Материал: Функции нескольких переменных. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу Высшая математика. Пантелеев И.Н

8. По какому направлению должна двигаться т. М(x,y,z) при переходе через т. M0(-1,1,-1), чтобы функция

u xy yz xz возрастала с наибольшей скоростью?

9.Исследовать на экстремум функцию z = x3 + 8y3-6xy +1.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 y (4-x-y) в области D: y = 6-x, y = 0, x = 0.

Вариант 22

1. Найти и изобразить на чертеже область определения

функций а) z = y- y2 x2 ; б) z = sin (x 2 y2 ) .

2.Вычислить приближенно 4/((1,03)2+(2,97)2).

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z x2 y sin x 3y .

4.Вычислить значение производной сложной функции

до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции

z = z(x,y) , заданной неявно: x2+y2+z2+2xy-4x-yz-3y-z = 0, в

данной точке M0 (1,-1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

35

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+2y2+z2-4xz = 8, M0(0,2,0); б) S: 2x2-y+2z2 = 0, M0(1,10,2).

8.В направлении какой линии: xy = 4 или x = y в т. М0(2,2) функция z = x3+y3-3xy изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x?

9.Исследовать на экстремум функцию z = y x - y2- x+6y

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x3- y3-3xy в области D: x = 0, x = 2, y = -1, y = 2.

Вариант 23

1.Найти и изобразить на чертеже область определения функций а) z = x 2 y2 – x; б) z = arcsin(1-x2-y2)+

+ arcsin2xy.

2.Вычислить приближенно arсtg(0,96/1,05).

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin(xy)-3xy2.

36

точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции

z = z(x,y) , заданной неявно: x2-y2-z2+2x-4y+6z+12 = 0, в данной точке M0 (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой. 6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2-y2-2z2-2y = 0, M0(-1,-1,1); б) S: x2+y2+2z2 = 10, M0(-1,1,2).

8.В направлении какой линии y2 = 4x или x2+y2 = 5 в т. М0(1,2) функция z = x3+y3 изменяется скорее в сторону

возрастания аргумента x?

9.Исследовать на экстремум функцию z = x2-xy+y2+9x-6y+20.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 4(x-y)-x2-y2 в области D: 2y + x = 4, x-2y = 4.

37

Вариант 24

1. Найти и изобразить на чертеже область определения

2.Вычислить приближенно (0,99)5,05.

3.Найти частные производные и полный дифференциал

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2-3z2+xy = -2z, M0(1,0,1); б) S: y2-4y+z = 0, M0(1,-2,-12).

38

8. В направлении какой линии: x2 + y2 = 8 или y = -x в т.

сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = xy(6-x-y).

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2- y2+2xy-4x в области D: y = x+1, y = 0, x = 3.

Вариант 25

1. Найти и изобразить на чертеже область определения

2.Вычислить приближенно ( e 1,15)1,1.

3.Найти частные производные и полный дифференциал

функции z = e2 x y .

4. Вычислить значение производной сложной функции

u = arctg(x+y), где x = t2+2, y = 4-t2 при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции

z = z(x,y) , заданной неявно: x2+2y2+3z2 = 59, в данной точке M0 (2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e – cos(4y+x)

39