Материал: Функции нескольких переменных. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу Высшая математика. Пантелеев И.Н

8. Определить градиент и производную заданной функции

z = xey в т. M0(1,1) в направлении линии xy = 1 в сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = x3+y3-3xy.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Вариант 15

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций а) z = arccos(x+2y); б) z 2x x2 y 2 .

2.Вычислить приближенно 3,034+1,985+15.

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z sin x y3 xy .

4.Вычислить значение производной сложной функции

u = xy , где x = et, y = 2 - e2t при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.

5.Вычислить значения частных производных функции

z = z(x,y) , заданной неявно: x2-2y2+z2-4x+2z+2 = 0, в данной точке M0 (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6.Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e–(x+3y) sin(x+3y) указанному уравнению

26

x2 2u 2xy 2u y2 2u 0 .

x2 x y y2

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: 4y2-z2+3z+4xy-xz = 9, M0(1,-2,1); б) S: x2-4y2+z2-4 = 0, M0(-2,1,2).

8. Определить градиент и производную заданной функции

z = 5x2-3x-y-1 в т. M0(1,-1) в направлении, идущем от т. N(2,2) к т.M0.

9.Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-2x2-4y2.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2-2xy-y2 + 4x + 1 в области D: y = 0, x+y+1 = 0, x = -3.

2.Вычислить приближенно 2,01 · 1,03 / ((2,01)4+(2,97)2).

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcos(x-2y2),

4.Вычислить значение производной сложной функции

27

знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x+y+z+2 = xyz, в данной точке M0 (2,-1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.

y

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = xe x

указанному уравнению x2 2u 2xy 2u y2 2u 0 .

x2 x y y2

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = x2+y2-3xy-x+y+2, M0(2,1,0); б) S: x2+y2-z-6 = 0, M0(2,1,-1).

8. Определить градиент и производную заданной функции

z arctg xy в т. M0( 12 , 23 ) в направлении линии x2+ y2+2x = 0 в сторону возрастания аргумента x.

z = 3x2+3y2-x-y+1 в области D: x = 5, y = 0, x-y-1 = 0.

28

Вариант 17

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций а) z = ln(x2-y2); б) z = arcsin xy .

2. Вычислить приближенно (2- 0,97 )3,02.

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 5xy2+ln xy2.

4.Вычислить значение производной сложной функции

двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции

z = z(x,y) , заданной неявно: x2 + y2 + z2-2xz = 2, в данной точке M0 (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = arctg xy

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: 2x2-y2+2z2+xz+xy = 3, M0(1,2,1,); б) S: x2+y2-4z2 = 4, M0(2,-1,1).

8.Определить градиент и производную заданной функции

29