Материал: Функции нескольких переменных. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу Высшая математика. Пантелеев И.Н
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
328 - 2014
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы
по курсу "Высшая математика" для студентов направления 280700.62 «Техносферная безопасность»,
профили «Защитавчрезвычайныхситуациях», «Безопасностьжизнедеятельностивтехносфере», «Защитаокружающейсреды», очной формы обучения
Воронеж 2014
Составитель канд. физ.-мат. наук И.Н. Пантелеев
УДК 681.3.06
Функции нескольких переменных: методические указания для организации самостоятельной работы по курсу "Высшая математика" для студентов направления 280700.62 «Техносферная безопасность», профили «Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды», очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. И.Н. Пантелеев. Воронеж, 2014. 41с.
Настоящие методические указания предназначены в качестве руководства для организации самостоятельной работы по курсу "Высшая математика" при изучении во 2 семестре раздела «Функции нескольких переменных» для студентов специальности ТБ. В работе приведен теоретический материал, необходимый для выполнения заданий и решения типовых примеров.
Методические указания подготовлены на магнитном носителе в текстовом редакторе Microsoft Word 2003 и
содержатся в файле Vmfmm_FNPMeT _1.pdf.
Ил.1. Библиогр.: 6 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Ломакин Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2014
1. Понятие функции двух переменных. Область определения
Переменная величина z называется функцией двух переменных величин x и y, если каждой паре допустимых значений x и y соответствует единственное значение z. Функция двух переменных обозначается символом: z = f (x, y)
или z = z( x, y).
Систему значений x и y называют точкой М( x, y), а функцию двух переменных – функцией точки z = f (М).
Геометрическим изображением функции двух переменных является некоторая поверхность в пространстве.
Значение функции z = f (x, y) при x = a, y = b обозначается через f ( a, b).
Совокупностью всех точек, в которых определена функция двух переменных, называется областью существования или областью определения функции и является некоторая часть координатной плоскости, ограниченная одной или несколькими линиями ( или вся плоскость).
Пример 1 . Найти область определения функций:
1) z = xy ; 2) z = |
1 |
|
; |
|
|
||
|
9 x 2 |
y 2 |
|
Решение: 1) Данная функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно, т. е. xy ≥ 0. Это
возможно в двух случаях: 1) x 0, y 0; 2) x 0, y 0. Первому условию удовлетворяют координаты всех точек, лежащих в первой четверти и на координатных осях, второму
– координаты точек, лежащих в третьей четверти и на координатных осях. Следовательно, область определения – совокупность точек, расположенных в первом и третьем координатных углах и на координатных осях.
2) Функция определена, когда подкоренное выражение положительно, т. е. 9 – x2 – y2 > 0 или x2 + y2 < 9. Последнему неравенству удовлетворяют точки, лежащие внутри круга радиуса R =3 (граничные точки исключаются). Область
определения функции – совокупность точек, лежащих внутри круга радиуса R = 3 с центром в начале координат.
Линией уровня функции z = f (x, y) называется геометрическое место точек плоскости xOy, для которых данная функция имеет одно и тоже значение: уравнение линии уровня есть f (x, y) = с.
2. Частные производные и полный дифференциал функции двух переменных
Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю.
Для функции z = f (x, y) по определению имеем:
z |
= |
f x' (x , y) = lim |
f (x x, y) f (x, y) |
(частная |
x |
|
|||
|
x 0 |
x |
||
производная по x),
z |
f y' (x, y) lim |
f (x, y y) f (x, y) |
(частная |
|
y |
y |
|||
y 0 |
|
производная по y).
При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая другой аргумент постоянным.
Полный дифференциал функции z = f (x, y) вычисляется по формуле
dz = xz dx yz dy .
Функция, имеющая полный дифференциал, называется
дифференцируемой.
2
П р и м е р 2. Найти частные производные функции z x2 2xy y3 .
Решение: Считая y постоянной и дифференцируя z как функцию x, получаем частную производную по x:
z |
(x 2 )'x (2xy)'x ( y 3 )'x 2x 2 y 0 2(x y). |
x |
|
Аналогично, считая x постоянной и дифференцируя z как функцию y, получаем частную производную по y:
z |
(x 2 )'y (2xy)'y ( y3 )'y 0 2x 3y 2 . |
y |
|
|
3. Дифференцирование неявных функций |
Функция двух переменных называется неявной, если она задана уравнением F (x , y, z) = 0, не разрешенным относительно z.
Производные неявной функции находятся по формулам:
z |
|
|
F ' |
z |
|
|
Fy' |
|
|
||
|
|
x |
, |
|
|
|
|
|
. |
|
|
x |
|
y |
|
Fz' |
|
||||||
|
|
Fz' |
|
|
|
|
|||||
4. Экстремум функции двух переменных |
|
||||||||||
Максимумом (минимумом) функции |
z = |
f (x, y) |
|||||||||
называется такое ее |
значение |
f (x0, |
y0), |
которое |
больше |
||||||
(меньше) всех других значений, принимаемых ею в точках, достаточно близких к точке M0 (x0, y0) и отличных от нее.
Максимум или минимум функции называется ее экстремум. Точка, в которой достигается экстремум,
называется точкой экстремума.
Экстремум функции может достигаться лишь в точках, лежащих внутри области ее определения, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль. Такие точки называются критическими. Для функции z = f (x, y) критические точки находятся из системы уравнений:
3
fx (x, y) 0,f y (x, y) 0.
Условия являются необходимыми условиями
экстремума. Достаточные условия экстремума выражаются с помощью определителя
BA CB AC B 2 ,
где
А = f”xx(x0 , y0), B = f”xy (x0 , y0), C = f”yy(x0 , y0),
а именно: |
|
|
1) если >0, то |
M0 (x0, |
y0) – точка экстремума: при |
А<0 (или C<0) – точка максимума, при A>0 (или C >0) – точка |
||
минимума, |
|
|
2) если < 0, то в точке M0 нет экстремума. |
||
Если = 0, то |
вопрос |
о наличии или отсутствии |
экстремума функции остается открытым (требуется дальнейшее исследование функции).
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию z = x3 + y3 + 9xy.
Решение. Находим частные производные первого и второго порядка:
f’x( x, y) = 3x2 + 9y; f’y ( x, y) = 3y2 + 9x;
f”xx ( x, y) = 6x; f”xy ( x, y) = 9; f”yy ( x, y) = 6y.
Приравнивая к нулю первые производные, получим систему уравнений для определения критических точек:
3x 2 9y 0,
3y 2 9x 0.
Решая систему находим две критические точки
М1 (0, 0), М2 ( –3, –3).
4