Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003
òàê êàê
¶j
¶
¶j
¶x
¶y
¶
¶y
¶h
x
x
=
=
è
,
è, ïðîèíòåãðèðîâàâ, íàéäåì
i
C
L
x vt
x vt
f t
1
=
-
-
+
+
[ (
)
(
)
( )].
j
y
 âûðàæåíèè äëÿ
i
1
ìîæåò ñîäåðæàòüñÿ ôóíêöèÿ
f
(
t
) òîëüêî îò
t
, òàê êàê
¶
¶
x
f t
( )
.
=
0 Äëÿ îïðåäåëåíèÿ
f
(
t
) ïîäñòàâèì íàéäåííûå äëÿ
u
1
è
i
1
çíà÷åíèÿ
â óðàâíåíèå
-
=
¶
¶
¶
¶
u
x
L i
t
1
1
è òîãäà ïîëó÷èì
¶
¶
f(t)
t
=
0. Ñëåäîâàòåëüíî,
f
(
t
)
=
A
=
=
const. Îäíàêî ìîæíî ïîëîæèòü
A
=
0, òàê êàê ïðè
A
¹
0 ìû ìîãëè áû ââåñòè
âìåñòî
j
è
y
ôóíêöèè
j
1
= j
+
A
/2 è
y
1
= y
–
A
/2, ïîñëå ÷åãî ïîëó÷èëèñü áû âû-
ðàæåíèÿ äëÿ
u
1
è
i
1
, â êîòîðûå ïîñòîÿííàÿ
A
íå âõîäèò ÿâíî. Ïîýòîìó ìîæåì íà-
ïèñàòü
i
C
L
x vt
x vt
1
=
-
-
+
[ (
)
(
)]
j
y
,
è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ òîêà
i
â ëèíèè ïîëó÷èì
i
C
L
x vt
x vt e
t
=
-
-
+
-
[ (
)
(
)]
,
j
y
d
ãäå
L C
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé, êàê èçâåñòíî èç ïðåäûäóùåãî, âîëíîâîå ñîïðîòèâ-
ëåíèå íåèñêàæàþùåé ëèíèè.
Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ íàïðÿæåíèÿ
u
è òîêà
i
ìîæíî ïðèâåñòè ê èíîìó
âèäó, ïðèíÿâ âî âíèìàíèå, ÷òî
d
a
d
a
2
2 2
=
=
=
r
L
g
C
v
t
vt
è
,
ãäå
a =
rg —
êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ íåèñêàæàþùåé ëèíèè (ñì. § 17.6), è ÷òî,
ñëåäîâàòåëüíî,
e
e
e
e
e
e
t
vt
x vt
x
x vt
x
-
-
-
-
-
+
=
=
=
d
a
a
a
a
a
(
)
(
)
.
Íà îñíîâàíèè ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ âûðàæåíèÿ äëÿ
u
è
i
ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå
u
x vt e
x vt e
i
C
L
x vt e
x vt e
x
x
x
=
-
+
+
=
-
-
+
-
-
j
y
j
y
a
a
a
(
)
(
)
;
[ (
)
(
)
a
x
],
ïðè÷åì ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ôóíêöèè
j
è
y
â ýòèõ âûðàæåíèÿõ îòëè÷àþòñÿ
îò
j
è
y
â ïðåäûäóùèõ âûðàæåíèÿõ äëÿ íàïðÿæåíèÿ è òîêà, ñîîòâåòñòâåííî,
ìíîæèòåëÿìè
e
a
(
x
–
vt
)
è
e
–
a
(
x
+
vt
)
.
Çàìåòèì, ÷òî ìû ïîëó÷èëè òîëüêî îáùèé âèä ðåøåíèÿ, îïðåäåëÿþùèé õàðàê-
òåð ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè íàïðÿæåíèÿ è òîêà îò
x
è
t.
Êîíêðåòíûé âèä
Ãëàâà 18. Öåïè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ïðè ïåðåõîäíûõ ïðîöåññàõ
293
ôóíêöèé
j
(
x
–
vt
) è
y
(
x
+
vt
) áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ êîíêðåòíûìè óñëîâèÿìè çàäà-
÷è. Íåêîòîðûå ïðîñòûå ïðèìåðû áóäóò ðàññìîòðåíû äàëüøå. Âìåñòå ñ òåì óæå
èç ïîëó÷åííûõ îáùèõ âûðàæåíèé äëÿ íàïðÿæåíèÿ è òîêà ìîæíî ñäåëàòü âàæ-
íûå âûâîäû î ôèçè÷åñêîì ñìûñëå ÷ëåíîâ, îáðàçóþùèõ ýòè âûðàæåíèÿ, ÷òî è áó-
äåò ñäåëàíî â § 18.4.
18.3. Ðåøåíèå óðàâíåíèé îäíîðîäíîé íåèñêàæàþùåé ëèíèè
ïðè ïåðåõîäíîì ïðîöåññå îïåðàòîðíûì ìåòîäîì
Ïîêàæåì òàêæå ïðèìåíåíèå îïåðàòîðíîãî ìåòîäà äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ óðàâ-
íåíèé îäíîðîäíîé ëèíèè ïðè ïåðåõîäíîì ïðîöåññå.
Òàê êàê íàïðÿæåíèå è òîê ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè äâóõ ïåðåìåííûõ
t
è
x
, òî èõ
îïåðàòîðíûå èçîáðàæåíèÿ áóäóò ôóíêöèÿìè îïåðàòîðà
p
è
x:
u t x
U p x
u t x e dt
i t x
I p x
i t x
pt
( , )
( , )
( , )
;
( , )
( , )
( , )
Þ
=
Þ
=
-
¥
ò
0
e dt
pt
-
¥
ò
0
.
Ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè îò íàïðÿæåíèÿ èçîáðàæàåòñÿ â âèäå
¶
¶
u
t
pU p x
u x
Þ
-
( , )
( , ),
0
ãäå
u
(0,
x
)
—
ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèÿ âäîëü ëèíèè ïðè
t
=
0. Ïðîèçâîäíàÿ
îò íàïðÿæåíèÿ ïî
x
¶
¶
u
x
d
dx
U p x
Þ
( , ).
Ñîîòâåòñòâåííî, èçîáðàæåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíûõ òîêà áóäóò
¶
¶
¶
¶
i
t
pI p x
i
x
i
x
d
dx
I p x
Þ
-
Þ
( , )
( , );
( , ).
0
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ îäíîðîäíîé ëèíèè
-
= +
-
=
+
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
u
x
ri L i
t
i
x
gu C u
t
;
â îïåðàòîðíîé ôîðìå ïðèíèìàþò âèä
-
=
+
-
-
=
dU p x
dx
rI p x
pLI p x
Li x
dI p x
dx
gU
( , )
( , )
( , )
( , );
( , )
(
0
p x
pCU p x
Cu x
, )
( , )
( , ).
+
-
0
Ñóùåñòâåííî çàìåòèòü, ÷òî óðàâíåíèÿ äëÿ îïåðàòîðíûõ èçîáðàæåíèé
U
(
p
,
x
)
è
I
(
p
,
x
) ÿâëÿþòñÿ îáûêíîâåííûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, òàê êàê
îíè ñîäåðæàò ëèøü îäíó ïåðåìåííóþ
x
. Â ýòîì îòíîøåíèè èìååì îïðåäåëåííóþ
àíàëîãèþ ñ óðàâíåíèÿìè ëèíèè, çàïèñàííûìè â êîìïëåêñíîé ôîðìå ïðè ñèíó-
ñîèäàëüíîì ïðîöåññå.
294
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðåøàÿ ñîâìåñòíî ýòè óðàâíåíèÿ ïðè çàäàííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ (ïðè
x
=
0
è
x
=
l
), ìîæåì íàéòè îïåðàòîðíûå èçîáðàæåíèÿ
U
(
p
,
x
) è
I
(
p
,
x
), à ïî íèì è îðè-
ãèíàëû
u
(
t
,
x
) è
i
(
t
,
x
) íàïðÿæåíèÿ è òîêà.
Ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ [
u
(0,
x
)
=
0 è
i
(0,
x
)
=
0] óðàâíåíèÿ ïðèíè-
ìàþò âèä
-
=
+
-
=
+
dU p x
dx
r pL I p x
dI p x
dx
g pC U p x
( , ) (
) ( , );
( , ) (
) ( , ).
Äèôôåðåíöèðóÿ ïåðâîå ïî
x
è èñïîëüçóÿ âòîðîå, íàõîäèì
d U p x
dx
U p x
r pL g pC
2
2
2
( , )
( , ),
(
)(
).
=
=
+
+
g
g
ãäå
Ðåøåíèå ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä
U p x
A e
A e
x
x
( , )
,
=
+
-
1
2
g
g
ãäå
A
1
è
A
2
íå çàâèñÿò îò
x
, íî ìîãóò áûòü ôóíêöèÿìè îò
p
, ò. å.
A
1
=
F
1
(
p
)
è
A
2
=
F
2
(
p
).
Äëÿ îïåðàòîðíîãî èçîáðàæåíèÿ òîêà ïîëó÷àåì
I p x
r pL
dU p x
dx
r pL
A e
A e
g pC
r
x
x
( , )
( , )
(
)
= -
+
=
+
-
=
=
+
+
-
1
1
2
g
g
g
pL
A e
A e
Z p
A e
A e
x
x
x
x
(
)
( )
(
).
1
2
1
2
1
-
-
-
=
-
g
g
g
g
Âåëè÷èíà
Z p
r pL
g pC
( )
=
+
+
ÿâëÿåòñÿ
îïåðàòîðíûì âîëíîâûì
(õàðàêòåðèñòè÷å-
ñêèì)
ñîïðîòèâëåíèåì
ëèíèè.
Âåëè÷èíà
g =
(
)(
)
r pL g pC
+
+
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
îïåðàòîðíîå âûðàæåíèå
êîýôôèöèåíòà ðàñïðîñòðàíåíèÿ.
Ðåøåíèå ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ äëÿ íåèñêàæàþùåé ëèíèè, äëÿ êîòîðîé
r
/
L
=
g
/
C
, è, ñëåäîâàòåëüíî,
Z p
L
C
rg p LC
p
v
( )
.
=
=
+
= +
è
g
a
Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå äëÿ îïåðàòîðíûõ èçîáðàæåíèé íàïðÿ-
æåíèÿ è òîêà ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå
U p x
F p e
e
F p e
e
p x
v
x
p x
v
x
( , )
( )
( )
=
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
+
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
-
-
1
2
a
a
;
( , )
( )
( )
I p x
C
L
F p e
e
C
L
F p e
p x
v
x
p x
v
=
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
-
é
ë
ê
ê
ù
û
-
-
1
2
a
ú
ú
e
x
a
.
Îðèãèíàë ôóíêöèè îò
p
, ñòîÿùèé ïðè ìíîæèòåëå
e
–
a
x
, ìîæíî ïîëó÷èòü, ïðè-
ìåíÿÿ ôîðìóëó Ðèìàíà—Ìåëëèíà (ñì. § 11.5)
Ãëàâà 18. Öåïè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ïðè ïåðåõîäíûõ ïðîöåññàõ
295
j
p
p
( , )
( )
t x
j
F p e
e dp
j
F
p x
v
pt
c j
c j
=
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
=
-
- ¥
+ ¥
ò
1
2
1
2
1
1
( )
.
(
)
p e
dp
p
v
x vt
c j
c j
-
-
- ¥
+ ¥
ò
1
Èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ âèäíî, ÷òî
j
(
t
,
x
) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé àðãóìåí-
òà
x
–
vt
, òàê êàê
x
è
t
âõîäÿò ñîâìåñòíî òîëüêî â òàêîé êîìáèíàöèè, ò. å.
j
(
x
,
t
)
= j
(
x
–
vt
). Àíàëîãè÷íî äëÿ ôóíêöèè îò
p
, ñòîÿùåé ïðè ìíîæèòåëå
e
a
x
,
ïîëó÷àåì
y
p
p
( , )
( )
(
t x
j
F p e
e dp
j
F
p x
v
pt
c j
c j
=
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
=
- ¥
+ ¥
ò
1
2
1
2
2
2
p e
dp
p
v
x vt
c j
c j
)
,
(
)
1
+
- ¥
+ ¥
ò
ò. å.
y
y
( , )
(
).
t x
x vt
=
+
Òàêèì îáðàçîì, èñêîìîå âûðàæåíèå äëÿ
u
(
t
,
x
) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
u t x
x vt e
x vt e
x
x
( , )
(
)
(
)
.
=
-
+
+
-
j
y
a
a
Ñîîòâåòñòâåííî äëÿ òîêà ïîëó÷àåì âûðàæåíèå
i t x
C
L
x vt e
x vt e
x
x
( , )
[ (
)
(
)
].
=
-
-
+
-
j
y
a
a
Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò ñ íàéäåííûìè â ïðåäûäóùåì
ïàðàãðàôå êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì.
18.4. Âîëíû â íåèñêàæàþùåé ëèíèè
Ðàññìîòðèì òîëüêî ÷òî ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ íàïðÿæåíèÿ è òîêà ëèíèè.
Ïðè ýòîì äëÿ ïðîñòîòû ñíà÷àëà äîïóñòèì, ÷òî ïîòåðè â ëèíèè ïðåíåáðåæèìî
ìàëû, ò. å. ïðèìåì
r
=
0 è
g
=
0. Òîãäà
d =
0,
a =
0,
e
–
d
t
=
1, à òàêæå
e
–
a
x
=
e
a
x
=
1, è äëÿ
ëèíèè áåç ïîòåðü ïîëó÷èì
u
x vt
x vt
u
u
i
x vt
L
C
x vt
=
-
+
+
=
+
=
-
é
ë
ê
ù
û
ú +
+
-
j
y
j
y
j
y
(
)
(
)
;
(
)
(
)
L
C
i
i
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
=
+
j
y
.
Ïóñòü â ÷àñòíîì ñëó÷àå
y
(
x
+
vt
)
=
0 è
u
= j
(
x
–
vt
)
=
u
j
. Ïðèíÿâ â ïîñëåäíåì
ðàâåíñòâå
t
=
0, íàéäåì ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèÿ âäîëü ëèíèè â íà÷àëüíûé ìî-
ìåíò âðåìåíè. Âîçüìåì íåêîòîðóþ ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó
x
è ïðåäïîëîæèì, ÷òî
îíà ïåðåìåùàåòñÿ âäîëü ëèíèè ñî ñêîðîñòüþ
v
, ò. å. ÷òî åå ïîëîæåíèå îïðåäåëÿ-
åòñÿ êîîðäèíàòîé
x
=
x
0
+
vt
. Òîãäà íàïðÿæåíèå â ýòîé äâèæóùåéñÿ òî÷êå
u
j
= j
(
x
0
+
vt
–
vt
)
= j
(
x
0
) íå áóäåò çàâèñåòü îò âðåìåíè. Òàê êàê ýòî çàêëþ÷åíèå
ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé òî÷êè, äâèæóùåéñÿ âäîëü ëèíèè ñî ñêîðîñòüþ
v
, òî, ñëå-
äîâàòåëüíî, ïðè
u
= j
(
x
–
vt
)
=
u
j
íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèÿ
u
ïåðå-
ìåùàåòñÿ âäîëü ëèíèè ñî ñêîðîñòüþ
v
. Èíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ
u
j
= j
(
x
–
vt
)
îïðåäåëÿåò ï ð ÿ ì ó þ â î ë í ó í à ï ð ÿ æ å í è ÿ, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ âäîëü
ëèíèè ñî ñêîðîñòüþ
v
, ò. å. âîëíó íàïðÿæåíèÿ, áåãóùóþ âïåðåä è íå ïðåòåð-
ïåâàþùóþ èçìåíåíèÿ ôîðìû. Àíàëîãè÷íî ôóíêöèÿ
u
y
= y
(
x
+
vt
) îïðåäåëÿåò
296
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
î á ð à ò í ó þ â î ë í ó í à ï ð ÿ æ å í è ÿ, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ âäîëü ëèíèè òàê-
æå áåç èçìåíåíèÿ ôîðìû ñî ñêîðîñòüþ –
v
, èëè, ÷òî òî æå, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ
ñî ñêîðîñòüþ
v
â îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè ñ÷åòà ðàññòîÿíèé, ò. å. áåãóùóþ
íàçàä.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè îòñóòñòâèè ïîòåðü â ëèíèè íàïðÿæåíèå, à òàêæå è òîê
â íåé ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû êàê ñóììû äâóõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ
âäîëü ëèíèè áåç èçìåíåíèÿ ôîðìû ñî ñêîðîñòüþ
v
LC
=
1
â ïðîòèâîïîëîæíûõ
íàïðàâëåíèÿõ. Ïðè ýòîì â ëþáîé òî÷êå ëèíèè îòíîøåíèå íàïðÿæåíèÿ è òîêà
äëÿ ïðÿìîé âîëíû ðàâíî
L C
, ò. å. âîëíîâîìó ñîïðîòèâëåíèþ ëèíèè, çàâèñÿ-
ùåìó òîëüêî îò ïàðàìåòðîâ ëèíèè, à äëÿ îáðàòíîé âîëíû ýòî îòíîøåíèå ðàâíî
-
L C .
Ïðè ðàññìîòðåíèè óñòàíîâèâøèõñÿ ïðîöåññîâ óæå óêàçûâàëîñü, ÷òî
ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí â íåèñêàæàþùåé îäíîðîäíîé ëèíèè
v
LC
=
1
äëÿ âîçäóøíûõ ëèíèé ðàâíà ñêîðîñòè ñâåòà â âîçäóõå.
Íàëè÷èå â âûðàæåíèÿõ äëÿ
u
è
i
ìíîæèòåëÿ
e
–
d
t
èëè, ñîîòâåòñòâåííî, â äðóãèõ
èõ âûðàæåíèÿõ ìíîæèòåëåé
e
–
a
x
è
e
a
x
, ïðè÷åì
a =
rg
, ïîêàçûâàåò, ÷òî îáå âîëíû
ïî ìåðå ïðîäâèæåíèÿ èõ âäîëü ëèíèè çàòóõàþò ïî ïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó. Ïðè-
÷èíîé çàòóõàíèÿ âîëí ÿâëÿåòñÿ ïîñòåïåííîå ïðåâðàùåíèå íà÷àëüíîãî çàïàñà
ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé, ñâÿçàííûõ ñ ëèíèåé, â òåïëîòó, âû-
äåëÿþùóþñÿ â ïðîâîäàõ, òàê êàê
r
¹ 0
, à òàêæå è â ñðåäå, îêðóæàþùåé ïðîâîäà,
òàê êàê
g
¹
0.
 äàëüíåéøåì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âîëíû ïðè äâèæåíèè èõ âäîëü ëèíèè
íå çàòóõàþò. Çàòóõàíèå âîëí âñëåäñòâèå ïîòåðü â ëèíèè ïðè íåîáõîäèìîñòè ìî-
æåò áûòü ó÷òåíî, ïî êðàéíåé ìåðå, äëÿ íåèñêàæàþùåé ëèíèè, òàê êàê íàìè óñòà-
íîâëåíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå âîëíû çàòóõàþò ïî ïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó ñ ïîêàçà-
òåëåì
a
x
rgx
=
.
Ïðè íàëè÷èè òîëüêî îäíèõ ïðÿìûõ èëè òîëüêî îäíèõ îáðàòíûõ âîëí äëÿ
ýíåðãèè ìàãíèòíîãî è ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëåé íà ýëåìåíòå ëèíèè
dx
, ïðèíÿâ âî
âíèìàíèå, ÷òî
u
2
/
i
2
=
L
/
C
, íàéäåì
dW
i L dx
u C dx dW
ì
ý
=
=
=
1
2
1
2
2
2
.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â êàæäîì èç ýòèõ ñëó÷àåâ ýíåðãèè ìàãíèòíîãî è ýëåêòðè÷å-
ñêîãî ïîëåé íà ýëåìåíòå äëèíû ëèíèè, à ñëåäîâàòåëüíî, è íà âñåé ëèíèè ðàâíû
äðóã äðóãó, è äëÿ ñóììû ýòèõ ïîëåé íà ýëåìåíòå ëèíèè ïîëó÷èì
dW
=
+
=
=
=
dW
dW
i L dx u C dx ui LCdx
ì
ý
2
2
.
Äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ìîùíîñòè íàéäåì
p = ui =
i
L
C
u
L
C
2
2
=
,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè äàííîì çíà÷åíèè íàïðÿæåíèÿ ýòà ìîùíîñòü òåì áîëüøå,
÷åì ìåíüøå âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå ëèíèè.
Ãëàâà 18. Öåïè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ïðè ïåðåõîäíûõ ïðîöåññàõ
297