Материал: Интегральные преобразования Фурье и Лапласа и их приложения к дифференциальным уравнениям. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Интегрируя, получим

,

если только e^-(p-а)t  0 при t  . Последнее же имеет место при Re (р а) = Re p   > 0, т.е. при Re p > . Таким образом,

(6)

и если а = 0, то мы снова получаем формулу (5): .

В дальнейшем нас, как правило, будет интересовать только само изображение F(p), а вовсе не та область, в которой оно выражается интегралом Лапласа. Мы должны быть всегда уверены только в одном: в какой-то полуплоскости (безразлично какой) интеграл Лапласа сходится абсолютно. Забегая вперед, укажем, что каждому изображению F(p) отвечает единственный оригинал f(t), если только не обращать внимания на значения функции f(t) в точках разрыва. Это означает также, что на изображение не влияют те значения оригинала, которые мы ему приписываем в точках разрыва.

Отметим еще поведение любого изображения F(р) в бесконечно удаленной точке. Можно показать, что

где а и М  постоянные из условия 3) и  = Re p. Поэтому, если p стремится к бесконечности так, что при этом (например, вдоль положительной части действительной оси), то F(p) стремится к нулю.

Перед тем как перейти к изучению основных свойств преобразования Лапласа, поясним основную идею его применения. Преобразование Лапласа устанавливает соответствие между оригиналами f(t) и их изображениями F(p): f(t)  F(p).

Оказывается, что определенным действиям, производимым над оригиналами, будут соответствовать некоторые действия, производимые над их изображениями, причем, как правило, действия над изображениями будут проще, чем над оригиналами (это будет показано в следующем пункте). В этом проявляется полная аналогия с основной идеей

применения логарифмов в элементарной математике. Роль оригиналов там играют числа, а роль изображений  их логарифмы. Действию умножения чисел соответствует сложение их логарифмов, действию возведения числа в степень соответствует умножение логарифма этого числа на показатель степени и т.д. Таким образом, более сложные действия над числами заменяются более простыми действиями над их логарифмами, и схема применения логарифмов выглядит примерно так. Чтобы, скажем, перемножить числа, мы сначала по таблице находим их логарифмы и складываем их. Найдя логарифм произведения, мы снова, пользуясь таблицами, возвращаемся к числу и получаем искомый результат. Все это, разумеется, хорошо известно, и мы повторили это только для того, чтобы более ясной стала рассматриваемая нами аналогия. Именно, если имеется некоторое сложное соотношение между оригиналами, то при помощи преобразования Лапласа мы будем получать значительно более простое соотношение между изображениями. Например, вместо дифференциального уравнения относительно оригинала будет получаться алгебраическое уравнение относительно изображения. Решив это последнее и перейдя затем от изображения назад к оригиналу, мы и получим решение исходного дифференциального уравнения.

Приведенную аналогию с логарифмами можно продолжить. Ведь главное при действиях с логарифмами  это хорошо знать свойства логарифмов и правила логарифмирования. Само же соответствие между числами и логарифмами устанавливается при помощи таблиц логарифмов, и можно превосходно владеть методами вычислений, совершенно не зная, как фактически составлялись логарифмические таблицы. Точно так же обстоит дело и здесь. После того как мы в следующем пункте установим основные правила действия над преобразованиями Лапласа и составим таблицу соответствия между оригиналами и изображениями (своего рода аналог таблицы логарифмов), нам уже не придется больше вычислять интеграл Лапласа для различных оригиналов f(t) и переход от оригинала к изображению и обратно  от изображения к оригиналу будет осуществляться при помощи этой таблицы. Таким образом, желательно с самого начала привыкнуть к тому, что интеграл Лапласа (1) нужен главным образом для установления основных свойств и правил преобразования Лапласа, или, как мы чаще будем говорить, свойств и правил операционного исчисления.

Вообще под операционным исчислением понимают методы решения задач, основанные на следующих этапах:

1) от искомых функций переходят к некоторым другим

функциям  их изображениям;

2) над изображениями производят операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями (отсюда название  операционное исчисление);

3) произведя действия над изображениями и получив не

который результат, возвращаются к самим функциям.

2. Свойства преобразования Лапласа

В этом параграфе мы рассмотрим основные свойства преобразования Лапласа и составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие между некоторыми оригиналами и их изображениями. Для сокращения записи условимся, что оригиналы будут обозначаться через f(t), g(t) и т. д., а их изображения соответственно через F(p), G(p),..., т.е. f(t)  F(p), g(t)  G(p). Напомним также, что мы уже имеем формулу соответствия (6): и, в частности, .

1. Теорема линейности. Для любых действительных или комплексных постоянных А и В

A f(t) + B g(t)  A F(p) + B G(p), (7)

т. е. линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений.

В качестве применения этой теоремы найдем изображения тригонометрических и гиперболических функций. По формулам Эйлера

, .

Полагая в формуле (6) a = i и применяя теорему линейности, получим

sin t  , (8)

cos t  . (9)

Опять пользуясь теоремой линейности, легко получим

sin(t +) = sin t cos  + cos t sin   , (10)

cos(t + )  . (11)

Совершенно аналогично, исходя из определения гиперболических функций

sh t = , ch t =

найдем, что

sh t  , ch t = . (12)

2. Теорема подобия. Для любого постоянного  > 0

f(t)  (13)

т. е. умножение аргумента оригинала на положительное число  приводит к делению аргумента изображения и самого изображения F(р) на то же число .

Допустим, что нам была бы известна формула (8) только для частного случая  = 1, т. е. sin t  Тогда, воспользовавшись теоремой подобия, мы получили бы

sin t = ,

что в точности совпадает с формулой (8).

3. Теорема смещения в изображении (затухания). Для любого действительного или комплексного числа a

(14)

т. е. умножение оригинала, на функцию влечет за собой смещение независимой переменной р.

Теорема затухания помогает расширить таблицу соответствия между оригиналами и изображениями, позволяя по известному соотношению f(t)  F(p) находить изображение функции f(t) . Например, из формул (11) и (12) получим

sin t  , cos t  . (15)

В обоих случаях мы заменили в выражении для изображения переменную p на p  a.

Совершенно аналогично из формул (12) следует

sh t  , ch t  . (16)

Часто оказываются полезными формулы соответствия для произведения оригинала f(t) на sin t или cos t. Применяя теоремы затухания и линейности, легко получить формулы:

где f(t)  F(p). Ясно, что формулы (15) являются частными случаями последних формул.

4. Теорема запаздывания. Для любого постоянного  > 0

(17)

На этой теореме будет основано изображение многих функций (в частности, функций, описывающих импульсные процессы), и поэтому мы рассмотрим ее подробнее. Прежде всего выясним смысл термина запаздывание. Пусть график функции f(t) изображен на рис. 4, а. Тогда график функции f(t), изображенный на рис. 4, б, будет сдвинут относительно графика f(t) на , причем на участке (0, ) график совпадает с осью Оt, так как на этом участке t < 0 и поэтому функция f(t) равна нулю.

Рис. 4.

Таким образом, процесс, описываемый функцией f(t), начинается как бы с опозданием на время  относительно процесса, описываемого функцией f(t); отсюда и термин запаздывание. Если, например, (единичная функция), то график функции будет иметь вид, изображенный на рис. 5. На рис. 6 сплошной линией изображен график функции и пунктирной  график функции f(t), которая равна при t >  и 0 при t <  . Эту функцию коротко можно записать так:

И сходя из физического толкования, теорему запаздывания можно сформулировать так: запаздывание оригинала на время  соответствует умножению изображения на Согласно этой теореме изображение оригинала (t), график которого изображен на рис. 5 (единичная функция, запаздывающая на время ), будет равно , а оригинала e^t , сдвинутого на t (пунктирная линия на рис. 6), есть .

Рис. 6

Применим теперь теорему запаздывания к построению изображения единичного импульса (t), действующего за промежуток времени t. График его приведен на рис. 7.