ¥
®
(
) (
) è îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò êîëè÷åñòâî ñâÿçàííîãî ñ
ýòèì èìïóëüñîì çàðÿäà
Q.
 çàìêíóòîì êîíòóðå, ñîäåðæàùåì ðåçèñòîðû è êîí-
äåíñàòîðû, ïðîõîæäåíèå èìïóëüñà òîêà ÷åðåç êîíäåíñàòîð èçìåíÿåò åãî çàðÿä íà
êîíå÷íóþ âåëè÷èíó
i
t
Q
(
) (
)
® ¥
®
=
D
D
0
. Â çàìêíóòîì êîíòóðå, ñîñòîÿùåì èç
ðåçèñòîðîâ è èíäóêòèâíûõ êàòóøåê, èìïóëüñ ÝÄÑ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò èçìå-
íåíèå ïîòîêîñöåïëåíèÿ
Y
êîíòóðà, ò. å. ñóììû ïîòîêîñöåïëåíèé èíäóêòèâíûõ
êàòóøåê, íà êîíå÷íóþ âåëè÷èíó
e
t
(
) (
)
® ¥
®
=
D
DY
0
. Ñîãëàñíî ôàðàäååâñêîé
ôîðìóëèðîâêå çàêîíà ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè (ñì. § 1.10)
DY = D
r Q
, èì-
ïóëüñ ÝÄÑ â çàìêíóòîì êîíòóðå ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ èìïóëüñà òîêà, çàâèñÿ-
ùåãî îò ñîïðîòèâëåíèÿ
r
êîíòóðà
.
Ñëåäîâàòåëüíî, ðàñ÷åò öåïåé ñ èìïóëüñíûìè
èñòî÷íèêàìè òîêà è ÝÄÑ ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïëîùàäåé èì-
ïóëüñíûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé âåòâåé öåïè. Â ðåçèñòèâíûõ öåïÿõ òîêè è íàïðÿ-
æåíèÿ âåòâåé ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïðè ïîìîùè èçâåñòíûõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà öåïåé
èìåÿ â âèäó, ÷òî îíè îäíîçíà÷íî õàðàêòåðèçóþòñÿ èõ êîíå÷íûìè ïëîùàäÿìè.
Äëÿ ðåçèñòèâíûõ öåïåé òîêè è íàïðÿæåíèÿ â öåïè ðàâíû íóëþ âî âñåì èíòåðâà-
ëå âðåìåíè, êðîìå èíòåðâàëîâ
D
t
(
)
®
0 âîçäåéñòâèÿ èìïóëüñíûõ ÝÄÑ è òîêîâ.
 öåïÿõ ñ èíäóêòèâíûìè êàòóøêàìè è êîíäåíñàòîðàìè èìïóëüñíûå òîêè è
íàïðÿæåíèÿ ñêà÷êîîáðàçíî íà êîíå÷íóþ âåëè÷èíó ìåíÿþò òîêè èíäóêòèâíûõ
êàòóøåê è íàïðÿæåíèÿ êîíäåíñàòîðîâ. Ýòè èçìåíåíèÿ ïðîèñõîäÿò â ïåðâîé,
äëÿùåéñÿ â òå÷åíèå âðåìåíè
D
t
(
)
®
0 , èìïóëüñíîé ôàçå ïðîöåññà. Ýòîò ïðîöåññ
ïðèâîäèò òàêæå ê ñêà÷êîîáðàçíîìó èçìåíåíèþ ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ èíäóê-
òèâíûõ êàòóøåê è ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ êîíäåíñàòîðîâ. Ñïóñòÿ âðåìÿ
D
t
(
)
®
0
íàñòóïàåò âòîðàÿ ôàçà ïðîöåññà, â òå÷åíèå êîòîðîé ó÷àñòêè öåïè ñ èñòî÷íèêàìè
èìïóëüñíûõ ÝÄÑ îêàçûâàþòñÿ êàê áû êîðîòêîçàìêíóòûìè, ïîñêîëüêó íà ýòèõ
ó÷àñòêàõ ÝÄÑ è, ñîîòâåòñòâåííî, ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ ðàâíû íóëþ, à ó÷àñòêè
öåïè ñ èìïóëüñíûìè èñòî÷íèêàìè òîêà — ðàçîìêíóòûìè, ïîñêîëüêó òîêè â íèõ
ðàâíû íóëþ. Âî âòîðîé ôàçå èìïóëüñíûå ÝÄÑ è òîêè ðàâíû íóëþ è ïðîöåññ â
öåïè ïîääåðæèâàåòñÿ ñêà÷êîîáðàçíî ïîÿâèâøåéñÿ ïîñëå ïåðâîé ôàçû ýíåðãèåé
ìàãíèòíûõ ïîëåé èíäóêòèâíûõ êàòóøåê è ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé êîíäåíñàòîðîâ.
Ýòà ýíåðãèÿ îïðåäåëÿåò ìàòðèöó íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèé
öåïè
x
(0), à òàêæå ñâîáîäíûå òîêè è íàïðÿæåíèÿ ìàòðèöû
x
(
t
). Ïðè íàëè÷èè ðå-
çèñòèâíûõ ýëåìåíòîâ ïðîöåññ â öåïè íîñèò çàòóõàþùèé õàðàêòåð è ñâîáîäíûå
òîêè è íàïðÿæåíèÿ ìîãóò áûòü ðàññ÷èòàíû ïî ôîðìóëå
x
(
t
)
=
[exp(
A
t
)]·
x
(0).
Ñêàçàííîå îòíîñèëîñü ê ñëó÷àþ îäèíî÷íîãî èìïóëüñà. Åñëè èìïóëüñû èñòî÷íè-
êîâ ÝÄÑ è òîêîâ ïîâòîðÿþòñÿ âî âðåìåíè ïî íåêîòîðîìó çàêîíó, òî òàêîé ïðî-
öåññ ìîæåò áûòü ðàññ÷èòàí ïðè ïîìîùè ïðàâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà.
Ðàñ÷åò ïðîöåññîâ â öåïÿõ ñ èñòî÷íèêàìè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ è òîêîâ â îáùåì
ñëó÷àå, â ñâåòå èçëîæåííîãî â § 12.5, òàêæå ñâîäèòñÿ òîëüêî ê íàõîæäåíèþ èçî-
áðàæåíèÿ âîçäåéñòâóþùåé íà öåïü èìïóëüñíîé ôóíêöèè.  êà÷åñòâå ïðèìåðà
ðàññìîòðèì ðàñ÷åò óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà â öåïè
r, C
ïðè âîçäåéñòâèè ÝÄÑ
â âèäå çíàêîïåðåìåííûõ èìïóëüñîâ, îòñòîÿùèõ äðóã îò äðóãà íà èíòåðâàë
Ò
/2.
Òàêàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå
f t t
f t
t
t T
( ) ( )
( )[ ( )
(
)],
d
d
d
=
¢ -
¢ -
2
Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ
135
ãäå
f
(
t
) — íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëÿþùàÿ ïëîùàäü èìïóëüñà,
d
(
t
) — åäèíè÷-
íàÿ èìïóëüñíàÿ ôóíêöèÿ ñ ïëîùàäüþ ðàâíîé åäèíèöå,
¢ = -
t
t
E t
2
2
( ), à
E
(
t
/2) —
öåëàÿ ÷àñòü àðãóìåíòà
t
/2.
Ïðàâîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà
d
(
t
) â ïåðâîì èíòåðâàëå 0 –
Ò
/2 èìååò âèä
D
( , )
[
(
)].
p t
e
e
pt
pT
=
-
+
-
1 1 1
2
Âû÷èñëèì óñòàíîâèâøååñÿ çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå â öåïè
r, C,
äëÿ êîòîðîé óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ èìååò âèä
du
C
/
dt
=
Àu
C
+ Âu
(
t
)
=
–
u
C
/
rC + u
(
t
)/
rC.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ
U
(
p
,
t
) ñëåäóåò ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå, ÷òî
D
(
p
,
t
) ÿâëÿåòñÿ
èçîáðàæåíèåì èìïóëüñíîé ôóíêöèè ñ
Ê
=
Å
D
t
=
1 (ñì. § 12.2). Äëÿ ïåðåõîäà îò
D
(
p
,
t
) ê èçîáðàæåíèþ ôóíêöèè
u
(
t
) íåîáõîäèìî ëèáî çàðàíåå çàäàòü çíà÷åíèå
ïëîùàäè èìïóëüñà, ëèáî îïðåäåëèòü åe ïðè ïîìîùè äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé.
Ïóñòü ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ èìïóëüñà òîêà áåñêîíå÷íîé âåëè÷èíû êîíäåíñàòîð
çàðÿæàåòñÿ äî çíà÷åíèÿ
U
0
. Îïðåäåëèì ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîìó óñëîâèþ ïëî-
ùàäü èìïóëüñíîé ôóíêöèè
f
(
t
)
d
(
t
). Ýòà ïëîùàäü ðàâíà
U t U
x
x
D
(
® ¥
è
D
t
®
0)
.
 òå÷åíèå ïðîìåæóòêà âðåìåíè
D
t
®
0 ïî êîíäåíñàòîðó ïðîòåêàåò òîê
U r i
x
= ® ¥
, ïðèâîäÿùèé ê ñêà÷êîîáðàçíîìó ðîñòó çàðÿäà êîíäåíñàòîðà íà âå-
ëè÷èíó
Q
. Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
U t
tU r r
tir
x
x
D
D
D
=
=
. Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî
Q
ti U C
=
=
D
0
ìîæíî îïðåäåëèòü ïëîùàäü èìïóëüñà
U t U rC
x
D =
0
. Òîãäà
U
(
ð
,
t
)
=
= D
( , )
p t U rC
0
èëè
U p t
U rCe
e
pt
pT
( , )
[
(
)].
=
-
+
-
0
2
1 1 1
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ
¢
u t
C
( ) äîñòàòî÷íî â
U
(
p
,
t
) çàìåíèòü
ð
=
–À
=
–(–1/
rC
)
= =
1/
rC
è óìíîæèòü íà êîýôôèöèåíò 1/
rC
ïðè
u
(
t
). Òîãäà â èíòåðâàëå 0 <
t
<
T
/2
¢
=
=
-
+
=
+
-
- -
u t
U rC t rC U e
e
U e
C
pt
pT
t T
rC
( )
(
, )
[
(
)]
1
1 1 1
1
0
2
0
2
e
T
rC
2
èëè
¢
=
+
-
-
u t
U e
e
C
t
rC
T
rC
( )
0
2
1
.
Âî âòîðîì ïîëóïåðèîäå
¢
u t
C
( ) âñëåäñòâèå àñèììåòðè÷íîñòè ôóíêöèé
d
(
t
) è
¢
u t
C
( )
èìååò ìåñòî óñëîâèå
¢ +
= - ¢
u t T
u t
C
C
(
)
( )
2
, è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè
T
/2 <
t
<
T
¢
= -
+
- -
u t
U e
e
C
t T
rC
T
rC
( )
0
2
1
.
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ðåøåíèå äëÿ
¢
u t
C
( ) â ïåðâîì ïîëóïåðèîäå ìîæåò áûòü
èñïîëüçîâàíî äëÿ ðàñ÷åòà ïðîöåññà ïðè âîçäåéñòâèè îäèíî÷íîãî èìïóëüñà. Äëÿ
ýòîãî äîñòàòî÷íî â âûðàæåíèå äëÿ
¢
u t
C
( ) ïîäñòàâèòü
T
® ¥
, è òîãäà
¢
=
-
u t
U
t rC
C
( )
exp(
).
0
Ðåøåíèå ýòîé ïðîñòåéøåé çàäà÷è ìîæíî ïîëó÷èòü è ïðè ïîìîùè ñëåäóþùèõ
ñîîáðàæåíèé. Â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå ïðè ïîëîæèòåëüíîì èìïóëüñå
u
(
t
) íà-
ïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå
¢
u t
C
( ) ñêà÷êîîáðàçíî ìåíÿåòñÿ íà âåëè÷èíó
U
0
îò íå-
êîòîðîãî çíà÷åíèÿ –
U
1
äî
U
2
, à ïðè îòðèöàòåëüíîì èìïóëüñå — îò
U
1
äî –
U
2
.
136
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Çàòåì â ïðîöåññå ðàçðÿäà, êîãäà ÝÄÑ ðàâíà íóëþ (öåïü íà âõîäíûõ çàæèìàõ êàê
áû êîðîòêîçàìêíóòà), íàïðÿæåíèå
U
2
óìåíüøàåòñÿ ïî çàêîíó
U e
t rC
2
-
äî çíà÷å-
íèÿ
U
U e
T rC
1
2
2
=
-
. Ïîñêîëüêó
U
2
+ U
1
=
U
0
, òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
U
1
=
(
U
0
–
U
1
)
e
T rC
-
2
èëè
U
e
U
T rC
1
2
0
1
(
)
.
+
=
Òîãäà â èíòåðâàëå 0 <
t
<
T
/2
¢
=
-
+
-
u t
U
e
e
C
T rC
t rC
( )
(
(
))
0
2
1 1 1
èëè
¢
=
+
- -
u t
U e
e
C
t T
rC
T
rC
( )
0
2
2
1
.
 êà÷åñòâå áîëåå ñëîæíîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì ïðîöåññû â öåïè ñ äâóìÿ
êîíäåíñàòîðàìè (ðèñ. 12.10). Ìàòðèöà ñîåäèíåíèé
A
ýòîé öåïè èìååò âèä(ñì.
§ 9.12)
E
C
1
C
2
r
3
r
4
1
1
–1
–1
2
–1
1
1
3
1
–1
Ìàòðèöà êîíòóðíûõ ñîåäèíåíèé
F
äëÿ äâóõ êîíòóðîâ, îáðàçîâàííûõ äâóìÿ
âåòâÿìè ñâÿçè (âåòâü
3
ñ ðåçèñòîðîì
r
3
è âåòâü
4
ñ ðåçèñòîðîì
r
4
), èìååò âèä
Å
C
1
C
2
3
(
r
3
)
–1
4
(
r
4
)
1
1
1
Ñîãëàñíî ïðèâåäåííûì â § 9.13 ôîðìóëàì, äëÿ
F
GC
ìîæíî çàïèñàòü
–1
1
1
Äëÿ îñòàëüíûõ ìàòðèö èìååì:
F
GÅ
=
| 0,1|
t
,
R
=
diag(
r
3
,
r
4
),
C
=
diag(
C
1
,
C
2
),
A
B
C A
1
4
4
4
4
4
1
4
4
1
1
4 1
4 1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
=
+
=
=
-
r
r
r
r
r
r
r
r C
r C
r
,
,
4 2
4
3
4 3 2
C
r
r
r r C
+
.
Ïðîèçâåäÿ âñå ìàòðè÷íûå îïåðàöèè äëÿ íàïðÿæåíèé äâóõ íàêîïèòåëåé ýíåð-
ãèè
u
1
è
u
2
, ìîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèé
d
dt
u
u
r C
r C
r C
r
r
r r C
u
u
r C
r C
1
2
4 1
4 1
4 2
4
3
4 3 2
1
2
4 1
4 2
1
1
1
1
0
1
=
+
+
0
1
0
u
Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ
137
Ðèñ. 12.10