Материал: Физико-химические проблемы и высокие технологии строительства. Рудаков О.Б., Перцев В.Т

Научный Вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета

МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ И ДИАГНОСТИКИ МАТЕРИАЛОВ И ИЗДЕЛИЙ

УДК 539.319: 539.219.2

А.А. Трещѐв, А.В. Морозова

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТИПА КИРША ДЛЯ ПЛАСТИНЫ ИЗ АНИЗОТРОПНОГО РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩЕГОСЯ МАТЕРИАЛА

Произведена постановка задачи типа Кирша для одноосно сжатой пластины конечных размеров с отверстием из ортотропного разносопротивляющегося материала, адаптированы определяющие соотношения, представленные в монографии А.А. Трещева [1] для данного класса задач, приведѐн вывод разрешающих уравнений. На основе построенной модели с использованием метода конечных элементов решена конкретная задача.

Ключевые слова: задача Кирша, одноосное сжатие, плоское напряжение, ортотропный разносопротивляющийся материал, концентрация напряжений, перфорированная пластина

A.A. Treshchev, A.V. Morozova

THE SOLUTION OF THE TASK LIKE THE KIRSCH'S PROBLEM FOR A PLATE MADE OF ANISOTROPIC MATERIAL WITH MULTIMODULUS BEHAVIOR

The solution of the task like the Kirsch's problem for the plate of eventual sizes with hole made of orthotropic material with multimodulus behavior is raising, the defining relations submitted in the monograph of A.A. Treshchov [1] are adapted for this class of problems. The article contains the conclusion of resolving equations. The concrete problem is decided on the basis of the built model with the use of method of finite elements.

Keywords: Kirsch's problem, monoaxial stretching, flat tension, ortotropic material with multimodulus behavior, concentration of tension, perforated plate.

Введение. Концентрация напряжений является одним из основных факторов, влияющих на прочность перфорированных элементов, поэтому исследование влияния различных концентраторов на напряженно-деформированное состояние конструктивных элементов из анизотропных разносопротивляющихся материалов является одной из актуальных задач механики деформированного твѐрдого тела.

Теоретическая часть. Рассматривается равновесие тонкой физически нелинейной пластины с отверстием радиусом r и толщиной h в направлении оси X3. Она имеет конечные размеры 2a и 2b по направлению основных осей декартовой системы координат координат X1, X2 и загружена в своей плоскости сжимающей равномерно распределѐнной по толщине нагрузкой px, которая приложена к внешнему контуру Г2 в соответствии с рисунком 1. Нагружение считается простым при активной деформации, поэтому для описания свойств материала принимаются нелинейные уравнения состояния, представленные через параметры нормированного пространства.

Здесь все функции, описывающие напряженно-деформированное состояние, зависят только от координат X1 и X2. Вектор перемещений имеет при этом две основные ненулевые составляющие u1 = u и u2 = υ в направлении осей X1 и X2, соответственно. Перемещения

u3 w в направлении оси Х3 есть, но они имеют второстепенное значение и определяются после решения краевой задачи тривиально: w e33х3 . При этом деформации e33 не зависят

от координаты Х3 и настолько малы, что в дальнейшем рассматриваться не будут.

________________________________________________________________________________

© Трещѐв А.А., 2015

72

Серия «Физико-химические проблемы и высокие технологии строительного материаловедения» Выпуск № 1(10), 2015

Рис. 1. Расчетная схема пластины

В рамках теории механики сплошных сред принимаются уравнения связи между основными компонентами тензора малой деформации и перемещениями в условиях плоского напряженного состояния для пластинки в виде:

По всей толщине пластинки и на обеих еѐ плоских поверхностях имеем равенство:

Остальные компоненты тензора напряжений ij (i, j 1,2) не зависят от координаты

X3 и имеют постоянное по толщине h ненулевое значение.

Уравнения связи между компонентами тензора малых деформаций и напряжениями в условиях плоского напряженного состояния с учетом равенства (2) в форме метода переменных «параметров упругости» Биргера приводятся к виду [2]:

где {е} {е11е22 12}Т – вектор-столбец ненулевых деформаций;{ } { 11 22 12}Т – векторстолбец ненулевых напряжений; [C] – матрица податливостей ортотропного

разносопротивляющегося материала, зависящих от вида напряженного состояния и от достигнутого уровня напряжений, компоненты которой определяются через тензорные параметры:

Ckkkk Akkkk Bkkkk kk (здесь и далее по индексам не суммировать);

Ciijj Aiijj Biijj ( ii jj) при i j ;Cijij Aijij Bijij 2 ij при i j ,

где Aijkm, Bijkm – константы, определяемые из экспериментов по деформированию образцов

Научный Вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета

где E j – модули упругости при растяжении и сжатии в направлениях соответствующих главных осей анизотропии; ij – коэффициенты поперечной деформации при растяжении и

сжатии в направлениях соответствующих главных осей анизотропии; Eij –модули упругости

при сжатии и растяжении в направлениях под углом 45◦ к соответствующим главным осям анизотропии.

Для плоского напряженного состояния в ортотропном теле через каждую точку проходят две взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии, в силу чего на основании закона упругости для однородного упругого разносопротивляющегося материала запишем:

e11 (А1111 В1111 α11) σ11 А1122 В1122 (α11 α22 ) σ22 ; e 22 А1122 В1122 (α11 α 22 ) σ11 (А2222 В2222 α22 ) σ22 ; e12 (А1212 В1212 2 α12 ) 12.

Обращая уравнения (3) с учетом геометрических соотношений (1) получим зависимость между напряжениями и деформациями при плоском напряженном состоянии:

состояния и степени нагружения Принимая за основу те или иные физические соотношения, мы не изменяем

уравнения статико-геометрической природы [1]. Основные положения и зависимости классической теории упругости остаются справедливыми, поэтому уравнения равновесия для данной задачи при условном отсутствии объемных сил представим следующим образом

[3]: