Документ: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В, страницы 141-145

x		2	y		2	x	= cost ,	y	= sint , тогда
из уравнения эллипса			+		=1, то обозначим
	3			1		3		1

x = 3cost,

y = sin t.

Видно, что для всех точек эллипса t [0,2π],

а для точек дуги

,

t

0,

π

.

При

этом

точке

A

соответствует

t

=

π

( x

= 3cos

π

= 0

,

A

2

1

2

yA = sin

π

=1), а точке

B соответствует t2 = 0 ( xB = 3cos0 = 3,

yB = sin 0 = 0).

2

Воспользуемся формулой (3.83), подставив в подынтегральное

выражение вместо x функцию 3cost , а вместо y функцию sint .

По формуле (3.83)

0

∫(x − y)dx = ∫

(3cost − sint)(3cost)′dt = ∫(3cost −sint)(− 3sint)dt =

AB

π

2

=

поменяем местами нижний и верхний пределы

=

интегрирования,

изменив знак перед интегралом

π

= 3∫2 (3cost sint + sin2 t)dt = 9∫2 cost sintdt + 3∫2 sin2 tdt =

0

учтем,

что costdt = d sint,

в первом интеграле и

=

применим формулу sin2 α =

1 − cos2α

во втором

=

2

π

3

π

sin2 t

π

3

sin 2t

π

2

+

(1 − cos2t)dt = 9

2

+

2

=

= 9∫sintd(sint)

2

∫

2

t −

2

0

sin 2

π

9

2 π

2

3

π

2

sin 2

0

=

sin

−sin

0

+

−

0

−

=

2

π

=1,

sin 0 = 0,

sinπ = 0

= 9

+

3π

.

=

sin

2

4

141

Мы рассмотрели понятие криволинейного интеграла II рода для плоской кривой L , лежащей в плоскости xOy . Аналогично дается понятие

криволинейного интеграла II рода для пространственной кривой L . Рассматриваются три функции, зависящие от трех переменных: R(x, y, z),

Q(x, y, z) и T (x, y, z). Криволинейный интеграл от этой тройки функций по кривой L имеет вид

∫R(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy +T (x, y, z)dz .	(3.84)
L
Если L задана параметрически
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
где t [t1,t2 ], то для «хороших» функций x = x(t), y = y(t), z = z(t),	R(x, y, z),

Q(x, y, z), T (x, y, z) криволинейный интеграл (3.84) можно вычислить с помощью определенного интеграла по формуле

∫R(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy +T (x, y, z)dz =

L

t2	(R(x(t), y(t), z(t))x (t)+ Q(x(t), y(t), z(t))y (t)+T (x(t), y(t), z(t))z (t))dt , (3.85)
= ∫
	′	′	′
t1

где t1 и t2 - значения параметра t , соответствующие начальной и конечной точкам кривой L .

3.4.3.Приложения криволинейного интеграла II рода

3.4.3.1.Вычисление площади плоской фигуры

Рассмотрим на плоскости xOy область D , ограниченную замкнутой

линией L .

Определение. Область D назовем правильной, если любая прямая, перпендикулярная оси Ox или оси Oy , имеющая общие точки с областью D

внутри нее, пересекает границу L области D в двух точках.

Рассмотрим правильную область Ω. Предположим сначала, что Ω зажата между прямыми x = a , x = b ( a < b), y = c , y = d (c < d ) и граница L

области Ω имеет с этими прямыми лишь по одной общей точке (обозначим

точки касания A, B , C , D

y

D

соответственно), рис. 3.57.

d

Вычислим площадь области

Ω

Ω. Очевидно,

кривая

ACB

A

B

является

графиком

некоторой

c

функции

y = f1(x)

( x [a,b]), а

C

кривая

ADB

–

графиком

0

a

b

x

142

Рис. 3.57

некоторой функции y = f2 (x), причем f1(x)≤ f2 (x) при x [a,b]. Площадь такой фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла по формуле

S = ∫b (f2 (x)− f1(x))dx .

a

Перепишем ее в виде

S = ∫b f2 (x)dx − ∫b f1(x)dx .

aa

Вэтом равенстве каждый из интегралов можно, учитывая формулу 3.81 (читая ее справа налево), преобразовать в криволинейный интеграл II рода:

	∫b	f2 (x)dx = ∫ydx ,			∫b	f1(x)dx =	∫ydx ,
	a		ADB		a		ACB
поэтому формула для вычисления площади перепишется в виде
	S =	∫ydx −	∫ydx =	∫	ydx + ∫ ydx = ∫ydx .
		ADB	ACB	ADB		BCA	ADBCA
Учитывая, что в последнем интеграле замкнутый контур L мы проходим по
часовой стрелке, получим формулу
				S = −∫ydx .
					L
Если рассмотреть на оси Oy отрезок [c,d], то части кривой CDA и
CBD можно	считать		графиками		функций		x = g1(y) и x = g2 (y)
( g1(y)≤ g2 (y))	для	x [c,d]. Площадь такой фигуры можно вычислить с
помощью определенного интеграла по формуле
	S = d∫(g2 (y)− g1(y))dy				или	S = d∫g2 (y)dy − d∫g1(y)dy .
	c					c	c

Каждый из интегралов в последней формуле можно преобразовать с помощью формулы (3.82) в криволинейный интеграл II рода:

d∫g2 (y)dy =	∫xdy ,	d∫g1(y)dy =	∫xdy ,
c	CBD	c	CAD

поэтому она перепишется в виде

143

S = ∫xdy − ∫xdy = ∫ xdy + ∫ xdy =				∫ ydy .
CBD	CAD	CBD	DAC	CBDAC
Замкнутый контур CBDAC – это кривая L ,				причем	обход по ней
осуществляется против часовой стрелки. Получим формулу
		S = ∫xdy .
		L
Если сложить левые и	правые	части	формул	S = ∫xdy	и S = −∫ydx
				L	L

соответственно и затем разделить обе части полученного равенства пополам, то окончательно будем иметь

S =	1 ∫xdy − ydx.	(3.86)
	2 L

Формула (3.86) верна и в случае, если L содержит части, являющиеся отрезками, перпендикулярными Ox или Oy . Например, пусть Ω

имеет вид, представленный на рис. 3.58.

y		D
		D
d		y = f2(x)		B'
	A'	y = f2(x)
		Ω

				B
	A	y = f1(x)		B
	A
c
c	a C
	a C		b	x
		Рис. 3.58

Для площади области Ω все равно справедлива формула

S = ∫b	f2 (x)dx − ∫b	f1(x)dx =	∫ydx +		∫ydx .
a	a		′	′	BCA
a	a		A DB		BCA

Чтобы вместо полученной суммы интегралов получить интеграл по

замкнутому контуру нужно добавить к ней				∫ydx и		∫ydx . Это можно сделать,
				′		′
не изменив значения S , так				AA		B B		B B	x = a и x = b
не изменив значения S , так			как на отрезках		AA		и	B B	x = a и x = b
						′		′
				y′A		′		y′A
соответственно,		поэтому	∫ydx = ∫			′		∫y 0dy = 0		и
соответственно,		поэтому	∫ydx = ∫		y a dy =			∫y 0dy = 0		и
			′	yA				yA
			AA	yA				yA
∫ydx =	yB	yB							S = ∫xdy
∫ydx =	∫ y b′dy =	∫y 0dy = 0.	Иными	словами,			формулы		S = ∫xdy	и
′	yB′	yB′							L
B B	yB′	yB′							L

144

S = −∫ydx , а следовательно, и формула (3.86) верны для любой правильной

L

области Ω.

y

Пример 3.24. Найти площадь части

фигуры,

ограниченной

линиями

y = x2 ,

2

y =

2

y

x2

y =1,

расположенной в

первой

4

= 4 ,

y = x

x

A

четверти, с помощью формулы (3.86).

B

y =1

Изобразим

фигуру

на

xOy

(рис. 3.59).

Граница

фигуры

–

замкнутый

0

1

2

x

контур, состоящий из трех разных линий.

Рис. 3.59

1

По формуле (3.86)

S

=

∫xdy − ydx

=

∫

2

(xdy − ydx)+ ∫ (xdy − ydx)+ ∫(xdy − ydx) .

2 L

OB

BA

AO

Вычислим каждый из трех интегралов. Линия OB – график функции y =

x2

4

( xO = 0,

xB = 2), поэтому

2

x2

′

2

2x

x2

2 x2

x3

2 2

x2

−

dx =

=

.

∫ (xdy − ydx)= ∫ x

4

dx = ∫ x

4

dx = ∫

12

0

3

OB

0

0 4

Отрезок BA – график функции y =1 ( xB = 2, xA =1), поэтому

∫ (xdy − ydx)= ∫1 (x (1)′ −1)dx = ∫1 (x 0 −1)dx = ∫1 (− dx)= −x

1

=1.

BA

2

Отрезок AO – график функции y = x2

( xA =1,

xO = 0), поэтому

0

2

′

2

0

2

0 2

x3

0

1

∫(xdy − ydx)= ∫ x (x

) − x

dx =

∫(x 2x − x

)dx = ∫x

dx

=

1

= −

.

3

AO

1

Складывая три найденных значения, получаем

∫xdy

− ydx = 2

+1 − 1 =

4 ,

OBAO

3

откуда S = 12 43 = 23 (кв.ед.).

3.4.3.2. Вычисление работы переменной вектор-силы

Задача о работе была рассмотрена в начале этого параграфа, при этом точка перемещалась по плоской линии (на xOy ). Формулу, аналогичную

145

Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

Смотрите также: