Материал: Функции нескольких переменных. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу Высшая математика. Пантелеев И.Н
1. Найти и изобразить на чертеже область определения
функций а) z |
3xy |
б) z y sin x |
|
2x 5y |
|||
|
|
2.Вычислить приближенно cos 61 sin 47 .
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln(y2-e-x).
4.Вычислить значение производной сложной функции
u = ex-2y, где x sin t , y = t3 при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции
z = z(x,y) , заданной неявно: x3+y3+z3-3xyz = 4, в данной точке M0 (2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u xy
указанному уравнению x2 2u 2xy 2u y2 2u 0 .
x2 x y y2
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2+y2+z2+6z-4x+8 = 0, M0(2,1,-1); б) S: 4x2-9y2-9z2-36 = 0, M0(3,0,0).
8.Определить градиент и производную заданной функции z = ln(x+y) в т. M0(1,3) в направлении линии y2 = 9x в сторону возрастания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию
zy
x 2y 2 x 14y .
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x+y - xy в области D: y = x,y = 4, x = 0.
10
Вариант 2
1.Найти и изобразить на функций а) z = arcsin(x-y),
2.Вычислить приближенно
чертеже область определения б) z = ln(2-x-y) + 
x .
u |
(1,03)2 |
. |
|
3 0,984 (1,03)3
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arctg (x2+y2).
4.Вычислить значение производной сложной функции
|
u = ln(ex+e-y), где x = t2, y = t3 при t = -1, с точностью до двух |
|||||||
знаков после запятой. |
|
|
|
|
||||
5. |
Вычислить значения частных производных функции |
|||||||
|
z = z(x,y) , заданной неявно: x2+y2+z2-xy = 2, в данной точке |
|||||||
M0 (-1,0,1) с точностью до двух знаков после запятой. |
функция |
|||||||
6. |
Проверить, |
удовлетворяет |
ли |
|
данная |
|||
u ln |
x |
x3 y3 |
указанному уравнению |
x u |
y u 3(x3 y3 ) . |
|||
|
||||||||
|
|
y |
|
|
x |
y |
|
|
7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2+z2-4y2 = -2xy, M0(-2,1,2); б) S: x2+y2-z = 6, M0(1,-1,-1).
8.Определить градиент и производную заданной функции z = 5x2-3x-y-1 в т. M0(2,1) в направлении, идущем от т. М0 к т. N(5,5).
9.Исследовать на экстремум функцию z = x3+8y3-6xy+5.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = xy-x-2y в области D: y = x,y = 0 , x = 3.
|
Вариант 3 |
|
1. |
Найти и изобразить на чертеже область определения |
|
функций а) z y2 - x 2 ; б) z = ln(1-x2-y2)+ |
x y . |
|
2. |
Вычислить приближенно 3,98 (1,03)3,98 . |
|
11
3. |
Найти частные производные и полный дифференциал |
||
функции z = arcsin xy . |
|||
4. |
Вычислить значение производной сложной функции |
||
|
u = yx, где x = ln(t-1), y e |
t |
|
|
2 |
при t = 2, с точностью до |
|
двух знаков после запятой. |
|||
5. |
Вычислить значения частных производных функции |
||
z |
= z(x,y) , заданной неявно: 3x 2y z xz 5 , в данной |
||
точке M0 (2,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
6.Проверить, удовлетворяет ли данная функция
2 |
2 |
2u |
|
2u |
0 . |
u = ln(x +(y+1) ) указанному уравнению |
x2 |
y 2 |
|||
|
|
|
|
||
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2+y2+z2+3z-xy = 7, M0(1,2,1); б) S: 4x2-9y2 = 36, M0(-3,0,0).
8.Определить градиент и производную заданной функции z =
x2+y2 в т. M0(6,-8) в направлении линии y = 92 x2 в сторону убывания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию z = 1+15x-2x2-xy-2y2.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = x2+8y+2xy-4x в области D: y = 0, y = 2, x = 0, x = 1.
12
Вариант 4
1.Найти и изобразить на чертеже область определения функций а)z = ln(4-x2-y2); б) z = y + arcsin(x+2).
2.Вычислить приближенно cos59°sin32°.
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arccos(x-y2).
4.Вычислить значение производной сложной функции
u = ey-2x+2, гдеx sin t , |
y = cos t при t = |
|
, с точностью |
|
|
2 |
|
до двух знаков после запятой.
5.Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: ez+x+2y+z = 4, в данной точке M0 (1,1,0) с точностью до двух знаков после запятой
6.Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = xy
указанному уравнению y 2u (1 y ln x) u .
x y x
7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2+y2+z2+6z+4x = 8, M0(-1,1,2); б) S: x2-y+z2-6 = 0, M0(1,-1,2).
8. Определить градиент и производную заданной функции z = arcsin( x x y ) в т. M0(5,5) в направлении линии y2 = 5x в сторону убывания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию z = 1+6x-x2-xy-y2.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 5x2+y2-3xy в области D: y = 0, y = 1, x = 0, x = 1.
13
Вариант 5
1. Найти и изобразить на чертеже область определения
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
2 |
функций а)z = |
|
|
; б) z = |
x |
|
y |
|
-1 + ln(4-x -y ). |
|
6 x2 |
y 2 |
|
|
||||||
2. Вычислить приближенно arсtg 1,042 .
0,98
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = cos(x3-2xy)
4.Вычислить значение производной сложной функции
u = x2ey, где x = cos t, y = sin t, при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.
5.Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2+y2+z2-z-4 = 0, в данной точке
M0 (1,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
6.Проверить, удовлетворяет ли данная функция
u = xy/(x+y) указанному уравнению x ux y uy 2u .
7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S:2x2-y2+z2-4x+y = 13, |
M0(2,1,-1); |
б) S: 25y2-4x2-4z2-5 = 0, |
M0(1,1,2). |
8.Определить градиент и производную заданной функции z = xey в т. M0(1,4) в направлении линии xy = 4 в сторону убывания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию
z= x3+y2-6xy-39x+18y+20.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = x2+2xy-y2-4x в области D: x-y+1 = 0, y = 0, x = 3.
14