Материал: Функции нескольких переменных. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу Высшая математика. Пантелеев И.Н

z = arctg(xy) в т. M0(-1,4) в направлении линии y = -x+3 в сторону убывания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-5x2-3y2+2.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x2 +2xy-0,5y2-4x в области D: y = 2x, y = 2, x = 0.

Вариант 18

1. Найти и изобразить на чертеже область определения

2.Вычислить приближенно tg46° sin29°.

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z tg 2xy3 .

4.Вычислить значение производной сложной функции

u = arcsin x2 , где x = sin t, y = cost при t = π, с точностью до y

двух знаков после запятой.

5.Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: ez-xyz-x+1 = 0, в данной точке M0 (2,1,0) с точностью до двух знаков после запятой

6.Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x+e –y)

30

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2-y2+z2-4x+2y = 14, M0(3,1,-4); б) S: x2+y2 = 5z, M0(1,3,2).

8.Определить градиент и производную заданной функции

z = x2+y2 в т. M0(-6,8) в направлении линии y = (2/9)x2 в сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = xy(12-x-y).

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2+2,5y2-2xy-2x в области D: y = 0, y = 2, x = 0, x = 2.

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = y2-4xy+sin(2xy2).

4.Вычислить значение производной сложной функции

двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции

31

z = z(x,y), заданной неявно: x3+2y3+z3—3xyz-2y-15 = 0, в данной точке M0 (1,-1,2) с точностью до двух знаков после запятой. 6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x2-y2)

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2-z2+xz+4y = 4, M0(1,1,2); б) S: x2+5y2+z2 = 10, M0(1,-1,2).

8.Найти направление наибольшего возрастания функции u = x2y2z в любой точке и в т. М0(2,-1,3) и скорость возрастания в этом направлении.

9.Исследовать на экстремум функцию z = xy-x2-y2+9.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = xy-3x-2y в области D: y = 0, y = 4, x = 0, x = 4.

Вариант 20

1. Найти и изобразить на чертеже область определения

2.Вычислить приближенно 2,03/((2,03)4+(2,97)2).

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln(y-x2-3).

32

z = z(x,y) , заданной неявно: x2-3y2+z2-2xy+6x-2y-8z+20 = 0, в

данной точке M0 (1,-1,2) с точностью до двух знаков после запятой.

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2-y2-z2+xz-4x = -5, M0(-2,1,0); б) S: x2-y2+z2 = 30, M0(3,2,5).

8.В направлении какой линии : y2 = 4x или x2+y2 = 5 в т.М0(1,2) функция z = x3+y3 изменяется быстрее в сторону убывания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-3x2-2y2+10.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 + xy-2 в области D: y = 4x2-4, y = 0.

33

Вариант 21

1. Найти и изобразить на чертеже область определения

2.Вычислить приближенно 3,09e 0,09.

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin(2x-y3)+x.

4.Вычислить значение производной сложной функции

u = x2 y 3 , где x = ln t, y = t2 при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции

z = z(x,y) , заданной неявно: x2+y2+z2 = y-z+3, в данной точке M0 (1,2,0) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2-xz+yz-3x = 11, M0(1,4,-1); б) S: x2+y2-4x+2y+4 = 0, M0(2,-2,0).

34