Материал: Функции нескольких переменных. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу Высшая математика. Пантелеев И.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Вычисляем значения частных производных второго порядка в этих точках:

А1 = fxx ( 0, 0) = 0, B1 = fxy ( 0, 0) = 9, C1 = fyy ( 0, 0) = 0,

A2 = fxx (–3, –3) = –18, B2 = fxy (–3, –3) = 9, C2 = fyy (–3,–3) = – 18.

Затем находим определитель:

1 А1С1 В12 0 0 92 81;

2 А2С2 В22 ( 18) ( 18) 92 243.

Всилу достаточных условий заключаем, что в точке М1 нет

экстремума, так как 1 <	0,	а в точке М2 функция имеет
максимум, так как 2 > 0	и А2 < 0, причем
max f ( x , y) =		f (–3, –3) = 27.

5. Производная в данном направлении. Градиент функции.

Производной	функции		z f (x, y) в точке M (x, y)					в
направлении вектора					называется предел
		l	MN
	z		lim		f (N	) f (M )	.
	l
			M N	0		M N
				f (x, y)
Если	функция					дифференцируема,		то
производная в данном направлении вычисляется по формуле
	z		z cos			z sin ,
	l		x			y

где – угол, образованный вектором l с осью Оx. Градиентом функции z f (x, y) в точке M (x, y)

называется вектор с началом в точке М, имеющим своими координатами частные производные функции z:

gradz xz i yz j.

Градиент указывает направление наибыстрейшего роста

функции в данной		точке. Производная					z		в направлении
							l
градиента имеет наибольшее значение, равное
	z		gradz		z	2		z 2

									.
l наиб				x
								y

6. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть дана сложная функция z = f (u,v), u =u (x, у) , v =v (x, у) и пусть все эти функции дифференцируемы. Найдем полный дифференциал сложной функции. Имеем :

z dx

dy .

z u

z v

z u

z v

dy =

u y

u x

v x

v y

dv .

dy dx

Таким образом, dz uz du vz dv .

То есть формула для дифференциала первого порядка такая же, как и для случая, когда u и v независимые переменные.

Следовательно, форма записи дифференциала первого порядка не зависит от того, являются ли u и v независимыми переменными или функциями. Это свойство называется инвариантностью.

7.Метод наименьших квадратов

Вразличных исследованиях приходится использовать формулы, составленные на основании эксперимента. Одним из лучших способов получения таких формул является метод наименьших квадратов.

Пусть на основании эксперимента необходимо установить функциональную зависимость между двумя переменными величинами х и у. Например, между температурой и удлинением прямолинейного металлического стержня. По результатам измерений составим следующую таблицу:

х	х1	х2	…	хi	…		xn
у	у1	у2	…	yi	…		yn
Установим теперь вид функции у = f(x)						по характеру

расположения на координатной плоскости экспериментальных точек. Пусть, например, точки, взятые из таблицы, расположены так, как показано на рис.1. В данном случае естественно предположить, что между х и у существует линейная зависимость, выражающаяся формулой

y = ax + b

(1)

Рис.1

Ограничимся только случаем линейной зависимости. Так как точки (х1 ; у1), (х2 ; у2),….,( хn ; уn ) не лежат точно на прямой, а лишь вблизи нее, то формула (1) является приближенной. Поэтому, подставляя значения координат точек в выражение у – (ах+b), получаем равенства

у1 – (ах1 + b ) = δ1, у2 – (ах2 + b ) = δ2 , … , уn – (axn + b) =

δn,

где δ1, δ2,…., δn – некоторые числа, которые назовем погрешностями.

Поставим задачу подобрать коэффициенты а и b таким образом, чтобы эти погрешности были возможно меньше по абсолютной величине. Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов. Рассмотрим сумму квадратов погрешностей.

S(a,b) y1

i 1

(axi b) 2	n
(axi b) 2	i2 .
	i 1

Здесь хi и yi – заданные числа, а коэффициенты а и b – неизвестные числа, подлежащие определению, исходя из условий минимума S(a, b), т.е. S(a, b) можно рассматривать как функцию двух переменных a и b и исследовать ее на экстремум.

Таким образом, задача свелась к нахождению значений а и b, при которых функция S(a, b) имеет минимум. Имеем

S	n	S	n
S	2 yi (axi b) xi ,	S	2 yi (axi b) .
a	i 1	b	i 1

Приравнивая эти частные производные к нулю, получаем линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b:

n	n	n
yi xi a xi2		xi ,
i 1	i 1	i 1	(2)
n	n		(2)
n	n
yi a xi bn.
i 1	i 1

Система (2) называется нормальной системой метода наименьших квадратов. Из этой системы находим числа a и b и затем, подставляя их в уравнение (1) , получаем уравнение искомой прямой.

Тот факт, что функция S(a,b) в найденной точке М(a; b) имеет минимум, легко устанавливается с помощью частных производных второго порядка. Имеем

2 S

2 2 xi ,

2 xi ,

2n.

a b

i 1

Следовательно,

2 S 2 S

2 S 2

a2 b2

4n xi

2 xi .

a b2

i 1

Это

выражение

можно

записать

виде

2 (xi x j

)2 ,

откуда

следует,

что

>0.

Так как

2 S

i 1 i 1

то в точке

М (a;

b) функция S (а, b) имеет минимум.

8. Индивидуальные задания для контрольной работы Вариант 1

Источник: https://studfile.net/preview/16564517/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард
«Теория человеческих потребностей Маслоу»
[БИЛЕТЫ] IMK №3
[ТЕСТЫ] ИМК №1 по физиологии (база 1 семестр и на экз)
[ТЕСТЫ] Спланхнология